基于銑刀精確建模的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)預(yù)測(cè)方法

朱堅(jiān)民， 何丹丹， 張統(tǒng)超

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基于銑刀精確建模的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)預(yù)測(cè)方法

朱堅(jiān)民， 何丹丹， 張統(tǒng)超

(上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海200093)

為準(zhǔn)確地獲取銑刀刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)，提出一種基于銑刀精確建模的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)的預(yù)測(cè)方法。該方法基于RCSA理論和Timoshenko梁理論，將機(jī)床-主軸-刀柄-刀具系統(tǒng)劃分為機(jī)床-主軸-刀柄-部分刀桿和剩余銑刀兩個(gè)部分，并將剩余銑刀細(xì)分為剩余刀桿、過(guò)渡段以及多段刀齒。將銑刀分為對(duì)稱(chēng)型銑刀和非對(duì)稱(chēng)型銑刀兩類(lèi)，并針對(duì)每類(lèi)銑刀各部分分別進(jìn)行精確建模。以多把2刃和4刃銑刀為研究對(duì)象，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)試，比較本文方法、等效質(zhì)量法預(yù)測(cè)的銑刀刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)與實(shí)測(cè)刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)之間的差異，分析結(jié)果表明：該方法比等效質(zhì)量法具有更高的預(yù)測(cè)精度，所預(yù)測(cè)頻響函數(shù)的固有頻率與實(shí)測(cè)頻響函數(shù)固有頻率的相對(duì)誤差在5%以?xún)?nèi)。

刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)預(yù)測(cè)；響應(yīng)耦合子結(jié)構(gòu)分析法；等效質(zhì)量法；銑刀精確建模；實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)測(cè)試

機(jī)床高速加工過(guò)程中，機(jī)床的切削顫振會(huì)降低工件表面精度，甚至?xí)觿〉毒叩哪p和主軸的損壞[1]。目前，避免機(jī)床切削顫振最為有效的方法是借助顫振穩(wěn)定性葉瓣圖來(lái)確定避開(kāi)引起機(jī)床顫振的切削工藝參數(shù)[2]，而獲得切削系統(tǒng)刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)是確定顫振穩(wěn)定性葉瓣圖的先決條件。刀尖點(diǎn)的頻響函數(shù)可以通過(guò)模態(tài)錘擊實(shí)驗(yàn)獲得，但在實(shí)際加工過(guò)程中，由于刀具刀柄的不同組合所引起的重復(fù)性模態(tài)測(cè)試，不僅會(huì)占用加工的大量時(shí)間，還會(huì)引入人為誤差[3]。為此，SCHMITZ等[4]提出了響應(yīng)耦合子結(jié)構(gòu)分析(Receptance Coupling Substructure Analysis，RCSA)法用于預(yù)測(cè)銑刀刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)，將該方法應(yīng)用到HSK[5]刀柄上，采用多把長(zhǎng)徑比不同的刀具進(jìn)一步驗(yàn)證了RCSA理論的正確性，并將此法用于預(yù)測(cè)穩(wěn)定性葉瓣圖[6]。為了獲得更為準(zhǔn)確的銑刀刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)，近年來(lái)，很多學(xué)者在此基礎(chǔ)上對(duì)該方法進(jìn)行了改進(jìn)，主要在結(jié)合面建模及參數(shù)識(shí)別[7-13]等方面進(jìn)行了諸多研究，如王二化等[7]利用傳遞矩陣法與RCSA耦合算法預(yù)測(cè)刀尖頻響函數(shù)，并通過(guò)PSO優(yōu)化算法辨識(shí)主軸-刀柄、刀柄-刀具的結(jié)合面參數(shù)。AHMADI等[8]建立主軸-刀柄-刀具結(jié)合面剛度的多項(xiàng)式模型，并通過(guò)非線(xiàn)性最小二乘法辨識(shí)方程參數(shù)，基于RCSA法預(yù)測(cè)銑刀刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)。MEHRPOUYA等[9]采用逆響應(yīng)耦合法辨識(shí)組合刀具中刀具子結(jié)構(gòu)之間的結(jié)合面參數(shù)。AHMADIA等[10]采用連續(xù)彈性層模擬主軸-刀柄、刀柄-刀具的結(jié)合面，推導(dǎo)出包含結(jié)合面的系統(tǒng)頻響函數(shù)公式。SCHMITZ等[11]提出多點(diǎn)響應(yīng)耦合法建立刀柄-刀具結(jié)合面的模型，并耦合到機(jī)床主軸系統(tǒng)中[12]，預(yù)測(cè)銑刀刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)。XIAO等[13]通過(guò)有限元法建立主軸-刀柄之間無(wú)質(zhì)量、無(wú)厚度的結(jié)合面模型，通過(guò)系統(tǒng)的振動(dòng)方程辨識(shí)結(jié)合面參數(shù)，并在有限元中預(yù)測(cè)刀柄末端的頻響函數(shù)。但是基于銑刀精確建模的研究并不多，而銑刀的精確建模對(duì)于刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)也具有重要影響[14]。目前銑刀的建模方法主要是等效建模法，即將銑刀劃分為刀桿和刀齒兩個(gè)部分，通過(guò)不同的等效原則將刀齒部分等效為均勻直徑圓柱梁。張俊等[14]總結(jié)了銑刀等效建模的三種方法，即等效質(zhì)量法(Equivalent Mass Method，EqM法)、等截面積法以及等剛度法，并提出了基于等平均慣性矩法進(jìn)行修正的銑刀刀齒等效建模方法[15]，該方法考慮了銑刀刀齒占總長(zhǎng)的比例、刀齒螺旋角以及刀具長(zhǎng)徑比等因素。ZHANG等[16]還在銑刀等效直徑的計(jì)算上采用刀齒質(zhì)量等效的方法，通過(guò)對(duì)比預(yù)測(cè)刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)和實(shí)測(cè)刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)，表明等效質(zhì)量法的等效效果較好。KOPS等[17]建立了3刃和4刃銑刀刀齒截面的實(shí)際模型，利用刀齒剛度相等的原則計(jì)算刀齒等效直徑，對(duì)于所測(cè)試的3刃銑刀和4刃銑刀，其等效模型和實(shí)際模型的受力變形誤差大約在2.25%。此外，F(xiàn)ILIZ等[18-19]不區(qū)分銑刀的刀桿和刀齒，直接采用與銑刀最外端的包絡(luò)圓直徑相等的圓柱體進(jìn)行等效建模。

