落霞與孤鶩齊飛，秋水共長(zhǎng)天一色

王艷 吳文輝

[摘? 要] 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》對(duì)文化在數(shù)學(xué)課程中的融入提出了明確的要求，在數(shù)學(xué)教學(xué)上，怎樣滲透?jìng)鹘y(tǒng)文化知識(shí)，實(shí)現(xiàn)文化與數(shù)學(xué)的融合，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和人文素養(yǎng)，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 這是值得我們數(shù)學(xué)教師重視的一個(gè)新問(wèn)題.通過(guò)精心設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)導(dǎo)入、貼近現(xiàn)實(shí)的新知探究、豐富多彩的課外活動(dòng)、合理巧編的數(shù)學(xué)問(wèn)題正是解決問(wèn)題的有效探索.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)教學(xué);傳統(tǒng)文化;人文素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》在知識(shí)結(jié)構(gòu)圖中指出：要把數(shù)學(xué)文化融入課程內(nèi)容.數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語(yǔ)言、方法、觀點(diǎn)，以及它們的形成和發(fā)展;還包括數(shù)學(xué)在人類(lèi)生活、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動(dòng). 以下側(cè)重談?wù)勗跀?shù)學(xué)教學(xué)中，如何使傳統(tǒng)文化、數(shù)學(xué)史、人類(lèi)生活與數(shù)學(xué)相結(jié)合.

傳統(tǒng)文化是文明演化而匯集成的一種反映民族特質(zhì)和風(fēng)貌的文化，是民族歷史上各種思想文化、觀念形態(tài)的總體表現(xiàn). 中國(guó)的傳統(tǒng)文化有道家、墨家、法家、名家，包括：古文、詩(shī)、詞、曲、賦、民樂(lè)、戲曲、國(guó)畫(huà)、書(shū)法、燈謎、酒令等.表面看，數(shù)學(xué)與傳統(tǒng)文化是完全不同的兩類(lèi)學(xué)科：數(shù)學(xué)重理性，具抽象性;傳統(tǒng)文化重感性，具形象性. 數(shù)學(xué)講究歸納與推理，嚴(yán)謹(jǐn);傳統(tǒng)文化講究靈感與想象，浪漫. 數(shù)學(xué)以邏輯思維方法為主，求真;傳統(tǒng)文化以形象思維方法為主，求美.

然而，就是對(duì)這兩個(gè)存在明顯差異的學(xué)科，中科院院士張景中教授卻說(shuō)：“數(shù)學(xué)是人做出來(lái)的，數(shù)學(xué)的思考過(guò)程必然打上人文的烙印. 數(shù)學(xué)意境和人文意境之間，是彼此互相相通借鑒的.”他之所以這樣說(shuō)，是因?yàn)閿?shù)學(xué)與傳統(tǒng)文化之間有著共性和交融. 數(shù)學(xué)與傳統(tǒng)文化的重要共性之一，就是對(duì)美的追求.春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期孔子教育學(xué)生講究六藝：禮、樂(lè)、射、御、書(shū)、數(shù)，這其中也強(qiáng)調(diào)文化與數(shù)學(xué)的融合.

在數(shù)學(xué)教學(xué)上，怎樣滲透?jìng)鹘y(tǒng)文化知識(shí)，實(shí)現(xiàn)文化與數(shù)學(xué)的融合，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和人文素養(yǎng)，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 這是值得我們數(shù)學(xué)教師重視的一個(gè)新問(wèn)題.

在數(shù)學(xué)導(dǎo)入時(shí)傳承國(guó)學(xué)文化，情真意切話(huà)數(shù)學(xué)

在課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)，創(chuàng)設(shè)合理的問(wèn)題情境，促進(jìn)學(xué)生思考，是上一輪新課改教學(xué)同行達(dá)成的共識(shí)之一. 在“圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義”的新課教學(xué)時(shí)，筆者以《三國(guó)演義》的第一回引入：“話(huà)說(shuō)天下大勢(shì)，分久必合，合久必分.” 這里隱藏了橢圓、雙曲線(xiàn)它們兩者之間分開(kāi)研究各自的定義，合在一起可以通過(guò)圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義來(lái)刻畫(huà). 這樣的引入方式一方面符合了教材的設(shè)計(jì)，將橢圓、雙曲線(xiàn)的第二定義安排在學(xué)習(xí)拋物線(xiàn)之后集中處理，是從整體、統(tǒng)一以及追求和諧的理念出發(fā)的一種設(shè)計(jì);另一方面激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與傳統(tǒng)文化知識(shí)的聯(lián)系.

