數(shù)學(xué)符號意識有效生成探究

吳志健

數(shù)學(xué)符號是數(shù)學(xué)的語言、工具與方法，一般指數(shù)字、字母、圖形和關(guān)系式等。數(shù)學(xué)符號意識是指在感知、認(rèn)識、運用數(shù)學(xué)符號時的一種積極的心理傾向。數(shù)學(xué)符號意識的有效生成，是指在課堂教學(xué)中，通過某個數(shù)學(xué)活動，使學(xué)生對數(shù)學(xué)符號的引入、理解和運算形成相應(yīng)的心理反應(yīng)。這里的“有效”，強調(diào)的是學(xué)與教的策略合理，數(shù)學(xué)活動有針對性，心理反應(yīng)積極。由于“建立符號意識有助于學(xué)生理解符號的使用，是數(shù)學(xué)表達和進行數(shù)學(xué)思考的重要形式”，因此，培養(yǎng)學(xué)生符號意識成為廣大教育工作者的一個重要課題。

一、 立足需求，培養(yǎng)數(shù)學(xué)符號引入意識

數(shù)學(xué)符號引入意識是指在表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律時，能比較科學(xué)地引入相應(yīng)的符號來表達。這里主要指引入已知數(shù)表示不變量、引入字母表示變量或特定量、引入含有字母的算式表示數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律等。它不僅指初次接觸時能在教師引領(lǐng)下引入符號，更指在以后運用所學(xué)解決其他問題時能自覺地引入符號。

把生活元素融入主題情境，從情境中引出數(shù)學(xué)符號，已經(jīng)成為共識。但符號只有賦予了數(shù)學(xué)意義，才能成為數(shù)學(xué)符號，生活中的符號與數(shù)學(xué)符號常常同形不同義、同形不同法。筆者認(rèn)為，如果要從生活中引入，還得增添數(shù)學(xué)化環(huán)節(jié)，也就是要從數(shù)學(xué)的發(fā)展需要引入數(shù)學(xué)符號，讓數(shù)學(xué)符號的引入融入到數(shù)學(xué)發(fā)展的需要中。

1.注重表達的需求

實際上，原有的表達和引入符號后形成的新的表達，都有一定的、合理的存在基礎(chǔ)。由前者到后者，不僅有學(xué)習(xí)內(nèi)容上的轉(zhuǎn)變，而且有學(xué)習(xí)者心理上的認(rèn)同。判斷引入符號是否成功的維度有兩個：一是引入后表述的問題是否更清楚，二是引入后學(xué)生能不能感悟到它的必要性。由此不難發(fā)現(xiàn)，需要關(guān)注表達過程與表達形式的需求。

第一，要讓學(xué)生自由表達，通過質(zhì)疑讓學(xué)生感悟到用符號表達的價值。例如，教學(xué)用數(shù)對表示物體的位置。當(dāng)學(xué)生從生活經(jīng)驗中的第幾排、第幾行入手，表達教室里某同學(xué)的位置時，產(chǎn)生同一位置有不同的表示方法，很難更方便表達、更準(zhǔn)確理解的疑問，從而引出數(shù)對。

第二，要讓學(xué)生通過不同表達形式之間的比較權(quán)衡利弊。例如，教學(xué)乘法分配律，有的教師怕學(xué)生死記硬背，希望他們用自己的語言與方式來表達，故不出示運算律的文字?jǐn)⑹觥＿@樣，學(xué)生就很難把文字?jǐn)⑹雠c符號語言進行對比，從而明晰a×（b+c）=a×b+a×c的簡潔性。為此，我們可以利用已有經(jīng)驗，強化比較，凸顯簡潔。譬如，在讓學(xué)生做簡便計算18×27+73×18時，可以提問：你運用了什么運算律？并請學(xué)生用語言敘述一下。當(dāng)學(xué)生難以表達清楚時，請他用字母來表示。這樣，學(xué)生就會在無形中體會數(shù)學(xué)符號的簡潔性。

