行為保險(xiǎn)學(xué)系列（五）伯努利效用函數(shù)的修正與保險(xiǎn)決策

郭振華　上海對(duì)外經(jīng)貿(mào)大學(xué)金融學(xué)院

行為保險(xiǎn)學(xué)系列（五）伯努利效用函數(shù)的修正與保險(xiǎn)決策

郭振華上海對(duì)外經(jīng)貿(mào)大學(xué)金融學(xué)院

本文受?chē)?guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目（71173144）的資助。

郭振華，上海對(duì)外經(jīng)貿(mào)大學(xué)金融學(xué)院保險(xiǎn)系主任、副教授，兼任中國(guó)保險(xiǎn)學(xué)會(huì)理事、上海保險(xiǎn)學(xué)會(huì)理事。長(zhǎng)期講授《保險(xiǎn)學(xué)》《保險(xiǎn)公司經(jīng)營(yíng)管理》等課程，主持完成國(guó)家自然科學(xué)基金、教育部社科基金、上海社科基金項(xiàng)目各一項(xiàng)。

如“行為保險(xiǎn)學(xué)系列（一）理性保險(xiǎn)決策理論及其由來(lái)”所述，在新古典經(jīng)濟(jì)學(xué)和當(dāng)今主流經(jīng)濟(jì)學(xué)教材中，一直采用的是伯努利1738年發(fā)明的效用函數(shù)。在人類(lèi)世界，伯努利首次將財(cái)富的“金錢(qián)價(jià)值”和財(cái)富帶來(lái)的“效用（心理價(jià)值）”區(qū)分開(kāi)來(lái)，用邊際遞減的效用函數(shù)解決了圣彼得堡悖論，成為理性人進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)決策的經(jīng)濟(jì)學(xué)準(zhǔn)則。

伯努利效用函數(shù)有四大特點(diǎn)：第一，個(gè)體的效用是由其財(cái)富狀態(tài)或財(cái)富結(jié)果決定的；第二，只要個(gè)體擁有一定的財(cái)富，無(wú)論規(guī)模大小，都會(huì)有一定的正效用水平；第三，隨著財(cái)富增加，個(gè)體的效用會(huì)增加，但財(cái)富增加帶來(lái)的邊際正效用遞減；第四，隨著財(cái)富減少（或損失增加），個(gè)體的效用會(huì)降低，但人們的邊際負(fù)效用遞增。

表1是伯努利于1738年計(jì)算得出的一個(gè)效用函數(shù)版本，從中可以清晰地看到上述四個(gè)特點(diǎn)：第一，不同的財(cái)富值帶來(lái)不同的效用值。100萬(wàn)達(dá)克財(cái)富水平的效用值是10個(gè)點(diǎn)，200萬(wàn)達(dá)克財(cái)富水平的效用值是30個(gè)點(diǎn)。第二，只要個(gè)體擁有一定的財(cái)富，無(wú)論規(guī)模大小，都會(huì)有一定的正效用水平?？梢钥吹?，無(wú)論財(cái)富多少，效用值都是正的。第三，隨著財(cái)富增加，效用增加，但邊際正效用遞減。例如，財(cái)富水平從100萬(wàn)達(dá)克增加到200萬(wàn)達(dá)克時(shí)，效用增加了20個(gè)點(diǎn)（= 30-10）；財(cái)富水平從200萬(wàn)達(dá)克增加到300萬(wàn)達(dá)克時(shí)，效用只增加了18個(gè)點(diǎn)（=48-30）；財(cái)富水平從900萬(wàn)達(dá)克增加到1000萬(wàn)達(dá)克時(shí)，效用只增加了4個(gè)點(diǎn)（=100-96）。第四，隨著財(cái)富減少，效用降低，但邊際負(fù)效用遞增。例如，財(cái)富水平從1000萬(wàn)達(dá)克降低到900萬(wàn)達(dá)克時(shí)，效用減少了4個(gè)點(diǎn)（= 100-96）；財(cái)富水平從900萬(wàn)達(dá)克降低到800萬(wàn)達(dá)克時(shí)，效用降低了6個(gè)點(diǎn)（=96-90）；財(cái)富水平從200萬(wàn)達(dá)克降低到100萬(wàn)達(dá)克時(shí)，效用大幅減少了20個(gè)點(diǎn)（=30-10）。