徐利治先生在一次演講中說(shuō)：“我每次講極限，總要引用李白的詩(shī)‘孤帆遠(yuǎn)影碧空盡，唯見(jiàn)長(zhǎng)江天際流.”學(xué)生課堂開(kāi)始即在感官中體驗(yàn)到“孤帆遠(yuǎn)影碧空盡”的動(dòng)態(tài)過(guò)程，沉醉在文化數(shù)學(xué)相融的唯美意境中. 杜甫《登高》詩(shī)中的兩句“無(wú)邊落木蕭蕭下，不盡長(zhǎng)江滾滾來(lái)”，不但是作者的一種心境抒發(fā)，同時(shí)也是數(shù)學(xué)上的“實(shí)無(wú)限”“潛無(wú)限”的有機(jī)結(jié)合.

將唐詩(shī)宋詞和數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)意境和人文意境的彼此相通和借鑒. 這里既有數(shù)學(xué)的科學(xué)內(nèi)涵，又有豐富的人文素養(yǎng)，不但可以讓學(xué)生更好地理解和親近數(shù)學(xué)，而且學(xué)生會(huì)從中體會(huì)無(wú)限之美、數(shù)學(xué)之美.

在新知探究中滲透數(shù)學(xué)文化，拓展學(xué)生的思維

新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求處理好數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與知識(shí)技能之間的關(guān)系，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與生活以及其他學(xué)科的聯(lián)系，提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，提倡學(xué)生將自主學(xué)習(xí)和合作交流相結(jié)合以實(shí)現(xiàn)個(gè)人發(fā)展. 具體可以通過(guò)下面的幾點(diǎn)來(lái)實(shí)施：

1. 用貼近現(xiàn)實(shí)、生動(dòng)有趣的問(wèn)題吸引學(xué)生參與

“思維總是從提出問(wèn)題開(kāi)始的.”課堂提問(wèn)是啟發(fā)學(xué)生積極思維的重要手段，教師要善于運(yùn)用富有吸引力的提問(wèn)激發(fā)學(xué)生的興趣.

案例1：支付寶與“螞蟻森林”.

在“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”第二節(jié)課導(dǎo)入，用學(xué)生熟悉的支付寶的公益活動(dòng)“螞蟻森林”作為切入點(diǎn)，讓學(xué)生獨(dú)立探究水土流失和退耕還林的關(guān)系，通過(guò)教師提供的數(shù)據(jù)，逐步引導(dǎo)學(xué)生在互動(dòng)操作中建立數(shù)列模型以解決問(wèn)題.

例如，世界環(huán)境日時(shí)聯(lián)合國(guó)環(huán)境規(guī)劃署（UNEP）在其官方社交媒體賬號(hào)上公布了2019年世界環(huán)境日實(shí)踐案例，其中，支付寶“螞蟻森林”入選. 近日，新聞聯(lián)播播放了一段“螞蟻森林”關(guān)于庫(kù)布齊沙漠生態(tài)治理的介紹.庫(kù)布齊沙漠森林覆蓋率、植被覆蓋率已分別由2002年的0.8%、16.2%，大幅提升到2016年的15.7%、53%. 設(shè)從2002年起到2016年每年沙漠森林面積遞增a%，求a的值. 以2019年6月，全球參與“螞蟻森林”的人數(shù)已經(jīng)達(dá)到5億來(lái)計(jì)算，若每年用戶(hù)增長(zhǎng)率為5.8%，則到2025年用戶(hù)約有多少？

用學(xué)生身邊的事情來(lái)設(shè)計(jì)問(wèn)題，將數(shù)學(xué)與當(dāng)前的熱點(diǎn)相結(jié)合，不僅能提升學(xué)生的參與興趣，而且在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)感知社會(huì)責(zé)任、提升人文素養(yǎng).

