測(cè)日定位中病態(tài)問(wèn)題的有偏估計(jì)及精度分析

詹銀虎，鄭　勇，張　超

信息工程大學(xué)導(dǎo)航與空天目標(biāo)工程學(xué)院，河南 鄭州 450001

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測(cè)日定位中病態(tài)問(wèn)題的有偏估計(jì)及精度分析

詹銀虎，鄭勇，張超

信息工程大學(xué)導(dǎo)航與空天目標(biāo)工程學(xué)院，河南 鄭州 450001

目前月球/火星車上均搭載有太陽(yáng)敏感器用于導(dǎo)航，但需要較長(zhǎng)的跟蹤觀測(cè)時(shí)間才能實(shí)現(xiàn)絕對(duì)定位，影響了導(dǎo)航的實(shí)時(shí)性。本文研究如何在超短的跟蹤觀測(cè)時(shí)間(1～2 min)內(nèi)，實(shí)現(xiàn)測(cè)日絕對(duì)定位。首先推導(dǎo)了高度法定位的最小二乘法求解模型，并首次從病態(tài)問(wèn)題的角度看待測(cè)日定位問(wèn)題，采用奇異值分解法對(duì)病態(tài)問(wèn)題進(jìn)行了診斷。通過(guò)仿真算例，將有偏估計(jì)的方法應(yīng)用于測(cè)日定位，并對(duì)不同有偏估計(jì)方法進(jìn)行了比較。仿真計(jì)算結(jié)果表明，有偏估計(jì)總是能夠改善初值的精度，明顯優(yōu)于最小二乘法。但初值的選取對(duì)有偏估計(jì)的影響非常顯著，有偏估計(jì)總是將初值沿著太陽(yáng)的指向穩(wěn)定收斂到一條與太陽(yáng)指向垂直的直線上，且這條直線通過(guò)真值。

月球/火星車導(dǎo)航；天文定位；最小二乘法；病態(tài)問(wèn)題；有偏估計(jì)；均方根誤差

美國(guó)勇氣號(hào)和機(jī)遇號(hào)火星車自2004年登陸火星以來(lái)，已在火星表面服役將近12年，高精度的火星車導(dǎo)航定位對(duì)安全行駛和科學(xué)考察發(fā)揮了非常重要的作用[1]。目前，火星車在行進(jìn)過(guò)程中，主要采用航跡推算的方法實(shí)時(shí)獲取位置。其基本原理是利用自身搭載的Pancam相機(jī)作為太陽(yáng)敏感器，在初始位置已知的情況下，觀測(cè)太陽(yáng)確定車體的絕對(duì)航向，然后融合里程計(jì)和慣性導(dǎo)航設(shè)備的輸出信息，實(shí)現(xiàn)載體的位置推算，即進(jìn)行相對(duì)定位。受車輪打滑和慣性導(dǎo)航設(shè)備累積誤差的影響，航跡推算得到的位置存在累積誤差[2-7]。為了消除累積位置誤差的影響，地球上的觀測(cè)者綜合運(yùn)用了無(wú)線電測(cè)控和地面影像與高精度遙感影像對(duì)比兩種方法實(shí)現(xiàn)絕對(duì)定位，前者精度約為百米量級(jí)，后者精度可達(dá)幾米量級(jí)。但兩種方法都需要在地球上進(jìn)行解算，無(wú)法實(shí)現(xiàn)火星車實(shí)時(shí)、自主絕對(duì)定位[8]。

