帶一個(gè)形狀參數(shù)的有理三次三角Bézier曲線

樊　文,　洪　玲，　邢　燕

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥230009)

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帶一個(gè)形狀參數(shù)的有理三次三角Bézier曲線

樊文,洪玲，邢燕

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥230009)

構(gòu)造了帶一個(gè)形狀參數(shù)的有理三次三角Bézier曲線，它不但具有傳統(tǒng)三次有理Bézier曲線的幾何性質(zhì)，而且比傳統(tǒng)有理Bézier曲線具有更靈活的形狀調(diào)整能力.討論了兩段有理三次三角Bézier曲線的G1和C2拼接條件，并給出了這類曲線的應(yīng)用.

有理三次三角Bézier曲線； 形狀參數(shù)； 幾何連續(xù)

1　引　　言

Bézier曲線是一個(gè)最基本的建模工具，被廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)(CAD)和計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)(CAGD)中.由于伯恩斯坦基函數(shù)的特殊性，Bézier曲線具有一些良好的性質(zhì).然而，由于多項(xiàng)式本身性質(zhì)，很難產(chǎn)生所需要的曲線、曲面的形狀.三角多項(xiàng)式在電子或醫(yī)學(xué)領(lǐng)域的重要性是眾所周知的.近幾十年，三角多項(xiàng)式曲線和三角樣條函數(shù)在CAGD中也得到關(guān)注和廣泛應(yīng)用，特別是在曲線的設(shè)計(jì)領(lǐng)域中[1-8].Bézier曲線不能精確表示圓錐曲線，三角Bézier曲線則可以精確表達(dá)圓錐曲線.要調(diào)整Bézier曲線的形狀，只能通過改變其控制頂點(diǎn).引入形狀參數(shù)，對(duì)伯恩斯坦基函數(shù)進(jìn)行擴(kuò)展，近十幾年來被廣泛研究[6-13].帶參數(shù)的樣條曲線在交互式形狀生成中起著重要的作用[1].文獻(xiàn)[2]介紹了C1的帶一個(gè)形狀參數(shù)的二次三角多項(xiàng)式，這類曲線中的形狀參數(shù)可以很好地控制所生成曲線的形狀，比傳統(tǒng)二次B樣條更接近控制多邊形.文獻(xiàn)[3]介紹了帶多個(gè)形狀參數(shù)的二次三角樣條曲線，這種曲線類似于三次B樣條曲線，當(dāng)取不同的參數(shù)值，可以達(dá)到不同階的參數(shù)連續(xù).文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[5]分別提出了C2連續(xù)的分段二次三角多項(xiàng)式曲線和帶一個(gè)全局形狀參數(shù)的三次三角多項(xiàng)式曲線.文獻(xiàn)[6]介紹了帶兩個(gè)形狀參數(shù)的三次三角Bézier曲線.文獻(xiàn)[7]對(duì)帶一個(gè)形狀參數(shù)的三次三角Bézier曲線的形狀進(jìn)行了分析.隨著對(duì)Bézier曲線的不斷深入研究，有理Bézier曲線越來越受到曲線設(shè)計(jì)人員的青睞.有理Bézier曲線不僅可以表示非有理Bézier曲線，而且可以表示圓錐曲線.本文在文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上，討論了帶一個(gè)形狀參數(shù)的有理三次三角Bézier曲線的性質(zhì)、拼接和應(yīng)用.

2　有理三次三角Bézier曲線

定義1[7]對(duì)任意的t∈[0,1]，帶一個(gè)形狀參數(shù)λ∈[-2,1]的三次三角基函數(shù)定義如下：

(1)

圖1　三次三角基函數(shù)

定義2帶一個(gè)形狀參數(shù)的有理三次三角Bézier曲線定義如下

(2)

其中pi(i=0,1,2,3)為曲線的控制頂點(diǎn)，w0,w1,w2,w3為正權(quán)因子，bi(t)(i=0,1,2,3)是(1)式中定義的基函數(shù).

當(dāng)w0=w1=w2=w3=1時(shí)，有理三次三角Bézier曲線f(t)轉(zhuǎn)化為非有理Bézier曲線.有理Bézier曲線可以通過權(quán)因子標(biāo)準(zhǔn)化，即通過形狀不變因子k1,k2：

調(diào)整內(nèi)部兩個(gè)權(quán)因子w1,w2大小，將w0,w3化為1，保持原來圖形不變[14,15].任意的有理三次Bézier曲線都可以轉(zhuǎn)化為首尾權(quán)因子為1的標(biāo)準(zhǔn)形式.為了討論方便，下文的討論是建立在w0=w3=1的基礎(chǔ)上.

定理1有理三次三角Bézier曲線的性質(zhì)

(a)端點(diǎn)性質(zhì)

(b)對(duì)稱性

f(t;λ,p0,p1,p2,p3)=f(1-t;λ,p3,p2,p1,p0).

(c)幾何不變性

f(t;λ,p0+q,p1+q,p2+q,p3+q)=f(t;λ,p0,p1,p2,p3)+q,

f(t;λ,p0*T,p1*T,p2*T,p3*T)=f(t;λ,p0,p1,p2,p3)*T.

其中q∈R2為任意向量，T為2×2的變換矩陣.

(d)保凸性

生成曲線包含在由控制頂點(diǎn)pi(i=0,1,2,3)形成的凸包中.

