前測(cè)備課自主探究感悟收獲
——“配方法推導(dǎo)一元二次方程的求根公式”思考與感悟

☉江蘇省無(wú)錫市東亭中學(xué)許麗芳

前測(cè)備課自主探究感悟收獲
——“配方法推導(dǎo)一元二次方程的求根公式”思考與感悟

☉江蘇省無(wú)錫市東亭中學(xué)許麗芳

一、理論與背景

布盧姆的建構(gòu)主義理論對(duì)有效教學(xué)曾經(jīng)提過(guò)三個(gè)經(jīng)典的問(wèn)題：教師準(zhǔn)備把學(xué)生帶到哪里去？教師通過(guò)怎樣的手段帶學(xué)生走過(guò)去？你的學(xué)生已經(jīng)到指定位置了嗎？這三個(gè)問(wèn)題抽象出來(lái)就是：（1）這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是什么；（2）教學(xué)過(guò)程與方法如何設(shè)計(jì)；（3）學(xué)習(xí)結(jié)果如何進(jìn)行有效評(píng)估.以皮亞杰為代表的建構(gòu)主義也認(rèn)為，在設(shè)定目標(biāo)的前提下，學(xué)習(xí)的有效性建立在學(xué)生主動(dòng)參與的前提下，即學(xué)生進(jìn)行自主探究和合作為中心的學(xué)習(xí)是最好的學(xué)習(xí)方式，有助于發(fā)揮出學(xué)生的主動(dòng)性和創(chuàng)造性.基于以上認(rèn)識(shí)，筆者以“配方法推導(dǎo)一元二次方程的求根公式”一課為例，在進(jìn)行教學(xué)前測(cè)以后，調(diào)整教學(xué)目標(biāo)，讓學(xué)生自主進(jìn)行探究，直至收獲課堂的精彩.

二、內(nèi)容剖析與前測(cè)

求根公式的推導(dǎo)是引出根的判別式、進(jìn)一步討論一元二次方程的實(shí)數(shù)根的存在性的前提，同時(shí)也為推導(dǎo)根與系數(shù)的關(guān)系及今后學(xué)習(xí)二次函數(shù)等有關(guān)內(nèi)容奠定基礎(chǔ).由于公式的推導(dǎo)均為字母間的運(yùn)算，為了讓學(xué)生能夠親自參與推演求根公式的過(guò)程，設(shè)計(jì)了4個(gè)活動(dòng)，逐步由數(shù)字系數(shù)的一元二次方程過(guò)渡到含三個(gè)字母系數(shù)的一元二次方程，學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的研究過(guò)程.本節(jié)課之前，筆者對(duì)自己所任教的九年級(jí)兩個(gè)班共計(jì)72位同學(xué)做了一次調(diào)查，用配方法解方程：ax2+bx+c=0（a≠0），正確率僅約為4.17%，于是進(jìn)行了簡(jiǎn)單分析.

錯(cuò)誤類(lèi)型錯(cuò)誤人數(shù)錯(cuò)誤率配方法運(yùn)用錯(cuò)誤9 12.5%未對(duì)b2-4ac進(jìn)行分類(lèi)討論69 95.8%異分母的加法：b24aa計(jì)算錯(cuò)誤17 23.6%二次根式b2-4ac 4a 2-c√的化簡(jiǎn)錯(cuò)誤16 22.2% 2

同時(shí)，設(shè)置了問(wèn)題：在運(yùn)用公式法解一元二次方程時(shí)，你有哪些困惑？有些學(xué)生認(rèn)為公式的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，不便于記憶，主要靠死記硬背，套公式解一元二次方程，而不知公式從何而來(lái).基于以上分析和調(diào)查，筆者認(rèn)為雖然課標(biāo)中并未對(duì)用配方法推導(dǎo)一元二次方程的求根公式提出具體要求，但推導(dǎo)過(guò)程本身的價(jià)值在于通過(guò)讓學(xué)生親歷公式的推演，幫助學(xué)生理解一元二次方程的根是由系數(shù)a、b、c決定的.由于公式的推導(dǎo)過(guò)程均為字母間的運(yùn)算，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)困難較大，因此本節(jié)課的難點(diǎn)是：一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過(guò)程.