針對(duì)火星車實(shí)時(shí)、自主絕對(duì)定位問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者開(kāi)展了廣泛的研究，其中采用火星車自身搭載的太陽(yáng)敏感器實(shí)現(xiàn)絕對(duì)定位是研究的熱點(diǎn)之一。文獻(xiàn)[9]在地表對(duì)太陽(yáng)進(jìn)行了兩次時(shí)間間隔為26 min的拍攝，得到兩個(gè)太陽(yáng)高度角，通過(guò)天文位置圓交匯的方法定位，定位經(jīng)度誤差為11′，緯度誤差為7′。文獻(xiàn)[10]在地表對(duì)太陽(yáng)進(jìn)行了20 min的跟蹤觀測(cè)，獲取了太陽(yáng)方向矢量的觀測(cè)序列，采用多矢量定姿算法進(jìn)行定位，位置誤差最大達(dá)到200 km。文獻(xiàn)[11]進(jìn)行了3次地表測(cè)日定位試驗(yàn)，每次試驗(yàn)對(duì)太陽(yáng)的跟蹤觀測(cè)時(shí)長(zhǎng)為30 min，采樣率為1 min，采用高度法求解得到的位置誤差最大值為14.84 km，最小值為4.27 km，平均位置誤差為8.546 km。上述測(cè)日絕對(duì)定位方法精度較低的主要原因是跟蹤觀測(cè)時(shí)間較短、太陽(yáng)在空間的位移量較小、導(dǎo)致位置求解時(shí)法方程出現(xiàn)病態(tài)。而且長(zhǎng)達(dá)半個(gè)小時(shí)的跟蹤觀測(cè)也會(huì)影響導(dǎo)航定位的實(shí)時(shí)性。本文將從病態(tài)問(wèn)題的角度看待測(cè)日天文定位問(wèn)題，研究如何在超短的跟蹤觀測(cè)時(shí)間(1～2 min)內(nèi)，實(shí)現(xiàn)測(cè)日快速、絕對(duì)定位。

1　高度法定位的病態(tài)問(wèn)題

1.1最小二乘定位模型

高度法定位的觀測(cè)方程為[12]

sinh=sinφsinδ+cosφcosδcos(G+λ)

(1)

式中，h為自然天體高度角，通過(guò)觀測(cè)及大氣折射改正得到；δ、G為自然天體的視赤緯和格林尼治時(shí)角，可根據(jù)天體歷表及觀測(cè)時(shí)刻計(jì)算得到；λ、φ為測(cè)站經(jīng)度和緯度，為待估參數(shù)。設(shè)測(cè)站天文經(jīng)緯度的初值為λ0、φ0，對(duì)應(yīng)的改正數(shù)為Δλ、Δφ，太陽(yáng)高度角觀測(cè)量的改正數(shù)為v，則觀測(cè)方程改寫為

sin(h+v)=sin(φ0+Δφ)sinδ+cos(φ0+

Δφ)cosδcos(G+λ0+Δλ)

(2)

令

R=sin(φ0+Δφ)sinδ+cos(φ0+

Δφ)cosδcos(G+λ0+Δλ)

(3)

則

v=arcsinR-h

(4)

對(duì)arcsinR進(jìn)行線性化可得

arcsinR=arcsinR0+a·Δλ+b·Δφ

(5)

式中

(6)

令

l=h-arcsinR0

(7)

則線性化后的觀測(cè)方程可簡(jiǎn)寫為

v=a·Δλ+b·Δφ-l

(8)

若有n組觀測(cè)方程，則可寫成矩陣形式

(9)

式中

(10)

此即經(jīng)典的最小二乘模型，在高度角觀測(cè)值等權(quán)的情況下可按如下公式求解未知參數(shù)

(11)

1.2病態(tài)問(wèn)題的診斷與分析

當(dāng)對(duì)太陽(yáng)的跟蹤觀測(cè)時(shí)間極短時(shí)，由于太陽(yáng)在空間的位移量極小，導(dǎo)致高度角觀測(cè)量之間具有很強(qiáng)的相關(guān)性。此時(shí)，采用式(11)求解位置參數(shù)時(shí)，法方程表現(xiàn)為病態(tài)，較小的觀測(cè)誤差可能造成解算結(jié)果的嚴(yán)重失真。對(duì)于病態(tài)性進(jìn)行正確診斷和度量，是削弱或克服病態(tài)性影響的前提。奇異值分解法是較常用的一種診斷方法。文獻(xiàn)[13]給出的一般標(biāo)準(zhǔn)是：λmin>0.1，認(rèn)為不存在病態(tài)性；0.05<λmin<0.1，認(rèn)為有較弱的病態(tài)性；0.01<λmin<0.05，認(rèn)為有中等或較強(qiáng)程度的病態(tài)性；若λmin<0.01，認(rèn)為病態(tài)性較為嚴(yán)重。

