非圓錐齒輪的設(shè)計(jì)及運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真

李文長，賈巨民，張學(xué)玲

(1.軍事交通學(xué)院 研究生管理大隊(duì)，天津 300161；2.軍事交通學(xué)院 軍事物流系，天津 300161)

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● 基礎(chǔ)科學(xué)與技術(shù)Basic Science & Technology

非圓錐齒輪的設(shè)計(jì)及運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真

李文長1，賈巨民2，張學(xué)玲2

(1.軍事交通學(xué)院 研究生管理大隊(duì)，天津 300161；2.軍事交通學(xué)院 軍事物流系，天津 300161)

為提高變傳動(dòng)比差速器的鎖緊系數(shù)，基于保測(cè)地曲率映射的非圓錐齒輪設(shè)計(jì)方法，提出一種非圓錐齒輪的傳動(dòng)比規(guī)律，設(shè)計(jì)該非圓錐齒輪，建立三維模型，對(duì)非圓錐齒輪的傳動(dòng)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真。將仿真數(shù)據(jù)與理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了理論設(shè)計(jì)方法及其模型建立的正確性。

非圓錐齒輪設(shè)計(jì)；運(yùn)動(dòng)仿真；誤差分析

非圓錐齒輪綜合了非圓齒輪與圓錐齒輪的特性，既能夠?qū)崿F(xiàn)相交軸之間的傳動(dòng)，又能夠?qū)崿F(xiàn)變速比傳動(dòng)。對(duì)稱安裝的非圓錐齒輪具有結(jié)構(gòu)緊湊、傳動(dòng)平穩(wěn)、傳動(dòng)效率高且易實(shí)現(xiàn)動(dòng)平衡等優(yōu)點(diǎn)[1]。非圓錐齒輪作為一種新型的齒輪傳動(dòng)形式，目前尚無成熟的理論和方法來指導(dǎo)非圓錐齒輪的設(shè)計(jì)。林超等[1]基于傳統(tǒng)的齒輪范成法原理，對(duì)高階橢圓錐齒輪的設(shè)計(jì)計(jì)算方法進(jìn)行了研究；姜虹等[2]提出了一種非圓錐齒輪的當(dāng)量設(shè)計(jì)方法；賈巨民等[3]提出了一種利用保測(cè)地曲率映射的方法將非圓錐齒輪球面節(jié)曲線映射到平面，將空間嚙合問題轉(zhuǎn)換為平面問題，給出了齒形的設(shè)計(jì)計(jì)算方法。這些研究成果對(duì)非圓錐齒輪的設(shè)計(jì)制造與推廣應(yīng)用提供了途徑，但是由于非圓錐齒輪結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，均未對(duì)所設(shè)計(jì)的非圓錐齒輪運(yùn)動(dòng)規(guī)律作詳細(xì)分析研究。

1　非圓錐齒輪設(shè)計(jì)

1.1傳動(dòng)比變化規(guī)律和節(jié)曲線設(shè)計(jì)

對(duì)于如圖1所示的一對(duì)錐齒輪傳動(dòng)，當(dāng)齒輪副的軸間夾角之和∑=δ1+δ2=90°，傳動(dòng)比為

(1)

式中：φ1、φ2分別為主動(dòng)齒輪與從動(dòng)齒輪轉(zhuǎn)角；δ1、δ2分別為主動(dòng)齒輪與從動(dòng)齒輪節(jié)錐角。

圖1　一對(duì)錐齒輪傳動(dòng)示意

對(duì)于非圓錐齒輪來說，兩個(gè)齒輪的節(jié)錐角δ1、δ2不再是定值，而是關(guān)于兩個(gè)傳動(dòng)齒輪轉(zhuǎn)角φ1或φ2的函數(shù)。

