例談解決多元函數(shù)問(wèn)題的幾種策略

☉江蘇省常熟市滸浦高級(jí)中學(xué) 錢(qián)佶忠

例談解決多元函數(shù)問(wèn)題的幾種策略

☉江蘇省常熟市滸浦高級(jí)中學(xué) 錢(qián)佶忠

多元函數(shù)是近幾年各地模擬考試的熱點(diǎn)，近幾年高考中多次出現(xiàn)此類題目，常常涉及函數(shù)、方程、不等式、三角、平面幾何等諸多知識(shí)，這些問(wèn)題字母多、式子繁、難度大、綜合性強(qiáng)，很多學(xué)生感到無(wú)從下手，是教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn).解決此類問(wèn)題的策略中蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想和方法，只要把握整體思維思想，利用消元降次、數(shù)形結(jié)合等解題方法，許多問(wèn)題往往迎刃而解.筆者結(jié)合平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐，舉例說(shuō)明，以期拋磚引玉.

策略一——靈活使用判別式法

當(dāng)題目中有多個(gè)變量時(shí)，變量的范圍是一切實(shí)數(shù)，常常考慮將某一個(gè)變量視為主元，用判別式方法解決.

例1 已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，則a的最大值為_(kāi)______.

解析：因?yàn)閍+b+c=0，所以c=-（a+b），代入得a2+b2+［-（a+b）］2=1，即2a2+2ab+2b2-1=0，將等式視為關(guān)于b的二次方程有解，只需Δ≥0，即Δ=4a2-8（2a2-1）≥0，解到，則a的最大值為

點(diǎn)評(píng)：如果通過(guò)代換及題中關(guān)系式可得到一個(gè)關(guān)于某個(gè)變量的一元二次方程，利用二次方程有解時(shí)判別式非負(fù)可以將問(wèn)題解決.有時(shí)需要根據(jù)變?cè)姆秶臀恢脕?lái)決定主變?cè)拇涡?

策略二——利用局部調(diào)整變量解決

局部調(diào)整是解多元函數(shù)最值的一種比較重要的方法.“局部調(diào)整”，其實(shí)質(zhì)是根據(jù)問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)行有限次的調(diào)整，讓其他的對(duì)象暫時(shí)不變，得出局部的結(jié)果之后，再進(jìn)一步調(diào)整研究，從而減少變?cè)剿鹘獯?

（1）求多元函數(shù)的最值時(shí)，在解題過(guò)程中，可以通過(guò)已知的條件，逐次消去一部分變?cè)?，從而減少變?cè)怪D(zhuǎn)化為我們熟悉的一元函數(shù).

例2 已知正數(shù)a、b、c滿足5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，則的取值范圍為_(kāi)______.

解析：由于clnb≥a+clnc，進(jìn)行對(duì)數(shù)運(yùn)算，有clnbclnc≥a，即ln≥，所以對(duì)條件5c-3a≤b≤4c-a兩邊同除以c，即有，而設(shè)y=，x=，則5-3x≤y≤4-x，lny≥x?y≥ex，求的范圍.通過(guò)整體轉(zhuǎn)化，常規(guī)的線性規(guī)劃問(wèn)題出現(xiàn)，以下求法略.

點(diǎn)評(píng)：在進(jìn)行消元和換元的同時(shí)注意變?cè)姆秶荒茈S意擴(kuò)大和縮小.

（2）求多元函數(shù)最值時(shí)，在解題過(guò)程中，可以通過(guò)局部調(diào)整多元函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式，使之與我們所學(xué)過(guò)的一些公式（如兩點(diǎn)間距離公式、斜率公式、點(diǎn)到直線的距離公式、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式等）結(jié)構(gòu)類似，可以考慮用數(shù)形結(jié)合的方法.