以夏至日2014-06-22為例，將測(cè)站坐標(biāo)設(shè)為(E 113°37′27.1″，N 34°44′22.7″)，采樣率為5 s。當(dāng)太陽(yáng)在卯酉圈附近(太陽(yáng)方位角Az≈90°)、介于卯酉圈和子午圈中間(太陽(yáng)方位角Az≈135°)，以及在中天附近(太陽(yáng)方位角Az≈180°)時(shí)，系數(shù)矩陣A的奇異值與跟蹤觀測(cè)時(shí)間的關(guān)系如表1所示。

表1　系數(shù)矩陣A的奇異值

由表1可知，當(dāng)跟蹤觀測(cè)時(shí)間小于等于2min時(shí)，最小奇異值λmin<0.01，系統(tǒng)具有嚴(yán)重的病態(tài)性；當(dāng)跟蹤觀測(cè)時(shí)間為3～5min時(shí)，最小奇異值0.01<λmin<0.05，系統(tǒng)具有中等或較強(qiáng)程度的病態(tài)性；當(dāng)跟蹤觀測(cè)時(shí)間為10min時(shí)，最小奇異值λmin>0.05，系統(tǒng)有較弱的病態(tài)性；當(dāng)跟蹤觀測(cè)時(shí)間為15min時(shí)，最小奇異值λmin>0.1，認(rèn)為系統(tǒng)不存在病態(tài)性。分析表1還可以得出以下結(jié)論：①太陽(yáng)在相同的位置附近時(shí)，跟蹤觀測(cè)時(shí)間越短，系統(tǒng)的病態(tài)性越嚴(yán)重；②在相同的跟蹤觀測(cè)時(shí)間內(nèi)，太陽(yáng)在子午圈附近時(shí)的病態(tài)程度最輕，其次是卯酉圈和子午圈中間，再次是卯酉圈附近。這是因?yàn)樘?yáng)在子午圈附近，即中天附近時(shí)，其運(yùn)動(dòng)速度較快，在相同的時(shí)間內(nèi)具有更大的空間位移量。

1.3常用有偏估計(jì)方法

自從20世紀(jì)50年代特別是60年代以來(lái)，統(tǒng)計(jì)學(xué)家們作了種種努力，提出了許多類估計(jì)，試圖改進(jìn)最小二乘估計(jì)。其中，有偏估計(jì)就是很重要的一類估計(jì)。Tikhonov正則化方法和截?cái)嗥娈愔捣纸夥?truncatedsingularvaluedecomposition，TSVD)用于直接解算病態(tài)觀測(cè)方程引起了越來(lái)越多的關(guān)注，并且已經(jīng)在地球物理反演等領(lǐng)域中得到了成功的應(yīng)用[14]。

Tikhonov正則化方法的關(guān)鍵是合理確定正則化參數(shù)α，TSVD法的關(guān)鍵是合理地確定奇異值的截?cái)嗨絢，許多文獻(xiàn)把k也稱之為正則化參數(shù)，本文也沿用這一稱謂。針對(duì)α和k的確定，有兩種具有代表性的方法，分別為L(zhǎng)曲線法和廣義交叉檢驗(yàn)法(GCV)[15-16]。

2　不同有偏估計(jì)方法的比較

事實(shí)上，并不存在一種適合所有病態(tài)問(wèn)題的最優(yōu)有偏估計(jì)方法。因此，針對(duì)特定的問(wèn)題，對(duì)不同的有偏估計(jì)方法及正則化參數(shù)確定方法進(jìn)行比較是一項(xiàng)有意義的工作。本節(jié)將Tikhonov正則化方法和TSVD法應(yīng)用于高度法測(cè)日定位的同時(shí)，選擇L曲線法或GCV法確定正則化參數(shù)，通過(guò)不同的組合試圖找到適用于測(cè)日定位的最優(yōu)有偏估計(jì)方法。下面將通過(guò)仿真計(jì)算進(jìn)行分析。