上述研究中，將銑刀采用不同原則等效為等直徑梁無(wú)法精確反映銑刀的真實(shí)結(jié)構(gòu)，未考慮銑刀的真實(shí)曲面，進(jìn)而導(dǎo)致刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)的預(yù)測(cè)精度有待進(jìn)一步提升。針對(duì)以上問(wèn)題，本文提出銑刀精確化建模 (Actual Modeling of Milling Cutter，AMMC)的方法，該方法按銑刀的實(shí)際結(jié)構(gòu)將銑刀細(xì)分為銑刀刀桿、過(guò)渡段以及多段刀齒，分別進(jìn)行精確建模。并基于RCSA理論和Timoshenko梁理論，對(duì)銑刀刀尖點(diǎn)的頻響函數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，獲得了較高的預(yù)測(cè)精度。

1　機(jī)床-主軸-刀柄-刀具系統(tǒng)的響應(yīng)耦合模型

1.1機(jī)床-主軸-刀柄-刀具系統(tǒng)的子結(jié)構(gòu)劃分

為提高刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)的預(yù)測(cè)精度，本文對(duì)銑刀進(jìn)行精確建模，將機(jī)床-主軸-刀柄-刀具系統(tǒng)劃分為機(jī)床-主軸-刀柄-部分刀桿和剩余銑刀兩大部分?？紤]銑刀的實(shí)際結(jié)構(gòu)，將剩余銑刀細(xì)分為剩余刀桿、過(guò)渡段以及多段刀齒。圖1以立式加工中心VMC850E的加工系統(tǒng)為例，給出了系統(tǒng)子結(jié)構(gòu)劃分的示意圖。圖1中，機(jī)床-主軸-刀柄-刀具系統(tǒng)被劃分為7個(gè)子結(jié)構(gòu)，其中子結(jié)構(gòu)Ⅰ-Ⅳ為刀齒部分，子結(jié)構(gòu)Ⅴ為銑刀過(guò)渡段，子結(jié)構(gòu)Ⅵ為剩余刀桿，子結(jié)構(gòu)Ⅶ為機(jī)床-主軸-刀柄-部分刀桿部分。

圖1　機(jī)床-主軸-刀柄-刀具系統(tǒng)的子結(jié)構(gòu)劃分Fig.1 Substructure division of machine tool-spindle-holder-cutting tool system

1.2機(jī)床-主軸-刀柄-刀具系統(tǒng)的子結(jié)構(gòu)響應(yīng)耦合分析

假設(shè)子結(jié)構(gòu)Ⅰ-Ⅶ之間為剛性耦合，通過(guò)RCSA順序耦合各子結(jié)構(gòu)Ⅰ-Ⅶ確定刀尖點(diǎn)的原點(diǎn)頻響函數(shù)矩陣。下面以圖1中子結(jié)構(gòu)Ⅰ、Ⅱ的耦合為例說(shuō)明RCSA原理。將子結(jié)構(gòu)Ⅰ和子結(jié)構(gòu)Ⅱ耦合后兩端自由的子結(jié)構(gòu)記為Ⅰ-Ⅱ，耦合原理如圖2所示。

圖2　RCSA耦合子結(jié)構(gòu)Ⅰ、Ⅱ的原理Fig.2 Principle of RCSA used to couple substructure Ⅰ and Ⅱ

圖2中兩端自由的子結(jié)構(gòu)Ⅰ、Ⅱ的頻響函數(shù)矩陣Rij可表示為通式(1)

(1)

式中:i,j=1,2a或i,j=2b,3a，Hij、Lij、Nij和Pij依次為子結(jié)構(gòu)Ⅰ或子結(jié)構(gòu)Ⅱ在j點(diǎn)激勵(lì)下i點(diǎn)獲得響應(yīng)的位移/力、位移/力矩、轉(zhuǎn)角/力以及轉(zhuǎn)角/力矩的頻響函數(shù)。Fj、Mj分別為j點(diǎn)處所受到的外力和外力矩；Xi、θi分別為在外力和外力矩的作用下i點(diǎn)處的平動(dòng)位移和轉(zhuǎn)角。