本文討論效用函數(shù)對(duì)保險(xiǎn)決策的影響，而保險(xiǎn)主要承保純粹風(fēng)險(xiǎn)，純粹風(fēng)險(xiǎn)的特點(diǎn)是“要么遭受損失、要么沒(méi)損失”，所以，本文主要研究個(gè)體在損失情境下的效用函數(shù)。在揭示伯努利效用函數(shù)缺陷的基礎(chǔ)上，修正了損失情境下的效用函數(shù)，討論了修正后的效用函數(shù)對(duì)保險(xiǎn)決策的影響。

一、“財(cái)富值決定效用值”有誤：未考慮參照點(diǎn)的影響

?表1　伯努利1738年計(jì)算的效用函數(shù)

伯努利認(rèn)為，一定的財(cái)富狀態(tài)或財(cái)富值對(duì)應(yīng)一定的效用水平，一定的效用水平代表著一定的快樂(lè)程度。如果A和B具有相同的伯努利效用函數(shù)，則，只要其財(cái)富水平相同，A和B的快樂(lè)程度就應(yīng)該相等。但事實(shí)并非如此。

1.財(cái)富值相同，效用未必相等

案例1：假定張三和李四具有相同的伯努利效用函數(shù)，現(xiàn)在擁有相同的財(cái)富水平400萬(wàn)元，按照伯努利的效用理論，張三和李四的效用水平相同，快樂(lè)程度也應(yīng)該相同。

但是，想想兩人在400萬(wàn)元財(cái)富之前的狀態(tài)吧！假定張三之前擁有200萬(wàn)元，李四之前擁有600萬(wàn)元，那么，張三和李四現(xiàn)在的快樂(lè)程度相同嗎？答案是顯然的，張三由于財(cái)富翻倍而非常高興，李四則由于財(cái)富劇烈縮水而非常失望！所以，伯努利效用理論的預(yù)測(cè)是錯(cuò)誤的。

再假定張三之前擁有1000萬(wàn)元，李四之前擁有500萬(wàn)元，現(xiàn)在兩人擁有相同的財(cái)富400萬(wàn)元。則，按照伯努利的效用理論，兩人現(xiàn)在的快樂(lè)程度應(yīng)該是相同的，但實(shí)際情況是，張三明顯比李四更加失望。伯努利效用理論的預(yù)測(cè)再次出現(xiàn)失誤。

2.財(cái)富值為正，效用可能為負(fù)

按照伯努利效用函數(shù)，無(wú)論從過(guò)去到現(xiàn)在財(cái)富是增加還是減少，只要個(gè)體現(xiàn)在有一定的財(cái)富，他就有一定的正效用或一定的快樂(lè)程度。

但事實(shí)上，通過(guò)案例1可以發(fā)現(xiàn)，個(gè)體會(huì)將現(xiàn)在與過(guò)去進(jìn)行對(duì)比，財(cái)富增加會(huì)使個(gè)體變得快樂(lè)（獲得正效用），財(cái)富減少會(huì)使個(gè)體變得悲傷（獲得負(fù)效用）。但伯努利效用函數(shù)未考慮人類(lèi)會(huì)因財(cái)富減少而悲傷這一狀況，因此，伯努利的效用理論是有缺陷的。

3.參照點(diǎn)不但重要，還會(huì)移動(dòng)

從案例1可以看出，過(guò)去財(cái)富水平（或初始財(cái)富）基礎(chǔ)上的財(cái)富變化決定著人們的效用和快樂(lè)程度，這個(gè)過(guò)去財(cái)富水平或初始財(cái)富是個(gè)體進(jìn)行決策的參照點(diǎn)。卡尼曼和特沃斯基曾通過(guò)如下選擇問(wèn)題證明了參照點(diǎn)的巨大作用和伯努利理論的缺陷。

問(wèn)題1：不管你原來(lái)有多少錢(qián)，現(xiàn)在再給你1000美元。請(qǐng)你在如下兩個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)：

A.50%的概率贏得1000美元，50%的概率什么也得不到；

B.肯定得到500美元。

問(wèn)題2：不管你原來(lái)有多少錢(qián)，現(xiàn)在再給你2000美元。請(qǐng)你在如下兩個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)：

A.50%的概率損失1000美元，50%的概率損失為零；

B.肯定損失500美元。

可以看出，問(wèn)題1和問(wèn)題2帶給被試者的財(cái)富的最終狀態(tài)是相同的，本質(zhì)上都相當(dāng)于請(qǐng)被試者在如下問(wèn)題中做出選擇：