案例2：三角中的測(cè)量問(wèn)題.

如圖1，有一條河MN，河岸的一側(cè)有一很高的建筑物AB，一人位于河岸另一側(cè)P處，手中有一個(gè)測(cè)角器（可以測(cè)仰角），一個(gè)可以測(cè)量長(zhǎng)度的皮尺（測(cè)量長(zhǎng)度不超過(guò)5 m），請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種測(cè)量方案（不允許過(guò)河），并給出計(jì)算建筑物的高度AB及PA的距離公式，希望在你的方案中被測(cè)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)盡量少.

本題有一定的不確定性，是一道開(kāi)放題，題目給出問(wèn)題的情境及基本要求，要求根據(jù)這些情況及基本要求收集信息;將問(wèn)題數(shù)學(xué)化，自行假定與設(shè)計(jì)一些已知條件，提出多樣的解決方案，進(jìn)而優(yōu)化結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析、解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的核心——發(fā)散思維.

2. 用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來(lái)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力和熱情

比如在學(xué)習(xí)有關(guān)不等式的證明過(guò)程中，可以請(qǐng)同學(xué)們自帶一些糖，因?yàn)閷W(xué)生都會(huì)自帶水杯，所以課堂上，筆者讓學(xué)生自己動(dòng)手實(shí)驗(yàn)得出糖水不等式的結(jié)論，這樣既簡(jiǎn)單可行，又注重效果.這與2019年江蘇高考語(yǔ)文作文也不謀而合——根據(jù)以下材料，選取角度，自擬題目，寫(xiě)一篇不少于800字的文章：“物各有性，水至淡，鹽得味. 水加水還是水，鹽加鹽還是鹽. 酸甜苦辣咸，五味調(diào)和，共存相生，百味紛呈.物如此，事猶是，人亦然.”又比如在排列組合教學(xué)時(shí)，可以給3～5分鐘介紹單循環(huán)、主客場(chǎng)比賽，并由學(xué)生來(lái)制訂分組方案，學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主體，身臨其境，在活動(dòng)中推究新知、理解數(shù)學(xué)、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力.

在課外活動(dòng)中，讓學(xué)生在多彩的數(shù)學(xué)文化中熏陶

1. 豐富課外作業(yè)的形式

學(xué)生因其所處的文化環(huán)境、家庭背景和自身思維方式的不同，他們考慮問(wèn)題、解決問(wèn)題的方式與方法有著強(qiáng)烈的個(gè)性色彩. 根據(jù)內(nèi)容特點(diǎn)，有時(shí)可布置一些有別于解題的課外思考題. 例如，在“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”第二節(jié)課后設(shè)置一道思考題，結(jié)合等比數(shù)列求和的操作模型來(lái)研究2020年西部地區(qū)是否能基本解決退耕還林的問(wèn)題，如果不行，你可有哪些改進(jìn)的措施（變化數(shù)據(jù)、模型等）.然后，布置課后實(shí)踐性作業(yè)：如果要在所居住的城市買(mǎi)房，需要貸款，可以采用公積金貸款、商業(yè)貸款、混合貸款等，學(xué)生任選一家銀行，利用周末時(shí)間，實(shí)踐完成具體貸款方案. 有時(shí)周末作業(yè)，筆者則指導(dǎo)學(xué)生在課余撰寫(xiě)數(shù)學(xué)小論文，匯總與本周學(xué)習(xí)內(nèi)容相關(guān)的詩(shī)歌等，這是滲透數(shù)學(xué)文化，拓寬數(shù)學(xué)視野，營(yíng)造數(shù)學(xué)氛圍的好方法，受到學(xué)生的歡迎. 預(yù)習(xí)作業(yè)也要改變形式，比如在教學(xué)立體幾何前，先讓學(xué)生自己動(dòng)手制作正方體、三棱錐等模型，使學(xué)生經(jīng)歷簡(jiǎn)單幾何模型的形成過(guò)程，讓幾何直觀助力學(xué)生理解立體圖形.