依據(jù)準(zhǔn)確的測(cè)站坐標(biāo)(113°37′27.1″E，34°44′22.7″N)，計(jì)算夏至日2014-06-22的太陽(yáng)真高度角，計(jì)算程序采用美國(guó)海軍天文臺(tái)提供的NOVAS3.0程序包。取太陽(yáng)敏感器觀測(cè)太陽(yáng)的典型精度15″(1σ)[17]，采樣周期T=5.0s，跟蹤觀測(cè)時(shí)長(zhǎng)為2min，生成仿真觀測(cè)數(shù)據(jù)。下面給出4種位置求解方案：

(1) 經(jīng)典最小二乘：LS。

(2)Tikhonov正則化，GCV法確定正則化參數(shù)：Tikhonov&GCV。

(3)Tikhonov正則化，L曲線法確定正則化參數(shù)：Tikhonov&LCurve。

(4)TSVD法，GCV法確定正則化參數(shù)：TSVD&GCV。

測(cè)站經(jīng)度和緯度初值為λ0=λ+300″，φ0=φ-300″，分別計(jì)算太陽(yáng)在卯酉圈附近(太陽(yáng)方位角Az≈90°)、介于卯酉和子午圈中間(太陽(yáng)方位角Az≈135°)，以及在中天附近(太陽(yáng)方位角Az≈180°)時(shí)，利用上述4種方法進(jìn)行計(jì)算，每種方法的仿真計(jì)算次數(shù)為2000次時(shí)，均方根誤差RMSE統(tǒng)計(jì)趨于穩(wěn)定，結(jié)果如表2所示。

表2　不同有偏估計(jì)方法的比較

考慮到火星具有與地球相近的自轉(zhuǎn)速度，但半徑僅為地球的一半，因此可以估算方案4求解的經(jīng)度方向最好精度(太陽(yáng)在卯酉圈附近)約為75m，緯度方向最好精度(太陽(yáng)在中天附近)約為63.6m。從應(yīng)用角度來(lái)看，當(dāng)早晨太陽(yáng)處于卯酉圈附近時(shí)，通過(guò)1～2min的測(cè)日，采用有偏估計(jì)方法可以改善火星車在經(jīng)度方向的位置精度；當(dāng)中午太陽(yáng)處于卯酉圈附近時(shí)，通過(guò)1～2min的測(cè)日，采用有偏估計(jì)方法可以改善火星車在緯度方向的位置精度。目前，火星車設(shè)計(jì)的航跡推算精度約為10%，即每1km的行進(jìn)距離產(chǎn)生的航跡推算誤差約為100m。但勇氣號(hào)在哥倫比亞山上坡時(shí)出現(xiàn)過(guò)125%的車輪打滑，導(dǎo)致航跡推算誤差較大[8]。對(duì)比表2的精度結(jié)果，可以考慮在火星車行駛距離達(dá)到公里級(jí)別或車輪出現(xiàn)嚴(yán)重打滑的情況下，采用有偏估計(jì)的方法改善航跡推算的位置精度。

3　初值對(duì)有偏估計(jì)的影響

用Δλ和Δφ表示測(cè)站位置初值與測(cè)站位置真值之差

(12)

則初值相對(duì)于真值的位置誤差可表示為

(13)

設(shè)定不同的Δλ和Δφ，使0″<Δp<300″，從而模擬不同的初值條件。其他仿真計(jì)算條件同第3節(jié)不變，采用方案4(TSVD & GCV，以下統(tǒng)稱有偏估計(jì)方法)求解，仿真計(jì)算次數(shù)為2000次時(shí)，RMSE值統(tǒng)計(jì)趨于穩(wěn)定。圖1—圖3分別給出了太陽(yáng)方位角Az≈90°、Az≈135°及Az≈180°時(shí)，經(jīng)緯度的RMSE隨測(cè)站位置初值的變化情況。圖中每一個(gè)小顏色塊的中心代表一個(gè)初值，相應(yīng)的RMSE值用顏色表示，單位為角秒。