耦合后的子結(jié)構(gòu)Ⅰ-Ⅱ的頻響函數(shù)矩陣RCij可表示為通式(2)

(2)

式中:RCij為子結(jié)構(gòu)Ⅰ-Ⅱ的頻響函數(shù)矩陣(i,j=1,3a)，HCij、LCij、NCij和PCij依次為子結(jié)構(gòu)Ⅰ-Ⅱ在j點(diǎn)激勵(lì)下i點(diǎn)獲得響應(yīng)的位移/力、位移/力矩、轉(zhuǎn)角/力以及轉(zhuǎn)角/力矩的頻響函數(shù)。

根據(jù)子結(jié)構(gòu)Ⅰ和子結(jié)構(gòu)Ⅱ在結(jié)合處的兼容條件和平衡方程，可得到子結(jié)構(gòu)Ⅰ-Ⅱ的頻響函數(shù)矩陣與子結(jié)構(gòu)Ⅰ、子結(jié)構(gòu)Ⅱ的頻響函數(shù)矩陣之間的關(guān)系，如式(3)所示[20]。

(3)

類(lèi)似地，根據(jù)RCSA理論，通過(guò)式(3)順序耦合子結(jié)構(gòu)Ⅰ-Ⅶ，最終得到刀尖點(diǎn)原點(diǎn)頻響函數(shù)矩陣G11。

G11=RC11-RC17a(RC7a7a+R7b7b)-1RC7a1

(4)

式中:G11可表示為

(5)

式中：HC11、LC11、NC11和PC11依次為刀尖點(diǎn)的位移/力、位移/力矩、轉(zhuǎn)角/力以及轉(zhuǎn)角/力矩的頻響函數(shù)，其中HC11也可簡(jiǎn)稱(chēng)為刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)。

為借助顫振穩(wěn)定性葉瓣圖來(lái)確定不會(huì)引起機(jī)床顫振的切削工藝參數(shù)，需根據(jù)刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)計(jì)算銑刀極限切削寬度blim，如式(6)所示，并通過(guò)比較實(shí)際切削寬度是否小于極限切削寬度blim以判斷銑削過(guò)程的穩(wěn)定性。因此刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)的準(zhǔn)確性對(duì)于blim計(jì)算結(jié)果的可靠性具有至關(guān)重要的作用。

(6)

式中：Kf為切削厚度方向上的切削力系數(shù)；m為在切削的平均齒數(shù)；Re(H(ω))為銑刀刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)的實(shí)部。

另外，式(4)中的R7b7b是子結(jié)構(gòu)Ⅶ末端的頻響函數(shù)矩陣，可表示為

(7)

式中:H7b7b可通過(guò)對(duì)子結(jié)構(gòu)Ⅶ進(jìn)行錘擊試驗(yàn)得到。由于R7b7b中考慮了與轉(zhuǎn)動(dòng)自由度相關(guān)的頻響函數(shù)L7b7b、N7b7b和P7b7b，而轉(zhuǎn)角無(wú)法直接準(zhǔn)確測(cè)量，導(dǎo)致與轉(zhuǎn)動(dòng)自由度相關(guān)的頻響函數(shù)難以求解，一般采用間接計(jì)算方法。目前學(xué)者提出的間接計(jì)算方法主要有解方程組法[19]，一階有限差分法[21]，二階有限差分法[22-23]，多段EB梁公式法[24]。和其他方法相比，一階有限差分法應(yīng)用廣泛、測(cè)量簡(jiǎn)便，本文基于RCSA理論，采用一階有限差分法計(jì)算R7b7b中的L7b7b、N7b7b和P7b7b，原理如圖3所示。

圖3　有限差分法計(jì)算原理圖Fig.3 Principle of finite difference method

首先通過(guò)一階有限差分法計(jì)算出圖3中7點(diǎn)處的頻響函數(shù)矩陣G77，然后根據(jù)RCSA的耦合原理，推導(dǎo)出G77的耦合公式，如式(8)所示。

G77=RC7a7a-RC7a7a(RC7a7a+R7b7b)-1RC7a7a

(8)

根據(jù)式(8)可反向推出R7b7b，如式(9)所示。

R7b7b=RC7a7a(RC7a7a-G77)-1RC7a7a-RC7a7a

(9)

式中:RC7a7a為子結(jié)構(gòu)Ⅰ-Ⅵ耦合后的頻響函數(shù)矩陣，可通過(guò)本文第2節(jié)理論計(jì)算而得。G77可表示為

(10)

式中:H77可通過(guò)錘擊試驗(yàn)獲得，其他參數(shù)可通過(guò)一階有限差分法計(jì)算而得。根據(jù)一階有限差分法有

(11)

