例說基于可識(shí)最小值之識(shí)別性與參數(shù)估計(jì)及特征的關(guān)系

李國安，　李建峰

(寧波大學(xué)理學(xué)院，浙江寧波315211)

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例說基于可識(shí)最小值之識(shí)別性與參數(shù)估計(jì)及特征的關(guān)系

李國安，李建峰

(寧波大學(xué)理學(xué)院，浙江寧波315211)

討論基于可識(shí)最小值之識(shí)別性與參數(shù)估計(jì)及特征的關(guān)系，以二元Marshall-Olkin型Weibull分布為例，存在全部參數(shù)可估計(jì)且可識(shí)別且有識(shí)別特征的情形；以二元McKay型伽馬分布為例，存在全部參數(shù)可估計(jì)且部分參數(shù)可識(shí)別且無識(shí)別特征而有其它分離特征的情形，若是基于可識(shí)最小值及差值，則是全部參數(shù)可估計(jì)且全部參數(shù)可識(shí)別且有識(shí)別特征的情形；以二元極值二點(diǎn)分布為例，存在部分參數(shù)可估計(jì)且部分參數(shù)可識(shí)別且有識(shí)別特征的情形.

二元Marshall-Olkin型Weibull分布； 二元McKay型伽馬分布； 識(shí)別性； 參數(shù)估計(jì)； 特征

1　引　　言

2　全部參數(shù)的可識(shí)性及可估性及識(shí)別特征

記U～WE(α,λ)，表示U服從Weibull分布，有密度函數(shù)

f(u,α,λ)=αλuα-1e-λxα，u>0.

文獻(xiàn)[9]給出了如下的二元Marshall-Olkin型Weibull分布

定義1.1設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量，U1，U2，U3為三個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，

U1～WE(α,λ1)，U2～WE(α,λ2)，U3～WE(α,λ3)，

記(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)，設(shè)Z=min(X,Y)，設(shè)I=1，當(dāng)Z=X時(shí)；I=2，當(dāng)Z=Y時(shí)；I=3，當(dāng)X=Y時(shí).記P(I=i)=pi，記pifi(z)表示(Z,I)的聯(lián)合密度，Z的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別記為fZ(·)，F(xiàn)Z(·)，則有

引理1.1若(X,Y)～MOBW(α,λ1,λ2,λ3)，則(Z,I)的分布密度為

證二元Marshall-Olkin型Weibull分布為混合分布，現(xiàn)對(duì)其三部分y>x>0，x>y>0，x=y>0分別計(jì)算對(duì)應(yīng)的密度.由

同理

所以

p1f1(z)=λ1αzα-1exp[-(λ1+λ2+λ3)zα],i=1,z≥0，

同理

p2f2(z)=λ2αzα-1exp[-(λ1+λ2+λ3)zα],i=2,z≥0；

由此，連續(xù)混合部分的密度為

p3f3(z)=λ3αzα-1exp[-(λ1+λ2+λ3)zα],i=3,z≥0.

顯然，λ1,λ2,λ3,α都可識(shí)別.

引理1.2若(X,Y)是二元Marshall-Olkin型隨機(jī)變量，有混合分布F(x,y)；則存在相互獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量Ui，有分布函數(shù)Gi(·),(i=1,2,3)， 使得X=min(U1,U3)， Y=min(U2,U3)， 且

引理1.3若(X,Y)是非負(fù)的二元Marshall-Olkin型隨機(jī)變量，有混合分布F(x,y), 則存在相互獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量Ui，有分布函數(shù)Gi(·),(i=1,2,3)，使得X=min(U1,U3)，Y=min(U2,U3)，若給定(Z,I)的聯(lián)合密度為

則

證由

于是得

(1)

同理可得

(2)

(3)

由(2)/(3)，并移項(xiàng)得

得

同理可得

則

得

回代上面二式得

因此引理1.3得證.

引理1.4若(X,Y)是非負(fù)的二元Marshall-Olkin型隨機(jī)變量，有混合分布F(x,y)，若給定(Z,I)的聯(lián)合密度pifi(·) (i=1,2,3)，則

證綜合引理1.2，引理1.3可得.

由引理1.4可得二元Marshall-Olkin型Weibull分布的一個(gè)特征.

定理1.1(X,Y)～MOBW(α,λ1,λ2,λ3)當(dāng)且僅當(dāng)(X,Y)是二元Marshall-Olkin型隨機(jī)變量，(Z,I)的聯(lián)合密度為

定理1.2(X,Y)～MOBW(α,λ1,λ2,λ3)當(dāng)且僅當(dāng)(X,Y)是二元Marshall-Olkin型隨機(jī)變量，Z,I是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且I是一個(gè)三值隨機(jī)變量，Z是一個(gè)服從Weibull分布的隨機(jī)變量.

注二元Marshall-Olkin型Weibull分布的參數(shù)估計(jì)參見文[9-12]，這里略去.

3　部分參數(shù)的可識(shí)性及全部參數(shù)的可估性及分離特征

McKay于文獻(xiàn) [17]中給出了如下的二元伽馬分布：

定義2.1稱(X,Y)服從二元McKay型伽馬分布，其聯(lián)合密度函數(shù)為

記作(X,Y)～BMGD(a,p,q).記Z=min(X,Y)，記Z的分布密度為fZ(z)，定義隨機(jī)變量I=1,2分別對(duì)應(yīng)于X

引理2.1若(X,Y)～BMGD(a,p,q)，則Z的分布密度為

引理2.2若(X,Y)～BMGD(a,p,q)，則(Z,I)的分布密度為

得

定理2.1若(X,Y)～BMGD(a,p,q)，(X′,Y′)～BMGD(a′,p′,q′)，若已知Z與Z′同分布，則參數(shù)a,p是可識(shí)別的.