正弦曲線運(yùn)動(dòng)規(guī)律的加速度規(guī)律為余弦規(guī)律，加速度曲線連續(xù)。由齒輪傳動(dòng)理論，傳動(dòng)比函數(shù)為周期函數(shù)，既保證節(jié)曲線的封閉，又使傳動(dòng)比周期性變化，同時(shí)余弦加速度規(guī)律減小了沖擊。因此，本文選用傳動(dòng)比規(guī)律為

(2)

根據(jù)幾何關(guān)系，齒輪1,2的球面節(jié)曲線可分別表示為

(3)

式中R為球面半徑。

根據(jù)式(1)和式(2)，可得到非圓錐齒輪的δ1、δ2、φ2關(guān)于φ1的函數(shù)關(guān)系為

代入式(3)即為以φ1為參數(shù)的球面節(jié)曲線方程。

1.2節(jié)曲線平面映射

根據(jù)微分幾何曲面論的基本定理[2]，若曲面Σ上一條曲線Γ在平面上π展開為平面曲線Γ*，則Γ在曲面上的測(cè)地曲率κg等于Γ*在平面上的相對(duì)曲率κr，即

κg=κr

(4)

結(jié)合平面曲線論的唯一存在定理[4]，已給一個(gè)閉區(qū)間[s0，s1]里的連續(xù)函數(shù)kr(s)，平面曲線上的一個(gè)點(diǎn)(x0,y0)，和一個(gè)矢量a=icosψ0+jsinψ0，有且僅有一條平面有向曲線為

r=x(s)i+y(s)js0

(5)

因此，只要給出曲面上一條曲線的測(cè)地曲率以及初始條件，就可以唯一確定一條平面展開曲線，映射后得到平面曲線為

(6)

式中s0、s1、ψ0、x0、y0由邊界條件確定。

對(duì)于本文實(shí)例，按上述方法求出其平面映射節(jié)曲線如圖2所示，非圓錐齒輪副的嚙合傳動(dòng)相當(dāng)于圖2中節(jié)曲線的純滾動(dòng)。

圖2　球面節(jié)曲線在平面上伸展—映射節(jié)曲線

1.3平面齒形設(shè)計(jì)

通過解析法直接由節(jié)曲線方程推導(dǎo)齒形方程，根據(jù)基本嚙合原理[5]，采用漸開線齒形為例進(jìn)行說明。如圖3所示，以節(jié)曲線上的右齒形為例，則齒形上任意一點(diǎn)b的方程可寫為[6]

rb=ra+Iab

(7)

式中：ra為節(jié)曲線a點(diǎn)處的矢徑；Iab為齒形上b點(diǎn)的法矢量。

根據(jù)齒形法線法原理(如圖3所示)，有

Iab=a0acosαn=scosαn

(8)

式中αn為齒條刀具齒形角。

圖3　齒形計(jì)算原理

(9)

同理，可得出左齒形方程

(9)

根據(jù)以上公式，以當(dāng)量齒輪節(jié)曲線為基礎(chǔ)，就可以借助平面嚙合原理進(jìn)行非圓錐齒輪傳動(dòng)的齒形分析和設(shè)計(jì)。

1.4非圓錐齒輪模型創(chuàng)建

給定齒厚、頂圓高和齒根高，結(jié)合數(shù)學(xué)軟件，根據(jù)設(shè)計(jì)理論編制數(shù)學(xué)程序，計(jì)算錐齒輪的齒廓坐標(biāo)，將齒廓坐標(biāo)計(jì)算結(jié)果導(dǎo)入Solidworks軟件中，利用輪廓數(shù)據(jù)點(diǎn)生成樣條曲線來創(chuàng)建齒輪齒廓，生成非圓齒輪三維模型。用上述方法設(shè)計(jì)的非圓錐齒輪對(duì)如圖4所示，齒數(shù)分別為7、14。同理設(shè)計(jì)齒數(shù)分別為9、18的齒輪對(duì)。

圖4　7—14齒非圓錐齒輪對(duì)