上述環(huán)節(jié)，筆者并沒(méi)有生搬硬套地將知識(shí)以結(jié)論的形式灌輸給學(xué)生，而是帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷了知識(shí)的產(chǎn)生、形成過(guò)程，弄清它的來(lái)龍去脈，從中發(fā)展了創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力，獲得了積極的數(shù)學(xué)情感體驗(yàn).

2. 重視“閱讀與思考”，書(shū)中自有黃金屋

新版高中數(shù)學(xué)課本在每章都設(shè)置了“閱讀與思考”，其矩陣中的“河圖洛書(shū)”“九章算術(shù)之推物求價(jià)”，數(shù)學(xué)歸納法中的“小孩子的發(fā)現(xiàn)”，永樂(lè)大典的“楊輝三角”，算法案例中的“韓信點(diǎn)兵”，等等，富有中國(guó)傳統(tǒng)文化特色的數(shù)學(xué)知識(shí)，讓我們驚嘆古人之過(guò)人智慧，文化之博大精深;還有函數(shù)中的“對(duì)數(shù)的發(fā)明”，三角中的“振幅、周期、頻率、相位”，讓我們感到數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史和前人的奮斗經(jīng)歷，使我們深深地感受到，傳統(tǒng)文化不僅僅存在于語(yǔ)文課堂中、閱讀課中，它同樣也可以表現(xiàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)中.

對(duì)這些“特殊”的教學(xué)內(nèi)容，筆者進(jìn)行了深入分析，并以“二進(jìn)制、計(jì)算機(jī)”為例. 二進(jìn)制記數(shù)法的思想源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，我國(guó)古代很早就有了相關(guān)研究，在《易經(jīng)》上就講到兩儀，即一黑一白陰陽(yáng)互補(bǔ)的兩條魚(yú). 以后，在兩儀之上形成了八卦. 《易經(jīng)》中關(guān)于兩儀及演變的敘述實(shí)際上就可以看成是二進(jìn)制應(yīng)用的萌芽. 德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨1679年撰寫(xiě)的《二進(jìn)制算術(shù)》，使他成為二進(jìn)位數(shù)制的發(fā)明人. 萊布尼茨后來(lái)發(fā)現(xiàn)他的二進(jìn)制可以給中國(guó)古老的六十四卦易圖一個(gè)很好的數(shù)學(xué)解釋?zhuān)峭ㄟ^(guò)他的朋友、法國(guó)傳教士白晉（F.J. Bouvet）得到六十四卦易圖的，萊布尼茨高興地說(shuō)：“可以讓我加入中國(guó)籍了吧！”由此可見(jiàn)，中國(guó)的很多國(guó)學(xué)知識(shí)中不單蘊(yùn)藏著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，包括祖暅原理等知識(shí)均起源在世界的前列.

數(shù)學(xué)史料，貫穿古今、涵蓋中外，筆者在教學(xué)中結(jié)合學(xué)生的心理特點(diǎn)、思維特點(diǎn)及數(shù)學(xué)史料自身的特點(diǎn)，滲透數(shù)學(xué)史教育，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)閱讀材料的精讀，教師做必要的點(diǎn)評(píng)，定能使學(xué)生加深對(duì)“對(duì)數(shù)、三角函數(shù)、二項(xiàng)式定理等”相關(guān)內(nèi)容的理解. 重視高中課本中的“閱讀材料”，勤于思考，不但拓寬了學(xué)生的知識(shí)面，增強(qiáng)了學(xué)生對(duì)中國(guó)古代文化、對(duì)國(guó)家的認(rèn)同感;同時(shí)還為學(xué)生沉淀了文化底蘊(yùn)，增強(qiáng)了人文素養(yǎng).

借助巧編數(shù)學(xué)問(wèn)題，讓學(xué)生受益于傳統(tǒng)經(jīng)典文化的再傳承

習(xí)題是數(shù)學(xué)課中一個(gè)不可回避的重要內(nèi)容，以例題習(xí)題蘊(yùn)涵人文思想的教育因素，可以讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，潛移默化地感受到人文精神的熏陶.