3　曲線的拼接

兩段有理三次三角Bézier曲線

和

可以方便地進(jìn)行G1,G2拼接.

當(dāng)q0=p3時(shí)，兩條曲線達(dá)到G0連續(xù).

3.1G1光滑拼接

定理2兩段有理三次三角Bézier曲線G1光滑拼接的充要條件是

(i)p3=q0,

當(dāng)κ=1時(shí)，則滿足C1光滑拼接.

證兩段有理三次三角Bézier曲線要達(dá)到G1光滑拼接，根據(jù)文獻(xiàn)[14]，有充要條件

由定理1中的端點(diǎn)性質(zhì)，即可證明.

3.2G2光滑拼接

定理3兩條有理三次三角Bézier曲線G2光滑拼接的條件除了滿足G0,G1條件外，還需滿足曲率連續(xù)條件，即

特別地，當(dāng)p3=q0,f′1(1)=f′2(0),f″1(1)=f2″(0)時(shí)，曲線滿足C2連續(xù).

由定理1知，有理三次三角Bézier曲線的二階導(dǎo)公式很復(fù)雜，為了簡化計(jì)算，這里只討論λ1=λ2=1時(shí)，達(dá)到C2連續(xù)的情況.達(dá)到C2連續(xù)時(shí)要求：

(a) G1光滑拼接　　　　　　(b) C1光滑拼接 　　　　　　(c) C2光滑拼接圖2　兩段有理三次三角Bézier曲線的光滑拼接

4　有理三次三角Bézier曲線的應(yīng)用

4.1有理三次三角Bézier曲線表示橢圓

即橢圓的參數(shù)方程，對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程為

當(dāng)t∈[0,4]時(shí)，可以表示整個(gè)橢圓.當(dāng)a=b時(shí)，則表示一個(gè)圓.

4.2有理三次三角Bézier曲線造型

引入形狀參數(shù)，對(duì)伯恩斯坦基函數(shù)進(jìn)行擴(kuò)展，可以有效地調(diào)整曲線的形狀.圖3(a)是用文獻(xiàn)[7]提出的帶一個(gè)形狀參數(shù)的三次三角Bézier曲線生成的花瓣圖案，從內(nèi)向外形狀參數(shù)分別?。?2,-1,-0.5,0,0.5,1，由圖可知，三次三角Bézier曲線不僅可以位于傳統(tǒng)Bézier曲線的下方，也可以位于傳統(tǒng)Bézier曲線上方進(jìn)行形狀調(diào)整.圖3(b)和(c)繪制的是本文的有理三次三角Bézier曲線，其中(b)中權(quán)值為w0=w3=1,w1=w2=2，(c)中權(quán)值w0=w3=1,w1=w2=6.從內(nèi)向外形狀參數(shù)同樣分別取為λ=-2,-1,-0.5,0,0.5,1.

當(dāng)w0=w1=w2=w3=1時(shí)，有理三次三角Bézier曲線退化為文獻(xiàn)[7]中的三次三角Bézier曲線，所以圖3(a)也可看作是有理三次三角Bézier曲線4個(gè)權(quán)值均取1時(shí)的情形.可見，對(duì)有理三次三角Bézier曲線形狀的調(diào)整，不僅具有文獻(xiàn)[7]中曲線的性質(zhì)，而且可以更逼近控制多變形.

(a) w0=w1=w2=w3=1　　(b) w0=w3=1,w1=w2=2　　(c) w0=w3=1,w1=w2=6圖3　有理三次三角Bézier曲線的花瓣造型

5　結(jié)　　論

本文主要研究了帶一個(gè)形狀參數(shù)λ的有理三次三角Bézier曲線，這類曲線不僅具有傳統(tǒng)有理三次Bézier曲線的幾何性質(zhì)，還可以精確表示圓錐曲線.本文討論了兩段有理三次三角Bézier曲線的光滑拼接條件，還應(yīng)用它設(shè)計(jì)了花瓣形狀.相信有理三次三角Bézier曲線將會(huì)被曲線設(shè)計(jì)人員廣泛取使用.

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[15]Farin G.Curves and Surfaces for CAGD, A Practical Guide [M]. 3rd Ed. Boston: Academic Press, 1993.

Rational Cubic Trigonometric Bézier Curves with One Shape Parameter

FAN Wen,HONG Ling,XING Yan

(School of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei 230009,China)

The rational cubic trigonometric Bézier curve with one shape parameter not only inherits the geometric properties of the traditional cubic rational Bézier curve, but also provides a more flexible control on the shape of the curve than the traditional Bézier curve does. The G1and C2composition conditions of two segments of rational cubic trigonometric curves have been discussed. The class of curves can represent ellipses and design curves and patterns.

rational cubic trigonometric Bézier curves; shape parameter; geometric continuity

2016-01-20；[修改日期]2016-04-08

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(U1135003，61472466)，安徽省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(1308085MA09)，中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)經(jīng)費(fèi)(JZ2015HGXJ0175)，合肥工業(yè)大學(xué)科學(xué)研究發(fā)展基金項(xiàng)目(J2014HGXJ0067)

樊文(1984-)，男，碩士，從事計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì). Email：415086199@qq.com

TP391

A

1672-1454(2016)04-0030-05