A.50%的概率贏得2000美元，50%的概率得到1000美元；

B.肯定得到1500美元。

按照伯努利效用理論，被試者對(duì)問(wèn)題1和問(wèn)題2應(yīng)該做出相同的選擇“B”。但事實(shí)上，對(duì)于問(wèn)題1，多數(shù)被試者會(huì)選擇B，但對(duì)于問(wèn)題2，多數(shù)被試者會(huì)選擇A，這就是參照點(diǎn)在起作用。對(duì)于問(wèn)題1，被試者的參照點(diǎn)是“現(xiàn)有財(cái)富+1000美元”，并將選擇編輯為盈利的風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題；對(duì)于問(wèn)題2，被試者的參照點(diǎn)是“現(xiàn)有財(cái)富+2000美元”，并且將選擇編輯為損失的風(fēng)險(xiǎn)選擇問(wèn)題。由此導(dǎo)致了與伯努利效用理論預(yù)測(cè)截然不同的選擇結(jié)果。顯然，人類(lèi)在決策中不僅會(huì)考慮參照點(diǎn)，還會(huì)經(jīng)常移動(dòng)自己的參照點(diǎn)，不考慮參照點(diǎn)的伯努利效用理論在對(duì)人類(lèi)選擇的預(yù)測(cè)上面臨困境。

4.參照點(diǎn)對(duì)個(gè)體決策的重大影響

在上述案例中，伯努利效用函數(shù)僅考慮財(cái)富結(jié)果對(duì)效用的影響，沒(méi)有考慮到個(gè)體會(huì)因財(cái)富變化而影響自己的效用水平或快樂(lè)程度（或悲傷程度），而財(cái)富變化必然有一個(gè)基準(zhǔn)點(diǎn)，卡尼曼和特沃斯基將這個(gè)基準(zhǔn)點(diǎn)稱(chēng)為“參照點(diǎn)”。正是基于參照點(diǎn)（往往是現(xiàn)狀）的財(cái)富變化影響了人們的效用水平或快樂(lè)程度，人們的參照點(diǎn)才會(huì)隨時(shí)發(fā)生變化，最終導(dǎo)致基于參照點(diǎn)的決策發(fā)生變化。

1979年，卡尼曼和特沃斯基在其發(fā)明的前景理論（ProspectTheory）中提出：第一，效用是隨著財(cái)富的變化而出現(xiàn)的，而不是隨著各種財(cái)富狀態(tài)而出現(xiàn)的?；蛘哒f(shuō)，財(cái)富狀態(tài)本身并不帶來(lái)效用，財(cái)富的變化才會(huì)帶來(lái)效用；第二，既然考慮財(cái)富變化，就一定要考慮參照點(diǎn)，關(guān)注的是從參照點(diǎn)開(kāi)始的變化；第三，變化自然會(huì)有兩個(gè)方向，財(cái)富增長(zhǎng)是贏，財(cái)富縮水是虧，財(cái)富增長(zhǎng)帶來(lái)正效用或快樂(lè)，財(cái)富縮水帶來(lái)負(fù)效用或悲傷。這與人們?cè)诿鎸?duì)選擇時(shí)的心理過(guò)程是極為類(lèi)似的。

二、“財(cái)富減少導(dǎo)致邊際負(fù)效用遞增”有誤

在伯努利效用函數(shù)中，隨著財(cái)富減少（或損失增加），個(gè)體的邊際負(fù)效用遞增，如表1所示，財(cái)富水平從1000萬(wàn)達(dá)克降低到900萬(wàn)達(dá)克時(shí)，效用減少了4個(gè)點(diǎn)；財(cái)富水平從900萬(wàn)達(dá)克降低到800萬(wàn)達(dá)克時(shí)，效用降低了6個(gè)點(diǎn)；財(cái)富水平從200萬(wàn)達(dá)克降低到100萬(wàn)達(dá)克時(shí)，效用大幅減少了20個(gè)點(diǎn)。但是，由于以下兩點(diǎn)原因，“財(cái)富減少，個(gè)體的邊際負(fù)效用遞增”這一說(shuō)法站不住腳。

1.人們?cè)诿媾R損失風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，往往呈現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)喜好

考慮下面的選擇問(wèn)題：

A.50%的概率損失1000美元，50%的概率損失為零；

B.肯定損失500美元。

按照伯努利效用函數(shù)，人們應(yīng)該選B。因?yàn)樵诓в煤瘮?shù)中，無(wú)論是盈利風(fēng)險(xiǎn)還是損失風(fēng)險(xiǎn)，個(gè)體的效用函數(shù)為凹函數(shù)，呈風(fēng)險(xiǎn)厭惡態(tài)度，財(cái)富期望值的效用總是大于財(cái)富效用的期望值，假定初始財(cái)富為W0，即