證明：當(dāng)a=0時(shí)，F(xiàn)（0，θ）=1.當(dāng)a≠0時(shí)，F(xiàn)（a，θ）=

圖1

（3）在求多元函數(shù)問(wèn)題時(shí)，在解題過(guò)程中，某些變?cè)匚华?dú)立，盡管變化不定，但不牽扯到其他的變?cè)?，可以調(diào)整它的范圍，達(dá)到局部的最值.然后逐次調(diào)整其他的變?cè)敝燎蟪龃鸢?

例4 已知a，b，c是正實(shí)數(shù)，且abc+a+c=b，設(shè)p=，則p的最小值為_(kāi)_______.

解析：設(shè)a=tanα，b=tanβ，c=tanγ，α，β，γ∈ （0，），則，即，所以p=2cos2α-2cos2β+3cos2γ，α，β，γ∈ （0，）.又由和差化積公式，可得β=α+γ，γ=β-α，p=2sin（α+β）sin（β-α）+3cos2γ= 2sin（α+β）sinγ+3cos2γ.因?yàn)閟in（α+β）≤1，所以p≤2sinγ+時(shí)取等號(hào)，即p=.

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策略三——利用等價(jià)轉(zhuǎn)化解決多元函數(shù)問(wèn)題

多元問(wèn)題具有難度大、技巧性強(qiáng)，兩個(gè)變量之間的相關(guān)性和任意性難以把握等特點(diǎn)，致使學(xué)生無(wú)從下手，找不到解題的切入點(diǎn).經(jīng)?？梢酝ㄟ^(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化策略實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決.將題目中的兩個(gè)獨(dú)立變量x1，x2，整體或局部轉(zhuǎn)化為含有x+x或x-x或等形式，進(jìn)行換元再構(gòu)造一

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個(gè)新變量的函數(shù).

例5 已知函數(shù)f（x）=ex-ax，其中a＞0.

（1）若對(duì)一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合；

（2）在函數(shù)f（x）的圖像上取定點(diǎn)A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1＜x2），記直線AB的斜率為k，證明：存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）=k恒成立.

解析：（1）a的取值集合為｛1｝（.過(guò)程略）

令t=x1-x2或t=x2-x1，于是F（t）=et-t-1，則F′（t）=et-1.

當(dāng)t＜0時(shí)，F(xiàn)′（t）＜0，F(xiàn)（t）單調(diào)遞減；當(dāng)t＞0時(shí)，F(xiàn)′（t）＞0，F(xiàn)（t）單調(diào)遞增.

故當(dāng)t=0，F(xiàn)（t）＞F（0）=0，即et-t-1＞0.

從而ex2-x1-（x2-x1）-1＞0，ex1-x2

-（x1-x2）-1＞0.

點(diǎn)評(píng)：將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為一個(gè)方程是否存在有解的問(wèn)題，使局部含有x2-x1的統(tǒng)一形式進(jìn)行換元構(gòu)造新函數(shù)，再通過(guò)函數(shù)性質(zhì)來(lái)解題.

策略四——利用等式消元解決

多元問(wèn)題中常常用同一個(gè)變量表示，可以建立等量關(guān)系，利用等式消元.

分析：由于題目中給出兩個(gè)等式，求的是xy的取值范圍，將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)是解決多元函數(shù)問(wèn)題的重要途徑之一.

點(diǎn)評(píng)：解答多元函數(shù)問(wèn)題困難的根本原因在于它的多元，因此化多元函數(shù)為一元函數(shù)是解決多元函數(shù)問(wèn)題的重要途徑之一，消元法本質(zhì)上是數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化與化歸思想的一種體現(xiàn).在平時(shí)解答多元函數(shù)問(wèn)題時(shí)，會(huì)遇到以下困擾：消元前后的表達(dá)式不等價(jià)，主要原因是忽視表達(dá)式自身的限制和相關(guān)等式之間的制約，消元需要“去得明白”，這是實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維邏輯提升的重要所在.