式中:S為點(diǎn)7和點(diǎn)8之間的距離，H77為刀桿上點(diǎn)7的原點(diǎn)平動(dòng)位移頻響函數(shù)，H78為刀桿上點(diǎn)8的跨點(diǎn)平動(dòng)位移頻響函數(shù)，H77、H78可通過(guò)錘擊試驗(yàn)得到。

根據(jù)頻響函數(shù)矩陣的互易性原理有

N77=L77

(12)

則

(13)

至此，R7b7b中的參數(shù)均可確定，將R7b7b代入式(4)中可得到理論刀尖點(diǎn)原點(diǎn)頻響函數(shù)矩陣G11，從而確定刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)HC11。

2　子結(jié)構(gòu)Ⅰ-Ⅵ的頻響函數(shù)計(jì)算

子結(jié)構(gòu)Ⅰ-Ⅵ在自由狀態(tài)下，其頻響函數(shù)矩陣可通過(guò)有限元、EB梁模型或Timoshenko梁模型計(jì)算得到。有限元法需要建立刀具的三維模型，當(dāng)處理的刀具種類(lèi)較多，刀具結(jié)構(gòu)復(fù)雜時(shí)，該方法相比于梁模型計(jì)算法顯得費(fèi)時(shí)費(fèi)力。EB梁模型忽略了梁的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切效應(yīng)，計(jì)算簡(jiǎn)單，適用于細(xì)長(zhǎng)梁的頻響函數(shù)計(jì)算；而Timoshenko梁考慮了梁的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切效應(yīng)，對(duì)于短粗梁的頻響函數(shù)計(jì)算相比EB梁模型更為準(zhǔn)確。本文考慮銑刀的精確建模，將銑刀細(xì)分為多段短粗梁，如圖1所示，銑刀各子結(jié)構(gòu)的長(zhǎng)徑比較小，適合用Timoshenko梁模型計(jì)算其頻響函數(shù)。根據(jù)文獻(xiàn)[20,25-26]，按照Timoshenko梁模型，參照?qǐng)D4定義的單個(gè)兩端自由的子結(jié)構(gòu)，可得到其頻響函數(shù)的計(jì)算公式，如式(14)～(17)所示。

圖4　兩端自由的Timoshenko梁模型的坐標(biāo)定義Fig.4 Coordinate definition of a free-free Timoshenko beam model

(14)

(15)

(16)

(17)

式中:Φ,Φ′分別為兩端自由的Timoshenko梁的平動(dòng)振型函數(shù)和平動(dòng)振型函數(shù)對(duì)x的導(dǎo)數(shù)，且Φ是截面慣性矩的函數(shù)[20,25]；γ為阻尼因子，ω為角頻率，r為模態(tài)階數(shù)。

本文對(duì)銑刀進(jìn)行精確建模，圖1中子結(jié)構(gòu)Ⅰ-Ⅵ的截面形狀不同，如圖5所示。根據(jù)式(14)～(17)，對(duì)于同一把銑刀，各子結(jié)構(gòu)Ⅰ-Ⅵ的頻響函數(shù)計(jì)算中除了截面慣性矩不同外，其他參數(shù)均相同，因此，子結(jié)構(gòu)Ⅰ-Ⅵ的頻響函數(shù)計(jì)算的差異主要在于子結(jié)構(gòu)Ⅰ-Ⅵ截面慣性矩的不同。

3　子結(jié)構(gòu)Ⅰ-Ⅵ截面慣性矩的計(jì)算

銑刀的建模一般忽略銑刀刀齒過(guò)渡段的實(shí)際建模，將銑刀分為刀桿和刀齒兩個(gè)部分，并通過(guò)不同的等效原則將刀齒簡(jiǎn)化等效為均勻直徑圓柱梁，其中EqM法計(jì)算簡(jiǎn)單，應(yīng)用廣泛。為了驗(yàn)證本文AMMC法的有效性，將通過(guò)對(duì)比AMMC法、EqM法預(yù)測(cè)的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)與實(shí)測(cè)刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)三者之間的差異來(lái)說(shuō)明。EqM法基于銑刀刀齒質(zhì)量和均勻直徑圓柱梁質(zhì)量相等的原則，確定刀齒等效模型直徑dm，如式(18)所示。

(18)

式中,M為刀具總質(zhì)量；ρ為刀具材料的密度；ls、ds分別為刀桿的長(zhǎng)度和直徑；lf為銑刀刀齒段的長(zhǎng)度。

通過(guò)對(duì)圖5所示的銑刀實(shí)際結(jié)構(gòu)的分析，如將銑刀截面等效為圓形截面計(jì)算其截面慣性矩會(huì)產(chǎn)生較大的建模誤差。本文采用AMMC法按照銑刀實(shí)際截面形狀計(jì)算其截面慣性矩，并將銑刀分為對(duì)稱(chēng)型銑刀和非對(duì)稱(chēng)型銑刀，即在銑刀截面建立x-y笛卡爾二維坐標(biāo)系，如果銑刀刀齒截面對(duì)x軸的慣性矩和對(duì)y軸的慣性矩相等，則該銑刀屬于對(duì)稱(chēng)型銑刀，否則屬于非對(duì)稱(chēng)型銑刀。

圖5　2刃和4刃銑刀截面Fig.5 Section of the two fluted milling cutter and the four fluted one