證由fZ(z)=f′Z(z)，得

由此得

定理2.2若(X,Y)～BMGD(a,p,q)，(X′,Y′)～BMGD(a′,p′,q′)，若已知(Z,I)與(Z′,I′)同分布，則參數(shù)a,p是可識(shí)別的.

證同定理2.1的證明，這里略去.

作變量替換，設(shè)Z=X，V=Y-X；則得(Z,V)的聯(lián)合密度為

于是得分離特征：

定理2.3(X,Y)～BMGD(a,p,q)當(dāng)且僅當(dāng)Z=X，V=Y-X相互獨(dú)立，且Z～GD(a,p)，V～GD(a,q)，這里Z～GD(a,p)表示Z服從參數(shù)為a,p的伽馬分布.

證直接由二個(gè)聯(lián)合密度函數(shù)相互轉(zhuǎn)換可得.

得方程組

由此得a，p的矩估計(jì)分別為

的解.

證由引理2.1和定理2.1，得似然方程

由此得方程組

注1基于(X1,Y1),…,(Xn,Yn),的參數(shù)估計(jì)問題，形式過于復(fù)雜，這里略去.

4　部分參數(shù)的可識(shí)性及部分參數(shù)的可估性及識(shí)別特征

定義3.1 稱(X,Y)服從二元極值型二點(diǎn)分布，是指存在三個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量U1，U2，U3，其中

U1～B(1,p1)，U2～B(1,p2)，U3～B(1,p3)；

使得

X=max(U1,U3)，Y=min(U2,U3)，0

記作(X,Y)～BBD(1,p1,p2,p3).

記Z=min(X,Y)，定義I=1,2,3分別對(duì)應(yīng)于X

引理3.1若(X,Y)～BBD(1,p1,p2,p3)，則Z的分布律為Z～B(1,p2p3).

引理3.2若(X,Y)～BBD(1,p1,p2,p3)，則(Z,I)的聯(lián)合分布律為

定理3.1若(X,Y)～BBD(1,p1,p2,p3)， (X′,Y′)～BBD(1,p′1,p′2,p′3)，若已知Z與Z′同分布，則所有參數(shù)皆不可識(shí)別.

定理3.2若(X,Y)～BBD(1,p1,p2,p3)，(X′,Y′)～BBD(1,p′1,p′2,p′3)，若已知(Z,I)與(Z′,I′)同分布，若其中一個(gè)參數(shù)已知，則其它參數(shù)皆可識(shí).

證由

(1-p3)-(1-p′1)(1-p′3)+p3-p′2p′3=(1-p′3)p′1+p′3(1-p′2)，

得恒等式

1-(1-p′1)(1-p′3)-p′2p′3=(1-p′3)p′1+p′3(1-p′2)，

記p2p3=u，(1-p1)(1-p3)=v，得

一樣可得

若其中一個(gè)參數(shù)已知，則其它參數(shù)皆可識(shí).

定理3.3若(X,Y)～BBD(1,p1,p2,p3)當(dāng)且僅當(dāng)(X,Y)是二元極值型隨機(jī)變量，(Z,I)的聯(lián)合分布律為

證直接驗(yàn)證可得.

這里，從定理3.2和定理3.3出發(fā)，若其中一個(gè)參數(shù)已知，則可得其它參數(shù)的最大似然估計(jì).

定理3.4設(shè)(X,Y)～BBD(1,p1,p2,p3)是總體，(X1,Y1),…,(Xn,Yn)是來自總體(X,Y)的容量為n的樣本，記Z=min(X,Y)，定義隨機(jī)變量I=1,2,3分別對(duì)應(yīng)于X

(Z1,I1),…,(Zn,In)是來自總體(Z,I)的容量為n的樣本，若其中一個(gè)參數(shù)已知，則其它參數(shù)的最大似然估計(jì)可通過似然方程直接求解可得.這里

證假設(shè)三個(gè)參數(shù)均未知，似然函數(shù)為

并有似然方程

得

得

得

得

即三個(gè)參數(shù)不可能同時(shí)可估計(jì).顯然，不妨設(shè)參數(shù)p3已知，得似然方程

得

代入，得

由此得

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The Relationship Between Identifiability and Parameter Estimation or Characterization Based on Identified Minimum

LI Guo-an，LI Jian-feng

(Department of Mathematics, Ningbo University, Ningbo Zhejiang 315211, China)

The relationship betwreen identifiability and parameter estimation or characterization based on identified minimum is considered in this paper, taking the Marshall-Olkin bivariate Weibull distribution as example，when distribution of identified minimum is known, then all of parameters are identified,this means all of parameters are estimatied, and characterization of the Marshall-Olkin bivariate Weibull distribution based on identified minimum is derived, hence this means distribution of identified minimum is equivalent to its distribution; taking the Mckay’s bivariate gamma distribution as example，when distribution of identified minimum is known, then one of parameters are not identified, and this means one of parameters are not estimatied, and in fact the characterization of Mckay’s bivariate gamma distribution is derived by variate transformation; taking a extreme bivariate Bernoulli distribution as example，when distribution of identified minimum is known, then one of parameters are not identified, and this means one of parameters are not estimatied, and in fact the characterization of a extreme bivariate Bernoulli distribution based on identified minimum is derived.

the Marshall-Olkin bivariate Weibull distribution； Mckay’s bivariate gamma distribution； identifiability； parameter estimation； characterization

2016-03-21；[修改日期]2016-05-12

寧波大學(xué)學(xué)科項(xiàng)目(XKL14D2037)

李國安(1964-)，男，碩士，副教授，從事概率統(tǒng)計(jì)與土地估價(jià)研究.Email：liguoan@nbu.edu.cn.

O212.4

A

1672-1454(2016)04-0020-10