策略五——利用不等式解決

求多元函數(shù)問(wèn)題時(shí)，在解題過(guò)程中，可以逐步地調(diào)整多元函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式，使之與我們學(xué)過(guò)的不等式（如基本不等式，柯西不等式）結(jié)構(gòu)類似，利用不等式解決.

例7 設(shè)二次函數(shù)（fx）=ax2-4bx+c，對(duì)于任意的x∈ R，恒有（fx）≥0，且f（′x）滿足f（′0）＜0，則的最大值是___________.

點(diǎn)評(píng)：本題在一個(gè)新的環(huán)境下考查利用基本不等式求最值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件消掉目標(biāo)式中的多元，通過(guò)對(duì)目標(biāo)式的變形，使用基本不等式轉(zhuǎn)化為考生所熟悉的求最值的題型；連續(xù)使用同向不等式時(shí)要關(guān)注不等號(hào)方向，保證等號(hào)條件的一致性.

策略六——利用整體處理解決

觀察式子的結(jié)構(gòu)，有時(shí)會(huì)將式子整體處理.

例8 設(shè)實(shí)數(shù)a、b、c滿足a2+b2≤c≤1，則a+b+c的取值范圍為_(kāi)_______.

解析：由a2+b2≤c≤1得a2+b2≤1，可將其視為以原點(diǎn)為圓心、1為半徑的圓周及其圓內(nèi)部，可以假設(shè)其中r∈［0，1］，θ∈［0，2π］均為參數(shù)，代入a+b+c≥a+b+

例9 已知函數(shù)（fx）=3x+a與函數(shù)（fx）=3x+2a在區(qū)間（b，c）上都有零點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)____.

點(diǎn)評(píng)：以上兩個(gè)例子，想法都是引入其他變量，怎樣確定引入的變量，需要因題而異，根據(jù)題目的實(shí)際情況來(lái)確定.此種解法在引元消元時(shí)，注意到原有自變量都不合適，另外引進(jìn)變量后則豁然開(kāi)朗，使問(wèn)題易于解決.在此特別提醒注意引元范圍，引入變?cè)秶鷽](méi)有得到限制是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，它的范圍是由原表達(dá)式中變量的范圍影響的，引入變?cè)枰皝?lái)得清楚”.

策略七——運(yùn)用不等式解決

近幾年的高考試題很少單純顯性地考查基本不等式，更多的試題是將均值不等式融入到其他知識(shí)中隱性地考查.于是，運(yùn)用基本不等式求一些多元函數(shù)的最值或確定參數(shù)值的題目便不斷涌現(xiàn)出來(lái).此類題目對(duì)學(xué)生來(lái)講富有挑戰(zhàn)性，要順利地解決問(wèn)題，不僅要求數(shù)學(xué)基本功扎實(shí)，更要有較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，能根據(jù)題目靈活地變形為不等式的應(yīng)用創(chuàng)設(shè)條件.

例10 當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足4a2-2ab+b2-c=0，且使|2a+b|最大時(shí)，的最小值為_(kāi)________.

解析：由4a2-2ab+4b2-c=0，可得2c=3（a+b）2+5（a-b）2，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即2a=3b時(shí)取等號(hào)，此時(shí)

利用柯西不等式證明某些不等式或探求某些多元函數(shù)的最值（值域）時(shí)，確實(shí)簡(jiǎn)捷明了，求函數(shù)的極值關(guān)鍵在于如何湊出常數(shù).有些極值問(wèn)題從表面上看不能利用柯西不等式，但只要適當(dāng)添加上常數(shù)項(xiàng)或和為常數(shù)的各項(xiàng)，就可以應(yīng)用柯西不等式來(lái)解，這也是運(yùn)用柯西不等式解題的技巧.因此，創(chuàng)造條件靈活運(yùn)用柯西不等式，將會(huì)給我們帶來(lái)許多方便.

總之，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}策略，有時(shí)多種方法融為一體，共同發(fā)揮作用.