本文以右旋2刃銑刀(非對(duì)稱(chēng)型銑刀)和右旋4刃銑刀(對(duì)稱(chēng)型銑刀)為例，推導(dǎo)基于A(yíng)MMC法的對(duì)稱(chēng)型銑刀和非對(duì)稱(chēng)型銑刀各子結(jié)構(gòu)截面慣性矩的計(jì)算公式，并確定相關(guān)參數(shù)。

3.1銑刀刀齒段子結(jié)構(gòu)Ⅰ-Ⅳ截面慣性矩的計(jì)算

由于刀齒螺旋槽的存在，對(duì)稱(chēng)型銑刀和非對(duì)稱(chēng)型銑刀的刀齒部分具有如下特點(diǎn)，即在距刀齒端面不同距離處的刀齒截面幾何形狀相同，不同的是其位置相對(duì)刀齒端面轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度，如圖6所示。令u-v為銑刀刀齒任意截面上的坐標(biāo)系，x-y為銑刀刀齒端面的坐標(biāo)系，u-v相對(duì)于x-y的轉(zhuǎn)角為ψ。為計(jì)算方便，將u-v作為銑刀刀齒任意截面上的局部坐標(biāo)系，將x-y作為銑刀各部分截面慣性矩計(jì)算的全局坐標(biāo)系，并將刀齒任意截面u-v坐標(biāo)系下的截面慣性矩轉(zhuǎn)換到x-y坐標(biāo)系下，轉(zhuǎn)換過(guò)程如式(19)所示。因此，本文首先計(jì)算銑刀端面處的截面慣性矩，然后根據(jù)式(19)確定距離銑刀端面不同距離處的刀齒截面慣性矩。

(a)　2刃銑刀刀齒端(截)面坐標(biāo)系定義

(b)　4刃銑刀 刀齒端(截)面坐標(biāo)系定義圖6　2刃銑刀和4刃銑刀刀齒端(截)面坐標(biāo)系Fig.6 Coordinate system of the two fluted milling cutter’s end face (or section) and the four fluted one’s

(19)

(20)

式中：z為銑刀刀齒任意截面距離刀齒端面的距離；β為銑刀螺旋角；D為銑刀刀齒圓柱基體直徑。

由圖6可以看出，2刃和4刃銑刀截面具有中心對(duì)稱(chēng)的特點(diǎn)。根據(jù)文獻(xiàn)[1]，可先求解1/2的2刃銑刀和1/4的4刃銑刀端面的慣性矩，如式(21)、式(22)所示。

式(21)、(22)中，

(23)

(24)

式(23)、(24)中，r為銑刀切削刃圓弧半徑，a為銑刀切削刃圓弧中心到銑刀中心的距離，fd為銑刀螺旋槽直徑。Reqi為i刃銑刀刀齒截面的等效半徑，i=2,4。Ix,j為j刃銑刀刀齒端面對(duì)x軸的慣性矩，Iy,j為j刃銑刀刀齒端面對(duì)y軸的慣性矩，j=2,4。

將式(23)代入式(21)，得到2刃銑刀刀齒端面對(duì)x軸的慣性矩和對(duì)y軸的慣性矩，如式(25)所示。由于Ix,2、Iy,2展開(kāi)式較為復(fù)雜，本文通過(guò)中間量I21、I22、I23和矩陣A、B、C表示，I21、I22、I23的定義如式(26)所示，A、B、C的定義如式(27)所示。

(25)

(27)

將式(24)代入式(22)，得到4刃銑刀刀齒端面對(duì)x軸的慣性矩和對(duì)y軸的慣性矩，如式(28)所示。同理，Ix,4、Iy,4可通過(guò)中間量I41、I42、I43和矩陣D、E、F表示，I41、I42、I43的定義如式(29)所示，D、E、F的定義如式(30)所示。

(28)

然后根據(jù)刀齒截面中心對(duì)稱(chēng)的特點(diǎn)可得到2刃銑刀和4刃銑刀刀齒端面剩余部分的截面慣性矩，最后通過(guò)疊加原理得到2刃和4刃銑刀刀齒端面對(duì)x軸總的慣性矩Ix,2tot、Ix,4tot和對(duì)y軸總的慣性矩Iy,2tot、Iy,4tot，如式(31)和式(32)所示。

(31)

(32)

式(23)、(24)中，r,a可通過(guò)銑刀刀齒端面的幾何邊界條件確定。對(duì)于2刃銑刀，其幾何邊界條件如式(33)所示，通過(guò)求解得到r,a，如式(34)所示。

(33)

(34)

同理可得4刃銑刀刀齒的參數(shù)r,a，如式(35)所示。

(35)

為了獲得銑刀刀齒部分距刀齒端面不同距離處的截面慣性矩，可將求出的Ix,2tot和Iy,2tot、Ix,4tot和Iy,4tot代入式(19)，即可得到2刃和4刃銑刀刀齒部分距刀齒端面不同距離處的截面慣性矩。