U（B）=U（W0-500）＞U（A）=50%×U（W0-1000）+ 50%×U（W0）

但實(shí)際上，多數(shù)人都會(huì)選擇A，這如何解釋呢？可能的解釋就是，人們?cè)诿媾R損失風(fēng)險(xiǎn)（純粹風(fēng)險(xiǎn)）時(shí)，其效用函數(shù)是凸函數(shù)，呈風(fēng)險(xiǎn)喜好態(tài)度，隨著損失增加，邊際負(fù)效用遞減，在將現(xiàn)有財(cái)富W0作為參照點(diǎn)的情況下，人們會(huì)認(rèn)為：

U（B）=U（-500）＜U（A）=50%×U（-1000）+50%×U（0）

2.無(wú)論財(cái)富增減，個(gè)體感受都遵從費(fèi)希納定律

心理學(xué)家很早就想知道當(dāng)客觀事物變化時(shí)，人們對(duì)客觀事物的體驗(yàn)到底是如何變化的，例如，當(dāng)水的溫度、光的強(qiáng)度等物理量變化時(shí)，人們對(duì)水溫和光的強(qiáng)度的主觀體驗(yàn)值是如何變化的，這一領(lǐng)域稱(chēng)為心理物理學(xué)（Psychophysics）。

關(guān)于心理物理學(xué)，心理學(xué)家們最早提出的問(wèn)題是，究竟物理刺激的強(qiáng)度變化多少才能讓個(gè)體感覺(jué)到有差異，或者感覺(jué)到確實(shí)發(fā)生變化了。例如，室內(nèi)燈光增加（或減少）多少瓦時(shí)，個(gè)體才能感覺(jué)到光線增強(qiáng)（或減弱）了。1834年，韋伯（Weber）提出，總的來(lái)說(shuō)，某一種物理刺激，若要使人感覺(jué)到其強(qiáng)度的增加（或減少），必須使這一物理刺激強(qiáng)度在原有基礎(chǔ)上增加（或減少）某個(gè)百分比，這一變化量被稱(chēng)為“最小可覺(jué)差”。于是，對(duì)于較小的物理刺激來(lái)說(shuō)，只需要增加較小的變化量，個(gè)體就可感知到變化；但對(duì)于已經(jīng)較大的物理刺激，就必須增加較大的刺激量，才能引起同等程度的注意。為了達(dá)到最小可覺(jué)差，需要增加（或減少）的刺激強(qiáng)度與原刺激強(qiáng)度的比率稱(chēng)為“韋伯分?jǐn)?shù)”。舉例來(lái)說(shuō)，對(duì)重量差異感知的韋伯分?jǐn)?shù)接近1/30，即只有將負(fù)重增加（或減少）原有負(fù)重的1/30時(shí)，人類(lèi)才能感覺(jué)到負(fù)重確實(shí)增加（或減少）了。事實(shí)上，對(duì)于特定類(lèi)型的感官刺激，其韋伯分?jǐn)?shù)基本保持恒定，這一規(guī)律被稱(chēng)為“韋伯定律”。

1860年，心理學(xué)家費(fèi)希納（Fechner）提出，最小可覺(jué)差可以用一定數(shù)值的心理強(qiáng)度而不是物理強(qiáng)度來(lái)描述，并且認(rèn)為，心理強(qiáng)度是物理強(qiáng)度的對(duì)數(shù)，這稱(chēng)為“費(fèi)希納定律”。這一定律后來(lái)被廣泛接受，從此，心理強(qiáng)度指標(biāo)逐漸走上歷史舞臺(tái)。例如，噪音的心理強(qiáng)度現(xiàn)在用“貝爾”或“分貝”（1貝爾=10分貝）來(lái)衡量，“貝爾”是一個(gè)心理強(qiáng)度指標(biāo)而非物理強(qiáng)度指標(biāo)，其計(jì)數(shù)單位就是以物理振幅的對(duì)數(shù)值來(lái)定義的，即“噪音的心理強(qiáng)度=log噪音的物理振幅”，噪音每增加1貝爾，表示物理振幅增大了10倍。費(fèi)希納定律所描述的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖形見(jiàn)圖1。

