例談對稱性在解題中的應用

☉江蘇省張家港市樂余高級中學 蔣麗麗

例談對稱性在解題中的應用

☉江蘇省張家港市樂余高級中學 蔣麗麗

數學美無處不在，其中“對稱美”是數學美的一種重要存在形式.高中數學中的對稱有概念對稱、商積對稱、公式對稱、運算對稱、圖形對稱、自身對稱、倒序對稱、圖像對稱等.利用對稱的原理解題時要注意巧妙的聯想，合理地構造對稱式，把原問題與對稱的新問題整合使原問題得以解決.以對稱的視角來審視某些數學問題，不僅行之有效，而且解題過程可以給人以一種別樣的思維美感，往往能達到巧解的作用，收到事半功倍的效果.下面筆者結合自身的教學實踐就如何利用對稱解題談一點想法.

一、利用倒序后對應項之和為定值的對稱性解題

不少式子的結構是呈對稱性分布的，首末兩項和為定值，因此可以利用這個特點構造對稱式子，可以取得意想不到的效果.

解：注意到倒序后自變量的對稱關系：

設S=（f-5）+（f-4）+…+（f0）+…+（f5）+（f6），①

倒序得S=（f6）+（f5）+…+（f1）+…+（f-4）+（f-5）.②

①+②，得2S=［（f-5）+（f6）］+［（f-4）+（f5）］+…+［（f0）+f（1）］+…+［f（5）+f（-4）］+［f（6）+f（-5）］=

所以S=（f-5）+（f-4）+…+（f0）+…+（f5）+（f6）=3.

二、利用奇偶函數圖像具有的對稱性解題

有些函數既不是奇函數也不是偶函數，但是其間包含著奇函數或偶函數，因此可以利用部分函數的奇偶性解題.

點評：事實上，本題根本不需要求函數的最值，只需根據奇函數在對稱的閉區(qū)間上的最大值與最小值互為相反數即可，體現了設而不求的整體思想.本題考查了奇函數的定義、奇函數圖像的對稱性以及分離常數法等知識和方法.

三、利用某些函數具有的對稱性解題

在高中數學中還有這樣一些題：某些函數的圖像是軸對稱圖形，因此可以經常利用軸對稱圖形的特征解題.

例3 已知函數f（x）滿足f（2-x）=f（2+x），方程f（x）-ln|x-2|=0僅有兩個根，若其中一個根為1，則另一個根為______.

解析：設方程（fx）-ln|x-2|=0的兩個根分別為x1=1和x2，且可知函數y=（fx）和y=ln|x-2|僅有兩個交點A、B.因為（f2-x）=（f2+x），所以函數y=（fx）的圖像關于直線x=2對稱.函數y=ln|x|為偶函數，并且圖像關于y軸對稱，又因為函數y=ln|x-2|的圖像是由函數y=ln|x|的圖像向右平移兩個單位得到的，所以函數y=ln|x-2|的圖像關于直線x=2對稱，所以點A、B關于直線x=2對稱.又由

x2=3.

點評：本題考查了“若函數f（x）滿足f（a-x）=f（a+x），則其圖像關于直線x=a對稱”這一結論，還考查了函數圖像的平移、帶絕對值的函數圖像的作圖方法、零點的概念等.

四、利用多重對稱解題

在三角函數中，由誘導公式可知，同角的正弦與余弦，互余兩角的正弦、余弦都有一定的對稱關系，若能利用好對稱關系解題，則能開闊解題思路.

例4 求sin20°cos70°+sin10°sin50°的值.

解：設M=sin20°cos70°+sin10°sin50°，

N=cos20°sin70°+cos10°cos50°.

則M+N=（sin20°cos70°+sin10°sin50°）+（cos20°sin70° +cos10°cos50°）

=（sin20°cos70°+cos20°sin70°）+（sin10°sin50°+cos10°cos50°）

=sin90°+cos40°

=1+cos40°.①

M-N=（sin20°cos70°+sin10°sin50°）-（cos20°sin70°+cos10°cos50°）

=（sin20°cos70°-cos20°sin70°）+（sin10°sin50°-cos10°cos50°）

=-sin50°-cos60°.②

所以M=sin20°cos70°+sin10°sin50°=

說明：例4的解決中我們利用了三角函數的對稱關系，又利用了加減運算的對稱關系，使得解題更加簡便.

五、利用圓錐曲線本身具有的對稱性解題

圓錐曲線本身就是中心對稱圖形，根據其對稱性可以指導解題思路.

例5 已知F1為橢圓的左焦點，O為坐標原點，過O的兩直線分別交橢圓于A、B、C、D四點.若|F1A|+|FB1|+|F1C|+|F1D|=8，則該橢圓的離心率為_______.

解：設右焦點為F2，連接F2B，由橢圓具有的雙重對稱性可知，A、B兩點關于原點O成中心對稱，所以O為線段AB的中點.又因為O為線段F1F2的中點，所以△OAF1≌△OBF2，所以|F1A|=|BF2|，則|F1A|+|F1B|=|BF2|+|BF1|=2a.同理，|F1C|+|F1D|=|DF2|+|DF1|= 2a，也即|F1A|+|FB1|+|F1C|+|F1D|=4a，由4a=8，得a=2.又因為c2=a2-b2=4-3=1，所以橢圓的離心率e=

點評：本題考查了橢圓的定義、橢圓的對稱性、離心率、a、b、c三者之間的關系以及平面幾何知識（三角形全等）、轉化思想等知識和方法.

六、利用結構的對稱性，通過加、減運算對稱解題

有些式子的結構具有對稱性，可以通過加減運算構造對稱式.

例6 若a，b∈R+，a+b=1，求證：

由M2≤M2+N2，得

=2［（2a+1）+（2b+1）］=4（a+b）+4=8.

在推導橢圓和雙曲線的標準方程時也可以通過構造對稱式解決：

例7 推導橢圓的標準方程.

解：以過焦點F1，F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系xOy，（圖略）這時焦點F1，F2的坐標分別為（-c，0），（c，0）.

設M（x，y）是橢圓上的任意一點，根據橢圓的定義可知，點M在橢圓上的充分必要條件是|MF1|+|MF2|=2a.

因為|MF1|=，所以上述條件轉化為坐標表示，

①×②，得［（x+c）2+y2］-［（x-c）2+y2］=2ta，

把③分別代入到④和⑤中，得

設a2-c2=b（2b＞0），則有

點評：通過對稱式子的加減運算成功地化簡了式子，充分利用了轉化思想和數形結合思想等知識和方法.雙曲線的標準方程推導讀者自己完成.

由此可見，對稱式在高中數學解題中的運用還是非常廣泛的，只要我們多總結、多觀察、多反思，定能拓寬解題思路，提高解題能力.