3.2銑刀過(guò)渡段子結(jié)構(gòu)Ⅴ截面慣性矩的計(jì)算

銑刀刀齒和刀桿之間的部分為銑刀過(guò)渡段，2刃和4刃銑刀過(guò)渡段的截面形狀如圖7所示。

圖7　2刃銑刀和4刃銑刀過(guò)渡段截面分塊Fig.7 Transition section block of the two fluted milling cutter and the four fluted one

本文對(duì)銑刀過(guò)渡段截面慣性矩的計(jì)算采用分塊計(jì)算再疊加的方法。根據(jù)對(duì)稱(chēng)型銑刀和非對(duì)稱(chēng)型銑刀截面的特點(diǎn)，在銑刀過(guò)渡段截面建立以其形心為坐標(biāo)原點(diǎn)的笛卡爾二維坐標(biāo)系，然后以其原點(diǎn)為中心，劃分出若干塊三角形區(qū)域和扇形區(qū)域，分別計(jì)算每塊區(qū)域的截面慣性矩后再依次疊加，確定截面整體的截面慣性矩。下面以2刃銑刀為例具體說(shuō)明計(jì)算過(guò)程。

步驟1以2刃銑刀過(guò)渡段截面形心為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立笛卡爾二維坐標(biāo)系，如圖7(a)所示。

步驟2將2刃銑刀劃分為四個(gè)區(qū)域，分別標(biāo)號(hào)為①、②、③、④。

步驟3分別計(jì)算各區(qū)域?qū)軸的慣性矩和對(duì)y軸的慣性矩。

步驟4疊加各區(qū)域?qū)軸的慣性矩和對(duì)y軸的慣性矩，最終得到整個(gè)截面對(duì)x軸總的慣性矩和對(duì)y軸總的慣性矩。

圖7(a)中，②、④為三角形區(qū)域，①、③為扇形區(qū)域，先按照?qǐng)D8(a)、8(b)分別建立坐標(biāo)系計(jì)算單個(gè)三角形區(qū)域和扇形區(qū)域?qū)軸慣性矩和對(duì)y軸慣性矩，如式(36)所示。

圖8　三角形、扇形截面坐標(biāo)系Fig.8 Coordinate system of triangle and sector cross section

(36)

式中:Itx為三角形截面對(duì)x軸的慣性矩；Ity為三角形截面對(duì)y軸的慣性矩；Isx為扇形截面對(duì)x軸的慣性矩；Isy為扇形截面對(duì)y軸的慣性矩。

然后根據(jù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換原理得到剩余部分三角形區(qū)域和扇形區(qū)域的截面慣性矩，轉(zhuǎn)換原理同式(19)。經(jīng)過(guò)疊加，最終得到2刃銑刀過(guò)渡段截面對(duì)x軸總的慣性矩Ix,2tot和對(duì)y軸總的慣性矩Iy,2tot，如式(37)所示。

(37)

同理可得4刃銑刀過(guò)渡段對(duì)x軸總的慣性矩Ix,4tot和對(duì)y軸總的慣性矩Iy,4tot，如式(38)所示。

(38)

3.3銑刀刀桿子結(jié)構(gòu)Ⅵ截面慣性矩的計(jì)算

銑刀刀桿部分截面為圓形，其對(duì)x軸的慣性矩Ix和對(duì)y軸的慣性矩Iy為

(39)

式中:D為銑刀刀桿段的直徑。

4　實(shí)驗(yàn)研究

4.1實(shí)驗(yàn)方案與步驟

為驗(yàn)證本文AMMC法的有效性，本文在VMC850E立式加工中心上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究。

根據(jù)AMMC法的理論推導(dǎo)可知，2刃銑刀x向、y向上的理論刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)不同，4刃銑刀x向、y向上的理論刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)相同。根據(jù)式(6)計(jì)算銑刀的極限切削寬度blim時(shí)，2刃銑刀會(huì)因?yàn)閤向、y向上刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)的差異，而需判斷采用哪個(gè)方向的頻響函數(shù)計(jì)算blim更為可靠。因此本文先通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證AMMC法將銑刀分為對(duì)稱(chēng)型和非對(duì)稱(chēng)型銑刀分別進(jìn)行建模的合理性和必要性，即通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果判斷2刃和4刃銑刀各自在x向、y方向上的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)是否存在差異，并討論2刃銑刀采用哪個(gè)方向上的頻響函數(shù)計(jì)算blim更為可靠。然后通過(guò)對(duì)比AMMC法銑刀建模、EqM法銑刀建模時(shí)預(yù)測(cè)的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)與實(shí)測(cè)刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)之間的差異，驗(yàn)證AMMC法的有效性。實(shí)驗(yàn)中所用的主要設(shè)備和銑刀的相關(guān)參數(shù)如表1和表2所示。

表1　實(shí)驗(yàn)設(shè)備相關(guān)參數(shù)

表2　實(shí)驗(yàn)所用銑刀參數(shù)表

實(shí)驗(yàn)步驟如下：

步驟1按照?qǐng)D9所示原理安裝銑刀和加速度傳感器，進(jìn)行刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)測(cè)試。實(shí)驗(yàn)所用銑刀在刀柄中的裝夾長(zhǎng)度均為20 mm，分別測(cè)量2刃和4刃銑刀x向、y向的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)。

