例析立體幾何問(wèn)題的優(yōu)化策略

☉江蘇省揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué) 朱衛(wèi)紅

例析立體幾何問(wèn)題的優(yōu)化策略

☉江蘇省揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué) 朱衛(wèi)紅

立體幾何是每年高考的必考科目，難度中等.在學(xué)習(xí)立體幾何知識(shí)的過(guò)程中，如果能夠靈活地運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)，開動(dòng)腦筋，拓展四維解題空間，常?？梢詫ひ挼角擅畹慕夥ǎ瓤梢院?jiǎn)化解題過(guò)程，還可以降低解題難度，收到事半功倍的效果.本文通過(guò)平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐談?wù)勅绾蝺?yōu)化立體幾何問(wèn)題.

策略一、通過(guò)向平面作射影，達(dá)到降維的目的

在求解立體幾何問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常通過(guò)射影、平移轉(zhuǎn)化為平面幾何知識(shí)解決.

例1 如圖1，在四棱錐P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB= BC=1.

圖1

（Ⅰ）求平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值；

（Ⅱ）點(diǎn)Q是線段BP上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線CQ與DP所成角最小時(shí)，求線段BQ的長(zhǎng).

此題最容易想到利用空間坐標(biāo)系解決，也能最快實(shí)施的一種好方法，但要想在盡可能短的時(shí)間里高效地解答出結(jié)果，對(duì)題目條件的有效挖掘就顯得尤為重要，同時(shí)從高三復(fù)習(xí)對(duì)題目使用的有效性角度看，也很有必要將所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)深度挖掘.對(duì)于求二面角的相關(guān)問(wèn)題，方法主要有：定義法，垂面法，三垂線定理法，射影面積法，補(bǔ)棱法，補(bǔ)形法等.下面就射影面積法簡(jiǎn)答如下：內(nèi)的射影為△PAB.

設(shè)平面PAB與平面PCD所成的銳二面角為θ，

點(diǎn)評(píng)：轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)習(xí)的平面幾何知識(shí)解題，會(huì)事半功倍.省去了對(duì)函數(shù)的瑣碎研究，而此法的形成無(wú)疑是對(duì)題目條件的有效利用，對(duì)轉(zhuǎn)化與化歸思想解題功能的最佳解讀，更是對(duì)高考“多思少算”理念的完美闡釋.

策略二、善于補(bǔ)形和分割，達(dá)到優(yōu)化圖形的目的

立體幾何題中涉及的圖可能是由幾個(gè)基本圖形拼湊出來(lái)，有時(shí)也可以分割成幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形，因此期間的解題方法也可以遷移運(yùn)用.涉及的基本方法就是通過(guò)分割和補(bǔ)形來(lái)構(gòu)建基本圖形.基于此考慮，上例1也可以通過(guò)補(bǔ)棱后利用三垂線關(guān)系造角：

解：如圖2，延長(zhǎng)AB，DC交于點(diǎn)R，連接PR，故平面PAB與平面PCD的交線為PR，取PR的中點(diǎn)T，連接AT，DT. PR?∠ATD是平面PCD與平面PAB所成的銳二面角.

圖2

例2 如圖3，三棱錐P-ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=l，PA、BC的公垂線ED= h，求三棱錐P-ABC的體積.

解析：連∠BE、EC.

因?yàn)镻A⊥BC，PA⊥ED且BC∩ED= D，所以PA⊥平面BEC.

圖3

因?yàn)镾△BEC=

所以VA-BEC=lh·PE=lh·AE，

VP-BEC=

VP-ABC=VA-BEC+VP-BEC=

點(diǎn)評(píng)：在解決體積問(wèn)題時(shí)，分割和補(bǔ)形是常用的手段與方法，可以將復(fù)雜不規(guī)則的圖形補(bǔ)成熟悉的幾何體，從而快速找到解決問(wèn)題的辦法.

策略三、通過(guò)體積的不變性設(shè)而不求

運(yùn)用“算兩次”的思想，將同一個(gè)問(wèn)題從兩個(gè)不同的角度來(lái)計(jì)算，建立相應(yīng)的等量關(guān)系.