2　運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真分析

為檢驗(yàn)所設(shè)計(jì)非圓錐齒輪對(duì)的運(yùn)動(dòng)情況，檢查其齒形能否正確嚙合，以及兩個(gè)齒輪能否提供預(yù)設(shè)的傳動(dòng)比，要對(duì)其三維模型進(jìn)行干涉檢查和運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真。

2.1仿真分析方法

將設(shè)計(jì)的大小兩個(gè)非圓錐齒輪進(jìn)行配合，創(chuàng)建非圓錐齒輪裝配仿真模型(如圖4所示)。小齒輪為主動(dòng)齒輪，繞其固定軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，通過齒輪間的嚙合，將運(yùn)動(dòng)傳遞給大齒輪，大齒輪繞其軸線轉(zhuǎn)動(dòng)。

進(jìn)入SolidWorks Motion分析環(huán)境，選取兩個(gè)模型，對(duì)裝配好的兩個(gè)齒輪進(jìn)行接觸的定義[7-9]。定義伺服電動(dòng)機(jī)，選擇小齒輪的連接軸作為伺服電動(dòng)機(jī)的驅(qū)動(dòng)對(duì)象，并且規(guī)定電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)方向，設(shè)定小齒輪的當(dāng)前位置為初始位置，定義伺服電動(dòng)機(jī)的速度為常數(shù)“60 r/min”。

最后，對(duì)運(yùn)動(dòng)分析屬性進(jìn)行設(shè)置，運(yùn)動(dòng)幀數(shù)設(shè)置1 000，接觸精度0.000 000 001，高級(jí)設(shè)置中設(shè)置解算器WISTIFF，以獲得足夠的運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)，保證運(yùn)動(dòng)分析數(shù)據(jù)的精確性。

2.3運(yùn)動(dòng)分析數(shù)據(jù)獲取

運(yùn)動(dòng)分析后，可得大齒輪運(yùn)動(dòng)仿真速度數(shù)據(jù)，取極限位置為起始點(diǎn)，一個(gè)周期的數(shù)據(jù)分析。部分?jǐn)?shù)據(jù)見表1。

2.4誤差計(jì)算及分析

設(shè)計(jì)不同齒數(shù)的非圓錐齒輪進(jìn)行配合，分別設(shè)計(jì)7齒與14齒、9齒與18齒兩組齒輪進(jìn)行嚙合運(yùn)動(dòng)仿真。小齒輪轉(zhuǎn)速n1=360 deg/s，代入傳動(dòng)比設(shè)計(jì)規(guī)律式(2)，則大齒輪的理論角速度為n2t=n1i12=360×i12。

表1　齒輪運(yùn)動(dòng)仿真速度數(shù)據(jù)與理論角速度

對(duì)于數(shù)據(jù)采集點(diǎn)j處，其理論速度與仿真分析角速度差為

Δnj=n2t-n2

(10)

則角速度差的均值為

(11)

則角速度差的方差為

(12)

對(duì)角速度差數(shù)據(jù)處理，計(jì)算其均值和方差。去除運(yùn)動(dòng)仿真時(shí)嚙合機(jī)構(gòu)運(yùn)行的啟動(dòng)階段數(shù)據(jù)，速度曲線及計(jì)算結(jié)果見表2。

從7—14齒齒輪對(duì)模型計(jì)算結(jié)果可以看出，仿真速度曲線與理論設(shè)計(jì)曲線相吻合，速度差值較小，由方差可以看出理論與分析速度差變化幅度小，運(yùn)動(dòng)相對(duì)穩(wěn)定。

表2　大齒輪理論與仿真分析計(jì)算結(jié)果

設(shè)計(jì)9—18齒齒輪對(duì)模型，與7—14齒齒輪對(duì)模型進(jìn)行對(duì)比，由于齒數(shù)的增加，嚙合傳動(dòng)更加充分，速度差的均值變小，其方差也變小，運(yùn)動(dòng)更平穩(wěn)。兩組模型的均值和方差計(jì)算結(jié)果都較小，在合理范圍內(nèi)，表明非圓錐齒輪的設(shè)計(jì)計(jì)算、模型建立以及仿真方法的正確性。