圖1　太陽(yáng)方位角Az≈90°時(shí)位置初值對(duì)有偏估計(jì)的影響Fig.1　Initial values’ impact on bias estimation when Az≈90°

圖2　太陽(yáng)方位角Az≈135°時(shí)位置初值對(duì)有偏估計(jì)的影響Fig 2　Initial values’ impact on bias estimation when Az≈135°

圖3　太陽(yáng)方位角Az≈180°時(shí)位置初值對(duì)有偏估計(jì)的影響Fig.3　Initial values’ impact on bias estimation when Az≈180°

圖4　太陽(yáng)方位角Az≈90°時(shí)位置初值的收斂趨勢(shì)Fig.4　Convergence tendency of initial values when Az≈90°

圖5　太陽(yáng)方位角Az≈135°時(shí)位置初值的收斂趨勢(shì)Fig.5　Convergence tendency of initial values when Az≈135°

由圖4—圖6可知，有偏估計(jì)的作用是將初值沿著太陽(yáng)的指向穩(wěn)定收斂到一條線與太陽(yáng)指向垂直的直線上，且這條直線通過(guò)真值。當(dāng)初值與真值的連線恰好在太陽(yáng)的指向上時(shí)，初值收斂于真值，利用有偏估計(jì)求得的位置是無(wú)偏的；當(dāng)初值與真值的連線不在太陽(yáng)的指向上時(shí)，利用有偏估計(jì)方法求得的位置是有偏的，這一偏差存在于與太陽(yáng)的指向垂直的方向。初步猜想，若以初值、初值的收斂值以及真值位置為頂點(diǎn)作三角形，則該三角形在理論上可能為直角三角形或近似直角三角形，如圖7所示。

圖6　太陽(yáng)方位角Az≈180°時(shí)位置初值的收斂趨勢(shì)Fig.6　Convergence tendency of initial values when Az≈90°

圖7　有偏估計(jì)對(duì)初值的改進(jìn)效果Fig.7　Improved effect of bias estimate on initial value

在三角形中，初值相對(duì)于真值的誤差Δp為“斜邊”長(zhǎng)度，初值與收斂值之間的距離dp，以及收斂值與真值之間的距離pbias為兩條“直角邊”的長(zhǎng)度。為了驗(yàn)證上面關(guān)于直角三角形的猜想，下面統(tǒng)計(jì)給出了圖4、5和6中90個(gè)三角形的“直角”ra的大小，結(jié)果如圖7所示。其中ra按如下公式計(jì)算

(14)

在實(shí)際應(yīng)用中，初值的選擇往往具有隨機(jī)性和盲目性，即無(wú)法掌控初值、真值及太陽(yáng)方向之間的關(guān)系，也可以認(rèn)為無(wú)法掌控pbias的大小。文獻(xiàn)[18]提出了偏改正及部分偏改正理論，其目的就是對(duì)有偏估計(jì)中參數(shù)估值的系統(tǒng)性偏差進(jìn)行改正，進(jìn)一步提高解的精度。其提出的理論，在第一類Fredholm積分方程的仿真算例中，使參數(shù)估計(jì)精度提高了大約11%；在地球重力場(chǎng)恢復(fù)的仿真算例中，使參數(shù)估計(jì)精度提高了大約5%。偏改正理論可以在一定程度上減小參數(shù)估值的有偏性，但無(wú)法從根本上消除有偏性，這是因?yàn)橛衅烙?jì)的本質(zhì)是利用參數(shù)估值的有偏性換取參數(shù)估值較小的方差，使解穩(wěn)定。