例3 如圖4，在四面體ABCD中，AB= a，AB=b，AB與CD所成的角θ為何值時(shí)，該四面體體積V有最大值？這個(gè)最大值是多少？

圖4

解：AB與CD是異面直線，這就造成了條件的離散，給問(wèn)題的解決帶來(lái)了不小的困難.若注意到異面直線所成的角的定義，過(guò)B作BE∥CD，并使BE=CD，那么∠ABE=θ，這樣在△ABE中就聚集了大部分的已知條件.再由CD∥面ABE，知D到平面ABE的距離，就是AB與CD的距離d.因此有V=VA-BCD=VA-BDE=

因而當(dāng)θ=90°，即當(dāng)對(duì)棱AB與CD垂直時(shí)，四面體體積最大，其體積的最大值為

例4 ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC=2，求點(diǎn)B到平面EFG的距離.

解：如圖5，取EF的中點(diǎn)O，連接GB、GO、CD、FB，構(gòu)造三棱錐BEFG.

圖5

點(diǎn)評(píng)：等積法不直接求解，而是作為中間過(guò)渡，即設(shè)而不求，巧妙地將復(fù)雜的運(yùn)算簡(jiǎn)化，這種方法在解決與圓錐曲線的弦的中點(diǎn)等多種問(wèn)題時(shí)非常奏效.

策略四、充分利用空間向量，達(dá)到以算代證的目的

縱觀近年來(lái)高考立體幾何試題標(biāo)準(zhǔn)答案基本都是一題兩法即綜合法和坐標(biāo)向量法，利用坐標(biāo)向量法解決立體幾何問(wèn)題是種普遍、行之有效的方法，把空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為純代數(shù)運(yùn)算，避免了繁瑣的推理論證過(guò)程，也大大降低了對(duì)學(xué)生空間想象能力的要求，為解決立體幾何問(wèn)題的開辟一條新的思路.

通過(guò)中國(guó)知網(wǎng)等數(shù)據(jù)庫(kù)檢索發(fā)現(xiàn)，對(duì)體育舞蹈協(xié)調(diào)性與靈敏素質(zhì)的相關(guān)研究?jī)H有11篇，且大多是以體育、舞蹈專業(yè)院校學(xué)生為調(diào)查對(duì)象，以普通大學(xué)生為調(diào)查對(duì)象的實(shí)驗(yàn)研究較少。

例5 如圖6，在三棱錐P-ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2.

圖6

（Ⅰ）證明：AP⊥BC.

（Ⅱ）在線段AP上是否存在點(diǎn)M，使得二面角A-MC-β為直二面角？若存在，求出AM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解法1（構(gòu)圖）：（Ⅰ）證明：所以∴AD⊥BC，又PO⊥平面ABC，所以∴PO⊥BC.

因?yàn)椤逷O∩AD=O，所以BC⊥平面PAD，所以BC⊥PA.

（Ⅱ）如圖7，在平面PAB內(nèi)作BM⊥AP于M，連接CM，

由（Ⅰ）知BC⊥PA，得PA⊥平面BMC，又AP?平面PAC，所以平面BMC⊥平面PAC.

在Rt△ADB中，AB2=AD2+BD2=41得AB=

在Rt△POD中，PD2=PO2+OD2，

在Rt△POA中，PA2=AO2+OP2=25，得PA=5，又cos∠BPA=

圖7

所以PM=PBcos∠BPA=2，所以AM=PA-PM=3，所以存在點(diǎn)M符合題意，AM=3.

解法2（向量法）：（Ⅰ）證明：如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，以射線OP為x軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系o-xyz，則O （0，0，0），A（0，-3，0），B（4，2，0），C（-4，2，0），P（0，0，4），由此可得，所以，即AP⊥BC

設(shè)平面BMC的法向量n1=（x1，y1，z1），平面APC的法向量n2=（x2，y2，z2）

1同理由得可取n2=（5，4，-3），由n1·n2=0，得4-3·=0，解得λ=，故AM=3.

綜上所述，存在點(diǎn)M符合題意，AM=3.

點(diǎn)評(píng)：用幾何法需作輔助線，構(gòu)造轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，解三角形或四邊形；用坐標(biāo)向量法關(guān)鍵在于坐標(biāo)系的建立，并求對(duì)一些點(diǎn)的坐標(biāo).同一道題多問(wèn)中可采用不同的方法，直觀簡(jiǎn)潔，省時(shí)省力，不拘一格，問(wèn)題易得到解決就是好方法.