對(duì)數(shù)函數(shù)顯然遵循邊際遞減原則，也叫做邊際報(bào)酬遞減定律。經(jīng)濟(jì)學(xué)家們提出，這個(gè)定律不僅適用于描述心理強(qiáng)度與物理強(qiáng)度之間的關(guān)系，也適用于描述金錢(qián)與效用之間的關(guān)系。事實(shí)上，天才伯努利早在1738年就提出，金錢(qián)與效用之間的關(guān)系服從邊際報(bào)酬遞減定律（細(xì)節(jié)上與費(fèi)希納定律有所不同），比心理學(xué)界的費(fèi)希納定律早了120多年。1979年，卡尼曼和特沃斯基將心理物理學(xué)中的邊際報(bào)酬遞減定律運(yùn)用到了前景理論中，認(rèn)為，無(wú)論在參照點(diǎn)的右側(cè)還是左側(cè)，或者無(wú)論是收益變化還是損失變化，其引起的效用變化都服從邊際遞減定律。

3.小結(jié)：損失情景下邊際負(fù)效用遞減

基于以上兩點(diǎn)原因，尤其是基于心理物理學(xué)的研究成果，伯努利效用函數(shù)中財(cái)富減少帶來(lái)的邊際負(fù)效用遞增的結(jié)論是錯(cuò)誤的，財(cái)富減少帶來(lái)的邊際負(fù)效用也是遞減的。而邊際負(fù)效用遞減的函數(shù)，正好可以用來(lái)解釋人們?cè)诿媾R損失風(fēng)險(xiǎn)時(shí)所呈現(xiàn)的風(fēng)險(xiǎn)追求行為。

三、損失情景的效用函數(shù)與保險(xiǎn)決策

?圖1　費(fèi)希納定律：心理強(qiáng)度與物理強(qiáng)度的對(duì)數(shù)函數(shù)關(guān)系

?圖2　損失情景的效用函數(shù)

1.損失情景的效用函數(shù)：邊際負(fù)效用遞減

如上所述，效用函數(shù)應(yīng)該考慮參照點(diǎn)，財(cái)富減少帶來(lái)的邊際負(fù)效用遞減。因此，損失情境下的效用函數(shù)如圖2所示。損失情境下的效用函數(shù)呈現(xiàn)三個(gè)特點(diǎn)：第一，自變量“損失額”為基于參照點(diǎn)的負(fù)向變化，是負(fù)值；第二，因變量“效用”是負(fù)效用；第三，效用函數(shù)為凸函數(shù)，顯示出邊際負(fù)效用遞減，即隨著損失增加，個(gè)體對(duì)損失的敏感度降低。

2.保險(xiǎn)決策：個(gè)體不愿投保

在損失帶來(lái)負(fù)效用，損失部分的效用函數(shù)為凸函數(shù)的情況下，相較于伯努利效用函數(shù)（凹函數(shù)），在其他條件不變的情況下，人們的保險(xiǎn)決策發(fā)生了重大變化，如圖3所示。

在伯努利效用函數(shù)下，在保險(xiǎn)公司僅收取純保費(fèi)或附加保費(fèi)不高的情況下，人們?cè)敢馔侗?；但在如上凸效用函?shù)下，即便保險(xiǎn)公司僅收取純保費(fèi)，人們也不愿意投保。如圖3所示，假定個(gè)體面臨以的概率p損失L的風(fēng)險(xiǎn)，參照點(diǎn)為現(xiàn)狀，保險(xiǎn)公司僅收取純保費(fèi)pL。則，

U不投保=pU（-L）＞U投保=U（-pL）

人們的選擇將是不投保。如果保險(xiǎn)公司還要收取附加保費(fèi)，不投保的效用U不投保不變，但投保的效用U投保會(huì)沿著效用函數(shù)曲線繼續(xù)向左下方移動(dòng)，人們更加不會(huì)選擇投保。個(gè)體的保險(xiǎn)決策如表2所示。

四、結(jié)論

第一，伯努利效用函數(shù)存在兩大缺陷：一是未考慮參照點(diǎn)的影響；二是在損失情境下邊際負(fù)效用是遞減而非遞增。上述兩大缺陷導(dǎo)致伯努利效用函數(shù)無(wú)法解釋人們的喜怒哀樂(lè)，與現(xiàn)實(shí)嚴(yán)重脫節(jié)。

第二，在與保險(xiǎn)決策相關(guān)的損失場(chǎng)景下，修正后的效用函數(shù)如圖2所示，這也就是卡尼曼和特沃斯基發(fā)明的前景理論中價(jià)值函數(shù)的左半部分，呈邊際負(fù)效用遞減。

第三，在其他條件不變的情況下，邊際負(fù)效用遞減的效用函數(shù)將導(dǎo)致人們普遍不愿投保，無(wú)論保險(xiǎn)公司是否收取附加保費(fèi)。

?圖3　凸效用函數(shù)下的保險(xiǎn)決策

?表2　不同效用函數(shù)條件下的投保決策