三、教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

為了達(dá)到教學(xué)目標(biāo)，筆者把教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)為以下五個(gè)階段：

【活動(dòng)1】請(qǐng)每組同學(xué)編一道一元二次方程，并用配方法求方程的解，填寫(xiě)以下表格：

所編方程文字表述步驟每步依據(jù)

同組的同學(xué)互相檢查、糾錯(cuò).數(shù)字系數(shù)的一元二次方程在求解過(guò)程中，由于計(jì)算原因不易發(fā)現(xiàn)各項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)對(duì)根的影響，因此，我們可以嘗試著將方程中的系數(shù)一般化，用字母代替.一起看下面的表格：下面我們主要研究方程中僅含有一個(gè)字母系數(shù)的情況.在解之前，我們能否預(yù)想一下這三個(gè)方程哪一個(gè)最容易解，哪一個(gè)又是最不容易解的？

abcax2+bx+c=0（a≠0）

a11ax2+x+1=0

1b1x2+bx+1=0

11cx2+x+c=0

1bcx2+bx+c=0

a1cax2+x+c=0

ab1ax2+bx+1=0

【活動(dòng)2】每組同學(xué)在以下方程中任選一個(gè)用配方法求解：

（1）x2+x+c=0；（2）ax2+x+1=0（a≠0）.

交流：配方后的結(jié)果是含有字母的代數(shù)式，首先要保證該代數(shù)式的值是非負(fù)的，因此要注意分類(lèi)討論.以（2）為例，學(xué)生進(jìn)行討論分析，讓學(xué)生進(jìn)行板演等活動(dòng)，發(fā)揮學(xué)生的主體性，選取其中一位學(xué)生的解題過(guò)程.

解：由于a≠0，所以方程兩邊同時(shí)除以a，得：

所以當(dāng)1-4a≥0時(shí)，原方程的根為：

當(dāng)1-4a＜0時(shí)，原方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

在此，教師進(jìn)行歸納并指出：對(duì)于以上兩個(gè)方程，如果我們?nèi)我饨o出相應(yīng)字母的值，就可以省去配方的過(guò)程，首先判斷方程是否有實(shí)數(shù)根，如果有，直接代入根的表達(dá)式即可求出.對(duì)于任意的一元二次方程，要想知道方程的根與系數(shù)的關(guān)系，需要我們研究更為一般的形式，即形如ax2+bx+c=0（a≠0）的方程.

【活動(dòng)3】用配方法解方程：ax2+bx+c=0（a≠0）.

由a≠0，得a2≠0，則可判斷a2＞0，故4a2＞0.

因此只需當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，開(kāi)平方，得：

原方程的解為：

當(dāng)b2-4ac＜0時(shí)，原方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

通過(guò)前面的探索，我們得到了一元二次方程ax2+bx+ c=0（a≠0）的求根公式：

總結(jié)：用求根公式解一元二次方程的流程圖：

所有的一元二次方程都可以用配方法求解，所以這是一個(gè)通法，有規(guī)律可循.如果我們不抽象、概括出一個(gè)數(shù)學(xué)模型，那么每次都要做重復(fù)性的工作.抽象、概括正是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)留給我們的思維品質(zhì)；同時(shí)，一元二次方程的求根公式向我們揭示了方程的根與各項(xiàng)系數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系.下面從公式的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析：從運(yùn)算的角度看，公式包容了初中階段所學(xué)過(guò)的全部六種代數(shù)運(yùn)算：加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方，體現(xiàn)了和諧統(tǒng)一.通過(guò)運(yùn)算可以完美地解決根的存在性、根的個(gè)數(shù)、根的求法三個(gè)問(wèn)題，可以說(shuō)是“萬(wàn)能”求根公式.它向我們展示了抽象性、一般性和簡(jiǎn)潔性等數(shù)學(xué)的美和魅力.如果一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，這兩個(gè)根之間只有細(xì)微的差別，我們?cè)谝院蟮膶W(xué)習(xí)中會(huì)繼續(xù)探索一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.

【活動(dòng)4】感悟與收獲（以問(wèn)題形式給出）.