從客觀上來(lái)講，快速測(cè)日定位中的病態(tài)問(wèn)題是由觀測(cè)時(shí)間過(guò)短、太陽(yáng)在空間位移過(guò)小造成的，除非延長(zhǎng)觀測(cè)時(shí)間，否則無(wú)法改變這一事實(shí)。但定位模型也是病態(tài)問(wèn)題產(chǎn)生的原因之一，采用新的定位模型，如矢量法定位模型、航天器姿態(tài)算法模型等[19-20]，有可能在一定程度上改善單天體定位中的病態(tài)問(wèn)題。

圖8　“直角”ra的統(tǒng)計(jì)結(jié)果Fig.8　Statistic results of the right angles ra

4　結(jié)　論

綜合本文分析，可得出以下基本結(jié)論：

(1) 有偏估計(jì)求解得到的位置相對(duì)于初值位置，精度一定有所改善，但改善程度與初值本身有關(guān)。

(2) 當(dāng)初值與真值的連線恰好與太陽(yáng)方向重合時(shí)，有偏估計(jì)求得的位置是無(wú)偏的，此時(shí)位置估值的精度最好，對(duì)初值的改善最明顯。

(3) 當(dāng)初值與真值的連線與太陽(yáng)方向之間存在夾角時(shí)，有偏估計(jì)求得的位置是有偏的。此時(shí)有偏估計(jì)對(duì)初值的改善程度與夾角有關(guān)，夾角越大，改善程度越小。

(4) 當(dāng)初值與真值的連線垂直于太陽(yáng)方向時(shí)，有偏估計(jì)對(duì)初值沒(méi)有改善效果。

本文對(duì)快速測(cè)日定位中病態(tài)問(wèn)題的研究，以及對(duì)有偏估計(jì)的應(yīng)用研究，具有一定的實(shí)用價(jià)值。例如，月球/火星車長(zhǎng)時(shí)間漫游活動(dòng)過(guò)程中，一般都會(huì)有短暫的靜止時(shí)間。此時(shí)將航跡推算得到的位置作為初值，采用有偏估計(jì)的方法改進(jìn)初值精度，可在一定程度上削弱里程計(jì)、慣導(dǎo)等設(shè)備累積誤差對(duì)位置推算的影響，提高定位精度。

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(責(zé)任編輯：陳品馨)

修回日期： 2016-03-28

E-mail：oscardad@163.com

Bias Estimations for Ill-posed Problem of Celestial Positioning Using the Sun and Precision Analysis

ZHAN Yinhu,ZHENG Yong,ZHANG Chao

College of Navigation and Aerospace Engineering, Information Engineering University, Zhengzhou 450001, China

Lunar/Mars rovers own sun sensors for navigation, however, long-time tracking for the sun impacts on the real-time activity of navigation. Absolute positioning method by observing the sun with a super short tracking period such as 1 or 2 minutes is researched in this paper. Linear least squares model of altitude positioning method is deduced, and the ill-posed problem of celestial positioning using the sun is brought out for the first time. Singular value decomposition method is used to diagnose the ill-posed problem, and different bias estimations are employed and compared by simulative calculations. Results of the calculations indicate the superiority of bias estimations which can effectively improve initial values. However, bias estimations are greatly impacted by initial values, because the initial values converge at a line which passes by the real value and is vertical relative to the orientation of the sun. The research of this paper is of some value to application.

lunar/mars rovers navigation; celestial positioning; least squares method; Ill-posed problem; bias estimation; root mean square error

ZHANYinhu(1986—),male,PhDcandidate,majorsincelestialnavigation.

10.11947/j.AGCS.2016.20150525.

P228

A

1001-1595(2016)08-0911-08

2015-10-23

詹銀虎(1986—)，男，博士生，研究方向?yàn)樘煳膶?dǎo)航。

引文格式：詹銀虎，鄭勇，張超.測(cè)日定位中病態(tài)問(wèn)題的有偏估計(jì)及精度分析[J].測(cè)繪學(xué)報(bào)，2016,45(8)：911-918.

ZHAN Yinhu, ZHENG Yong, ZHANG Chao.Bias Estimations for Ill-posed Problem of Celestial Positioning Using the Sun and Precision Analysis[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2016,45(8):911-918. DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20150525.