2.注重思考的需求

從數(shù)學(xué)思考的過程來看，數(shù)學(xué)符號的合理引入，有助于壓縮思考過程，提高有效性。從數(shù)學(xué)思考的結(jié)果來看，引入數(shù)學(xué)符號，有助于突出思考結(jié)果的本質(zhì)屬性，有利于進行判斷與推理、分析與綜合。這里的數(shù)學(xué)思考包含三個內(nèi)容：首先是引入數(shù)學(xué)符號的緣由，其次是引入數(shù)學(xué)符號的過程，第三是根據(jù)引入的數(shù)學(xué)符號來解決相關(guān)問題?？梢?，這種數(shù)學(xué)思考的需求，必須體現(xiàn)在相應(yīng)的學(xué)與教的過程中。但是在用字母表示公式的教學(xué)中，有兩種傾向值得關(guān)注。一是忽視鞏固公式時數(shù)學(xué)思考上的需求。例如，教學(xué)平行四邊形面積計算時，教師能注重分層引導(dǎo)學(xué)生用字母表示公式，但是在運用公式做習(xí)題時，只是讓學(xué)生指出平行四邊形底與相應(yīng)的高各是多少，而不去引導(dǎo)學(xué)生先想一想字母公式。二是忽視在推導(dǎo)新的字母公式時運用已學(xué)過的相應(yīng)的字母公式。例如，在教學(xué)三角形面積的計算時，有些教師沒有利用平行四邊形面積計算的字母公式去引導(dǎo)學(xué)生獲得三角形面積計算的字母公式。

二、 彰顯變化，建立數(shù)學(xué)符號理解意識

數(shù)學(xué)符號理解意識是指能闡述數(shù)學(xué)符號在具體情境中的含義。關(guān)于數(shù)學(xué)符號，對于“教”來講，其順序是“引入→理解→運算”；但是對于“學(xué)”而言，其順序是“理解→運算→引入”，或者“理解→引入”?？梢?，數(shù)學(xué)符號理解意識直接影響著學(xué)生的數(shù)學(xué)符號引入意識和運算意識，它是學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識的重要基石。這里的重點有三：其一，梳理結(jié)合具體情境的各種含義；其二，賦予數(shù)學(xué)符號以具體情境；其三，對數(shù)學(xué)符號進行更換或者一般化。由此可以看出，建立數(shù)學(xué)符號理解意識，離不開數(shù)學(xué)符號形式與含義的變式訓(xùn)練。

1.注重形式的變化

理解數(shù)學(xué)符號，關(guān)鍵是對其內(nèi)涵及外延的正確把握，而學(xué)生往往受數(shù)學(xué)符號形式的困擾，難以甄別。因此，若是關(guān)系式，就要用各種形式去表示，或具象化，或抽象化。例如，教學(xué)乘法分配律。可以引導(dǎo)學(xué)生列舉25×（16+37）=25×16+25×37等整數(shù)形式，4.3×6.1-5.9×4.3=（6.1—5.9）×4.3等小數(shù)形式，×（+-）=×+×-×等分?jǐn)?shù)形式，引導(dǎo)學(xué)生畫出“長方形面積圖”（見圖1）等幾何形式，還可以引導(dǎo)學(xué)生用文字或字母進行表述。

若是數(shù)，就要變換情境，或序數(shù)、或基數(shù)、或數(shù)量。例如，教學(xué)分?jǐn)?shù)的意義，當(dāng)學(xué)生明確的含義后，可以引導(dǎo)學(xué)生做以下兩道題目。（1）一根木料鋸成兩段，第一段長米，第二段長，哪一段長一些？（2）有兩根同樣長的木料，第一根用去米，第二根用去，哪一根剩下的長一些？通過畫圖、解題，使學(xué)生明白題中米和的單位“1”各指的是什么，能不能相同，從而加深對其含義的理解。

同時，也要用字母表示數(shù)，或改變?nèi)≈捣秶?，或更改運算符號。例如，教學(xué)公因數(shù)與公倍數(shù)。先讓學(xué)生做習(xí)題：16÷2=8，16和2的最大公因數(shù)是（ ），最小公倍數(shù)是（ ）。再引導(dǎo)學(xué)生進行抽象，用字母表示數(shù)，形成如下題目并解答。（1）a÷b=8（且a、b都是不為0的自然數(shù)），a和b的最大公因數(shù)是（ ），最小公倍數(shù)是（ ）。（2）b=8a（且a、b都是不為0的自然數(shù)），a和b的最大公因數(shù)是（ ），最小公倍數(shù)是（ ）。