近年來(lái)，高考數(shù)學(xué)試題也開(kāi)始不斷滲透國(guó)學(xué)文化，教育部考試中心命題專(zhuān)家評(píng)價(jià)2019年高考試題時(shí)提到：“試卷設(shè)置的情境真實(shí)、貼近生活，具有深厚的文化底蘊(yùn)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)原理和方法在解決問(wèn)題中的價(jià)值和作用.”如2019年高考數(shù)學(xué)理科Ⅰ卷第6題以我國(guó)古代典籍《周易》中描述事物變化的“卦”為背景設(shè)置了排列組合試題，體現(xiàn)了中國(guó)古代的哲學(xué)思想;2019年高考數(shù)學(xué)文科、理科Ⅱ卷第16題融入了中國(guó)悠久的金石文化，賦予了幾何體真實(shí)背景. 以國(guó)學(xué)文化為試題背景，可以培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，弘揚(yáng)中國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，并在潛移默化中激發(fā)學(xué)生的愛(ài)國(guó)主義情感.

平常教學(xué)也需要我們教師通過(guò)改編數(shù)學(xué)問(wèn)題，讓學(xué)生受益于文化的熏陶. 比如“田忌賽馬”這個(gè)故事，出自西漢司馬遷《史記·卷六十五·孫子吳起列傳第五》. 忌數(shù)與齊諸公子馳逐重射. 孫子見(jiàn)其馬足不甚相遠(yuǎn)，馬有上、中、下輩. 于是孫子謂田忌曰：“君弟重射，臣能令君勝.” 田忌信然之，與王及諸公子逐射千金. 及臨質(zhì)，孫子曰：“今以君之下駟與彼上駟，取君上駟與彼中駟，取君中駟與彼下駟.”既馳三輩畢，而田忌一不勝而再勝，卒得王千金.

這個(gè)故事中蘊(yùn)涵運(yùn)籌學(xué)中的最優(yōu)化思想. 現(xiàn)可以改編為以下題目：設(shè)齊王的3匹馬分別為A，B，C，田忌的3匹馬分別為a，b，c，6匹馬的奔跑速度由快到慢的順序依次為：A，a，B，b，C，c. 兩人約定：6匹馬均需參賽，共賽3場(chǎng)，每場(chǎng)比賽雙方各出1匹馬，最終至少勝兩場(chǎng)者為獲勝.

（1）如果雙方均不知道對(duì)方的出馬順序，求田忌獲勝的概率;

（2）頗有心計(jì)的田忌賽前派探子到齊王處打探實(shí)情，得知齊王第一場(chǎng)必出A馬. 那么，田忌應(yīng)怎樣安排馬的出場(chǎng)順序，才能使獲勝的概率最大？

本題結(jié)合列舉法，留給學(xué)生能力發(fā)揮的空間，可以列舉36種基本事件，如果看問(wèn)題深刻一些，只要列舉6種基本事件，理科學(xué)生還可以用排列知識(shí)求解，也可以與幾何概型鏈接.

問(wèn)題變式：田忌和齊王約定下午一點(diǎn)到兩點(diǎn)間到賽馬場(chǎng)商定賽馬事宜，求田忌在齊王之前到但等候時(shí)間不超過(guò)一刻鐘的概率.

結(jié)束語(yǔ)

“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長(zhǎng)天一色”. 孤鶩是在“飛”的，云霞是在“落”的，文化的沉淀積累和數(shù)學(xué)能力的提升形成一幅流動(dòng)著的美麗圖畫(huà). 高中數(shù)學(xué)教學(xué)是以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì). 不斷引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透?jìng)鹘y(tǒng)文化知識(shí)，體現(xiàn)國(guó)學(xué)的魅力，有效培養(yǎng)孩子的數(shù)學(xué)思維能力，讓傳統(tǒng)文化進(jìn)一步傳承下來(lái)，數(shù)學(xué)與傳統(tǒng)文化的深度融合之時(shí)正是“秋水共長(zhǎng)天一色”之刻，在天空和水面這兩個(gè)本來(lái)并不相交的平面經(jīng)過(guò)持續(xù)的變形相交了，這不但能使人感到整個(gè)畫(huà)面具有三維立體空間的真實(shí)感. 不僅如此，“秋水共長(zhǎng)天一色”把人們的視線(xiàn)引到水天相接之處.有遠(yuǎn)有高有深，文理兼容，境界開(kāi)闊，美不勝收.