問(wèn)題：這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么知識(shí)？有何作用？運(yùn)用本節(jié)課所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題時(shí)要注意些什么？這節(jié)課我們學(xué)到了解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的哪些方法？運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想？

四、體驗(yàn)與感悟

本課嘗試進(jìn)行了教學(xué)前測(cè)診斷，通過(guò)診斷指導(dǎo)教學(xué)過(guò)程，意在使學(xué)生通過(guò)配方，感知一元二次方程中系數(shù)與根之間的聯(lián)系.另外，分式運(yùn)算、二次根式化簡(jiǎn)也是學(xué)生感到困難的地方.

1.結(jié)合診斷分析，合理設(shè)計(jì)教學(xué)

在講授這節(jié)課之前，筆者首先對(duì)已經(jīng)學(xué)習(xí)求根公式的學(xué)生進(jìn)行了調(diào)研，發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)學(xué)生不會(huì)用配方法推導(dǎo)一元二次方程的求根公式，對(duì)學(xué)習(xí)求根公式的意義不理解.只覺(jué)得背求根公式麻煩，容易記混淆，因此在解題時(shí)部分學(xué)生不愿意用求根公式解題.于是筆者在調(diào)研的基礎(chǔ)上，進(jìn)行了詳細(xì)地分析，發(fā)現(xiàn)了學(xué)生學(xué)習(xí)中存在的主要問(wèn)題，同時(shí)對(duì)所任教班級(jí)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、思維特點(diǎn)、探究意識(shí)等方面進(jìn)行了認(rèn)真地分析，根據(jù)學(xué)生的具體情況和教學(xué)內(nèi)容特點(diǎn)合理設(shè)計(jì)教學(xué).學(xué)生動(dòng)腦、動(dòng)手，感受學(xué)習(xí)求根公式的意義，讓學(xué)生知道“為什么學(xué)”.教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)及教學(xué)問(wèn)題的提出符合學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)和認(rèn)知規(guī)律，符合因材施教原則.

2.抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)教學(xué)的根本是公理化和程序化，本節(jié)課是將一元二次方程的求解過(guò)程程序化.教學(xué)中吳老師引導(dǎo)學(xué)生不斷將一元二次方程的系數(shù)一般化.首先讓學(xué)生自己編寫(xiě)一個(gè)數(shù)字系數(shù)的一元二次方程，小組合作確定求解，然后小組展示交流，讓學(xué)生體會(huì)編寫(xiě)題目的系數(shù)不同，求解的結(jié)果就不同，甚至有的題目無(wú)解，感受方程系數(shù)直接影響方程根的情況，然后帶領(lǐng)學(xué)生把方程的系數(shù)逐步一般化，使方程中出現(xiàn)一個(gè)字母系數(shù)、兩個(gè)字母系數(shù)直至三個(gè)字母系數(shù)的情況.讓學(xué)生自由選擇用配方法解題，使不同層次的學(xué)生都能獲得成功的喜悅，同時(shí)也為方程中含有a、b、c三個(gè)字母的一般方程配方推導(dǎo)作好鋪墊.可見(jiàn)，教師不斷引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到程序化的優(yōu)勢(shì)，減少做重復(fù)性的工作，使學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)求根公式的必要性和價(jià)值，抓住了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和思維品質(zhì).

3.注重自主探究，體現(xiàn)學(xué)生主體

這節(jié)課整體感覺(jué)是教師在不斷與學(xué)生溝通交流中完成教學(xué)任務(wù)的.在尊重學(xué)生人格的基礎(chǔ)上更加尊重學(xué)生的思維，小組合作學(xué)習(xí)落到實(shí)處，為了使每個(gè)同學(xué)都積極地、有效地參與到學(xué)習(xí)中去，使本來(lái)枯燥乏味的教學(xué)內(nèi)容變得有趣，教師在教學(xué)中設(shè)計(jì)了學(xué)生自己編題與小組為單位自主選題，然后展示、交流相結(jié)合，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，發(fā)揮學(xué)生的主體作用.總之，這節(jié)課的設(shè)計(jì)基于建構(gòu)主義理論，關(guān)注了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，調(diào)動(dòng)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，讓學(xué)生充分地參與課堂教學(xué)，真正把課堂還給學(xué)生，注重求根公式的推導(dǎo)過(guò)程.從學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)入手，進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，問(wèn)題設(shè)計(jì)由簡(jiǎn)到繁、由易到難、由具體到抽象，使不同學(xué)生在數(shù)學(xué)上都能有不同程度的進(jìn)步.Z