2.注重含義的變化

對于數(shù)學(xué)符號的含義，我們通常讓學(xué)生在具體的生活情境中獲取，導(dǎo)致學(xué)生獲得的“含義”既具有相對的情境性、初步的獨立性，又具有一定的抽象性。即學(xué)生頭腦里的“含義”可能全部內(nèi)容都在變化，也可能部分內(nèi)容在變化。因此，加強“含義”的變式訓(xùn)練，有助于學(xué)生建立數(shù)學(xué)符號理解意識。

第一，要引導(dǎo)學(xué)生分析同一個符號的不同含義。例如，教學(xué)用字母表示?？梢赃\用下面的題組，幫助學(xué)生對a的含義進行對比。（1）擺1個三角形，要用3根小棒；增加1個三角形，共要用5根小棒。那么，增加a個三角形，共要用小棒（ ）根。（2）擺1個三角形，要用3根小棒；擺2個三角形，要用5根小棒。那么，擺a個三角形要用小棒（ ）根。其中，第1小題可以填“3+2a”，也可以填“1+2（a+1）”；第2小題可以填“3+2（a-1）”，也可以填“1+2a”。這里，每一個數(shù)（含表示數(shù)的字母）、每一步算式的含義都要讓學(xué)生結(jié)合題意弄清楚。不僅要明白每一題前后兩式之間的聯(lián)系與區(qū)別，而且要知道每一道算式所表達的規(guī)律，更要清楚兩題中變量a的含義的變化。

第二，要引導(dǎo)學(xué)生綜合各個情境的不同含義。例如，教學(xué)分?jǐn)?shù)的意義?？梢赃\用填空題“把（ ）平均分成（ ）份，表示這樣的（ ）份”，來引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)月餅圖、長方形圖、長度單位圖、桃子圖各自表示的分?jǐn)?shù)，歸納出單位“1”及分?jǐn)?shù)的含義。

第三，要引導(dǎo)學(xué)生推理同一道算式的不同含義。例如，教學(xué)長方形面積計算。在學(xué)生學(xué)完字母公式S=a×b進行綜合練習(xí)時，可以引導(dǎo)他們推理出a×b= S，進而推出a×b=c，再根據(jù)“單價×數(shù)量=總價”進行類推，等等。讓學(xué)生明白a×b=c可以表示兩個數(shù)相乘的積，也可以表示長方形面積計算公式，還可以表示其他的數(shù)量關(guān)系式。

三、 把握關(guān)系，發(fā)展數(shù)學(xué)符號運算意識

數(shù)學(xué)符號運算意識主要是指主動地對含有字母的算式進行運算或推理，獲得新結(jié)論，它包括能解釋原式與化簡結(jié)果。這里的算式，指簡單的整式和簡易方程。它的運算前提有二，一是掌握運算方法，二是明確對運算結(jié)果的要求。

在小學(xué)階段，整式的化簡主要集中在形如ax±bx，aπ±bπ之類，運用乘法分配律進行合并同類項；較復(fù)雜的簡易方程主要有ax±bx=c， ax±b=c之類，運用等式的性質(zhì)解方程。我們知道，通過有效的訓(xùn)練，學(xué)生能夠掌握此類運算。問題主要有二：一是學(xué)生只是抽象地按規(guī)則進行運算，不去具象化思考，不去運用多種方法，不去尋找方法之間的關(guān)系；二是學(xué)生只是機械地解決此類問題，不去靈活思考結(jié)果之間的關(guān)系。換句話講，我們要讓學(xué)生把握好以上兩種關(guān)系來全面發(fā)展數(shù)學(xué)符號運算意識。

1.注重方法之間的關(guān)系

就習(xí)題來講，分析的角度和思路不同，就會形成不同的解題方法。如何呈現(xiàn)解題方法是教學(xué)的關(guān)鍵所在，讓學(xué)生在解題的過程中提高運算能力是教學(xué)的重要舉措。筆者認(rèn)為，對于學(xué)生而言，解題方法的意義，不僅僅在于找到題目的答案，更在于發(fā)展他們的數(shù)學(xué)符號運算意識。也正因為后者，才有了對方法的發(fā)現(xiàn)進行教學(xué)的可能性，才有了對方法進行比較的價值，才有了對方法進行訓(xùn)練的必要性。