但從兩組模型的仿真速度曲線可以看到，在靠近速度最大與最小的極限位置，速度波動(dòng)程度相對(duì)較大，出現(xiàn)小幅度速度突變。以7—14齒齒輪對(duì)為例，速度突變處對(duì)應(yīng)的極限位置分別如圖5、圖6所示。

圖5　極限位置1

圖6　極限位置2

節(jié)曲線的設(shè)計(jì)在理論上是處處光滑的，極限位置1、2處既是傳動(dòng)比變化最大處，也是節(jié)曲線變化最大處，該位置出現(xiàn)速度曲線突變的原因，一方面是該處曲線齒廓曲線精度較低，另一方面齒廓曲線采用數(shù)值方法來設(shè)計(jì)，必然存在一定誤差，這也是未來需要深入研究之處。

通過分析可知：齒數(shù)增加可以減小誤差，但齒數(shù)增加同時(shí)減小輪齒的“模數(shù)”，從而減小抗彎強(qiáng)度，這是實(shí)際的一個(gè)矛盾點(diǎn)；另一方面，減小鎖緊系數(shù)可以減小誤差，這與設(shè)計(jì)期望相矛盾。綜合考慮，設(shè)計(jì)參數(shù)合理，且在工程誤差允許范圍內(nèi)。

3　結(jié)　語

本文基于保測(cè)地曲率映射的非圓錐齒輪傳動(dòng)設(shè)計(jì)分析方法，提出新的傳動(dòng)比規(guī)律，設(shè)計(jì)非圓錐齒輪，提高鎖緊系數(shù)。設(shè)計(jì)兩組不同齒數(shù)的配合齒輪對(duì)，分別進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真以及誤差分析，均值和方差計(jì)算結(jié)果都在合理范圍內(nèi)；分析了最大誤差位置及誤差產(chǎn)生的主要原因，齒數(shù)增加可以減小誤差，使運(yùn)動(dòng)更平穩(wěn)，增大鎖緊系數(shù)會(huì)增大誤差。所設(shè)計(jì)齒輪能實(shí)現(xiàn)預(yù)期的運(yùn)動(dòng)特性，為非圓錐齒輪的設(shè)計(jì)和制造提供了參考方法和理論依據(jù)。

[1]林超，龔海，侯玉杰，等．高階橢圓錐齒輪齒形設(shè)計(jì)與加工[J]．中國機(jī)械工程，2012，23(3)：253-254．

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(編輯：史海英)

Design and Kinematic Simulation of Noncircular Bevel Gears

LI Wenchang1, JIA Jumin2, ZHANG Xueling2

(1.Postgraduate Training Brigade, Military Transportation University, Tianjin 300161,China;2.Military Logistics Department, Military Transportation University, Tianjin 300161,China)

To improve the locking coefficients of variable ratio differentials, by using preserved geodesic curvature designing method, this paper presents the laws of transmission ratio, comes up with a new design of noncircular bevel gear and builds a 3-Dimentional model by which kinematical simulation are carried out with the transmission of this gear. The comparison between the data obtained from the kinematic simulation and the results of the theoretical calculation verifies the method and the model.

noncircular bevel gear; kinematic simulation; error analysis

2015-10-15；

2015-11-13．

天津市應(yīng)用基礎(chǔ)與前沿技術(shù)研究計(jì)劃項(xiàng)目(12JC2DJC34600)．

李文長(1992—)，男，碩士研究生；

賈巨民(1965—)，男，博士，教授，碩士研究生導(dǎo)師．

10．16807/j.cnki.12-1372/e.2016.07.021

TH132.4

A

1674-2192(2016)07- 0091- 05