圖9　銑刀刀尖點(diǎn)頻響特性測(cè)試Fig.9 Tool point frequency response test

步驟2按照?qǐng)D10(a)所示原理搭建實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，按照?qǐng)D10(b)安裝加速度傳感器。選擇銑刀刀桿上點(diǎn)7的位置，該點(diǎn)位置的選擇需要注意兩點(diǎn)：①便于力錘進(jìn)行錘擊實(shí)驗(yàn)；②盡可能地接近刀柄末端，如果點(diǎn)7 距離刀柄太遠(yuǎn)會(huì)影響S的取值。

(a)　H77和H78錘擊試驗(yàn)測(cè)量的實(shí)驗(yàn)原理圖

(b)　H77和H78錘擊試驗(yàn)測(cè)量的實(shí)際實(shí)驗(yàn)照片圖10　H77和H78錘擊試驗(yàn)測(cè)量的實(shí)驗(yàn)原理圖和實(shí)驗(yàn)照片F(xiàn)ig.10 Experiment principle and test diagram of measuring H77 and H78

步驟3：選擇點(diǎn)8的位置，點(diǎn)8與點(diǎn)7之間的距離為S，兩者位于同一條母線(xiàn)上，以保證錘擊力的方向和傳感器測(cè)量的加速度方向一致；選擇點(diǎn)8時(shí)應(yīng)注意：點(diǎn)8和點(diǎn)7之間的距離S應(yīng)盡可能地選擇較大的值，以保證H77和H78的差異明顯，而具體的值應(yīng)根據(jù)不同銑刀的參數(shù)靈活選擇。本實(shí)驗(yàn)中S的取值如表3所示。

表3　S的取值

步驟4在點(diǎn)7和點(diǎn)8處分別進(jìn)行模態(tài)錘擊實(shí)驗(yàn)，使用力錘分別對(duì)點(diǎn)7和點(diǎn)8施加激振力，并用安裝在銑刀刀桿處與點(diǎn)7正對(duì)的加速度傳感器記錄振動(dòng)加速度響應(yīng)，利用數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)同步采集激振力信號(hào)和加速度信號(hào)，并進(jìn)行多次測(cè)量，使用ModelVIEW模態(tài)分析軟件對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理，得到頻響函數(shù)H77和H78。

4.2實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

根據(jù)步驟1得到實(shí)驗(yàn)所用銑刀x向、y向的實(shí)測(cè)刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)，如圖11所示。

圖11　不同銑刀x向、y向的實(shí)測(cè)刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)對(duì)比Fig.11 Comparison of different milling cutters’ experimentally obtained tool point frequency response function in x and y direction

從圖11可以看出，2刃銑刀(T1、T2、T3)x向、y向的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)實(shí)部之間、虛部之間均不重合，而4刃銑刀(T4、T5)x向、y向的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)實(shí)部之間、虛部之間十分接近，說(shuō)明2刃銑刀x向、y向的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)并不相同，4刃銑刀x向、y向的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)近似相等。實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了前述理論分析的正確性，同時(shí)也表明采用AMMC法將銑刀分為對(duì)稱(chēng)型銑刀和非對(duì)稱(chēng)型銑刀分別進(jìn)行精確建模的必要性和合理性。從圖11(a)～11(c)中還可以看出，2刃銑刀刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)在y向上的固有頻率稍小于x向上的固有頻率，y向上的頻響函數(shù)實(shí)部的最小值小于x向上頻響函數(shù)實(shí)部的最小值。按式(6)進(jìn)行銑刀極限切削寬度blim計(jì)算時(shí)，為保證blim對(duì)于銑刀截面各個(gè)方向的適用性，式(6)中Re(H(ω))需取絕對(duì)值最大的值。即對(duì)于2刃銑刀，應(yīng)選擇y方向上的頻響函數(shù)計(jì)算極限切削寬度；而對(duì)于4刃銑刀，可選擇任意坐標(biāo)方向上的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)計(jì)算其極限切削寬度。為驗(yàn)證AMMC法的有效性，本文將AMMC法、EqM法預(yù)測(cè)的銑刀刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)以及實(shí)測(cè)刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)三者之間進(jìn)行比較。根據(jù)步驟2～4得到的頻響函數(shù)H77和H78，結(jié)合式(9)～(13)計(jì)算得到R7b7b，按照AMMC法和EqM法計(jì)算兩種方法下各子結(jié)構(gòu)的截面慣性矩，利用RCSA原理耦合各子結(jié)構(gòu)，最終得到基于A(yíng)MMC法、EqM法預(yù)測(cè)的銑刀刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)與實(shí)測(cè)刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)三者之間的對(duì)比，如圖12所示。