在解決一些代數(shù)問題時，絕大多數(shù)學(xué)生傾向于只是運用算術(shù)方法，或者只是運用代數(shù)方法，不去考慮同時運用它們，也不去分析解題方法之間存在的聯(lián)系與區(qū)別。例如，做選擇題：a+124=b+257，a與b相比，（ ）。①a>b；②a2e4fa399b364da4e32d6ee8609985634

法交換律a+b=b+a，找出a與b的特殊值。筆者曾在某班作過調(diào)查，42名學(xué)生中只有2人用了兩種方法，其余學(xué)生都只使用了上面幾種方法中的某一種，找到答案就算完事了。理解是運用的基礎(chǔ)，只有理解了才能使學(xué)生自覺運用代數(shù)法進行運算，只有理解了才能反思代數(shù)法與算術(shù)法之間的關(guān)系。我們可以先組織學(xué)生獨立解答，然后引導(dǎo)學(xué)生分析并理解各個方法，從本質(zhì)上溝通方法之間的聯(lián)系。

2.注重結(jié)果之間的關(guān)系

運算結(jié)果往往是學(xué)生解題的唯一目標(biāo)，對結(jié)果過于看重，也導(dǎo)致學(xué)生對其認(rèn)可趨向偏執(zhí)。尤其是對代數(shù)式進行運算，其結(jié)果不僅可以是一個數(shù)，而且可以是一道算式，學(xué)生往往難以接受，即使認(rèn)同，也是囫圇吞棗。對運算結(jié)果的有效處理，不僅可以加深學(xué)生對運算符號及其運算本身的理解，還可以加深式與形、數(shù)與符號之間的理解，更可以通過結(jié)果之間關(guān)系的分析來發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)符號運算意識。

第一，通過對算理的分析，加深對結(jié)果之間區(qū)別的認(rèn)識。可以讓學(xué)生在解決實際問題的過程中，通過提出問題、列式、說說算式每一步的意義等數(shù)學(xué)活動，來進一步明晰數(shù)學(xué)符號運算的規(guī)則，尤其是對結(jié)果的規(guī)定性。例如下面這道習(xí)題：利民公司運來a車蔬菜，每車裝5噸，供應(yīng)給菜場65噸。 ？學(xué)生能夠根據(jù)條件提出如下問題：還剩多少噸蔬菜？列出如下算式：5a-65，5（a—65÷5）。通過討論得出結(jié)果的兩種形式：5（a—65÷5）=5a-65，5（a—65÷5）=5（a-13），它們分別使用了數(shù)量關(guān)系式“公司運來蔬菜的總噸數(shù)-供應(yīng)給菜場的噸數(shù)=剩下的噸數(shù)”、“每車蔬菜的噸數(shù)×供應(yīng)菜場后剩下的車數(shù)=剩下的噸數(shù)”，這就是它們主要的區(qū)別所在。

第二，通過部分與整體的對比，加深對結(jié)果之間聯(lián)系的認(rèn)識?？梢宰寣W(xué)生分析代數(shù)式不含字母的前幾項的特征，找出算法，算出結(jié)果，再類推出整個代數(shù)式的結(jié)果。例如，計算1+2+4+8+…+m?？梢韵茸寣W(xué)生計算1+2+4+8+16+32+64+128，找到算法“尾數(shù)×2-1”，再推出原代數(shù)式的結(jié)果2m-1，同時把結(jié)果255與“2m-1”進行比較。也可以在教學(xué)相關(guān)例題之后的綜合練習(xí)中，把例題改編成含有字母的代數(shù)式，促進學(xué)生進行類推。比如，把例題++++改編成+++++…+，讓學(xué)生由例題的結(jié)果1-推出改編題的結(jié)果1-。

綜上，數(shù)學(xué)符號意識可以分成數(shù)學(xué)符號引入意識、理解意識和運算意識三種，其有效生成，需要立足需要，彰顯變化，把握關(guān)系。

參考文獻

[1] 教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會編寫.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

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【責(zé)任編輯：陳國慶】