圖12(a)～(e)分別給出了不同刀具參數(shù)(材料、直徑、長(zhǎng)度以及刃數(shù))下銑刀刀尖點(diǎn)的實(shí)測(cè)頻響函數(shù)與AMMC法、EqM法建模預(yù)測(cè)的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)的對(duì)比。從圖12(a)～(e)可以看出：①AMMC法建模預(yù)測(cè)的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)和實(shí)測(cè)的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)十分接近，AMMC法建模預(yù)測(cè)的頻響函數(shù)實(shí)部和虛部的幅值雖然與實(shí)測(cè)結(jié)果有一定的差異，但是AMMC法建模預(yù)測(cè)的頻響函數(shù)固有頻率和實(shí)測(cè)頻響函數(shù)固有頻率更為接近；②EqM法建模預(yù)測(cè)的銑刀刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)與相應(yīng)的實(shí)測(cè)結(jié)果有較大偏差；③EqM法建模預(yù)測(cè)的頻響函數(shù)基本上只有一階固有頻率與實(shí)測(cè)結(jié)果較為接近。從上述比較結(jié)果可看出，與EqM法相比，AMMC法能有效提高刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)的預(yù)測(cè)精度。

圖12　兩種建模方法下不同銑刀刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)的預(yù)測(cè)與實(shí)測(cè)結(jié)果對(duì)比Fig.12 Comparison of different milling cutters’ predicted tool point frequency response function under AMMC method and EqM method with experimental results

為了進(jìn)一步量化三者之間的差異，本文對(duì)比2刃銑刀和4刃銑刀實(shí)測(cè)刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)、AMMC法和EqM法建模預(yù)測(cè)的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)的固有頻率。實(shí)驗(yàn)結(jié)果中，T1銑刀的實(shí)測(cè)刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)只有一階固有頻率最為明顯，而其他銑刀實(shí)測(cè)刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)的前三階固有頻率比較明顯，故對(duì)T1銑刀，只比較兩種方法預(yù)測(cè)的頻響函數(shù)的一階固有頻率與實(shí)測(cè)一階固有頻率之間的差異，對(duì)其他銑刀則比較其前三階固有頻率與實(shí)測(cè)固有頻率之間的差異，如表4所示。

表4　兩種方法下刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)固有頻率與實(shí)測(cè)結(jié)果的對(duì)比

從表4可看出：EqM法預(yù)測(cè)的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)的固有頻率和實(shí)測(cè)結(jié)果之間的相對(duì)誤差在0.71%～17%之間；而AMMC法預(yù)測(cè)的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)的固有頻率和實(shí)測(cè)結(jié)果的相對(duì)誤差在5%以?xún)?nèi)，說(shuō)明采用AMMC法進(jìn)行銑刀建模預(yù)測(cè)的結(jié)果具有更高的精度，且從已有的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出：AMMC法建模對(duì)不同刀具參數(shù)(材料、直徑、長(zhǎng)度以及刃數(shù))的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)預(yù)測(cè)具有更高的預(yù)測(cè)精度。

5　結(jié)　論

(1) 提出了一種基于銑刀精確建模的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)的預(yù)測(cè)方法。該方法按銑刀的實(shí)際結(jié)構(gòu)精確建模，并基于RCSA方法和Timoshenko梁模型實(shí)現(xiàn)了刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)的精確預(yù)測(cè)。

(2) AMMC法建模將銑刀分為刀桿、過(guò)渡段以及多段刀齒，針對(duì)其各部分實(shí)際結(jié)構(gòu)，按對(duì)稱(chēng)型和非對(duì)成型銑刀分別計(jì)算其截面慣性矩，有效保證了刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)的預(yù)測(cè)精度。

(3) 理論分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：本文方法是正確的、有效的，對(duì)銑刀進(jìn)行分類(lèi)和精確建模是必要的，與經(jīng)典的EqM法相比，本文方法具有更高的預(yù)測(cè)精度，并對(duì)預(yù)測(cè)不同參數(shù)銑刀的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)具有一定的指導(dǎo)意義。

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A prediction method for tool point frequency response function based on milling cutters’ accurate models

ZHU Jianmin， HE Dandan， ZHANG Tongchao

(School of Mechanical Engineering, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China)

To obtain a more accurate tool point frequency response function, a new prediction method for tool point frequency response function based on milling cutters’ accurate models was presented. On the basis of Timoshenko beam and RCSA theories, a machine tool-spindle-holder-cutting tool system was divided into machine tool-spindle-holder-part of tool rob and the rest of milling cutter, then the rest of milling cutter was subdivided into the remaining tool rod, transition part and several cutter teeth. Furthermore, milling cutters were divided into symmetrical cutters and asymmetric cutters. The accurate models of each type of cutters were established respectively. Finally, with several two-fluted and four-fluted milling cutters as the research objects, predicted tool point frequency response function under the new method and equivalent mass method were compared with experimental results. It was experimentally proven that the new method has higher prediction accuracy than the equivalent mass method, in which the relative errors between natural frequencies of predicted frequency response function and the measured ones were within 5%.

tool point frequency response function prediction; receptance coupling substructure analysis; equivalent mass method; milling cutters’ accurate model; experimental modal testing

國(guó)家自然科學(xué)基金(50975179)；上海市教委科研創(chuàng)新項(xiàng)目(11ZZ136)；上海市科委科研計(jì)劃項(xiàng)目(13160502500)；滬江基金(D14005)

2015-09-01修改稿收到日期：2016-01-18

朱堅(jiān)民 男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1968年生

何丹丹 女，碩士生，1992年生

TH113

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.16.023