相對差異分析法：數(shù)據(jù)尋“異”，試題探“因”——以一次九年級數(shù)學期中測試分析為例

☉江蘇泰州市教育局教研室　錢德春

相對差異分析法：數(shù)據(jù)尋“異”，試題探“因”——以一次九年級數(shù)學期中測試分析為例

☉江蘇泰州市教育局教研室錢德春

測試分析旨在通過對測試數(shù)據(jù)及試卷的分析，研究教學問題及產(chǎn)生原因，為優(yōu)化教學管理、改進教師教學、調(diào)控學習行為提供依據(jù)和建議.測試分析的方法較多，相對差異分析法是一種行之有效的方法.筆者運用相對差異分析法，通過數(shù)據(jù)尋“異”、試題探“因”，對A校九年級上學期數(shù)學期中測試進行分析，得到學校管理者和教師的好評.他們認為這種分析方法具有個性化和精準性的特點，令人口服心服.本文以這次的測試分析為例，談談筆者對相對差異分析法的思考，以期同行指正.

一、相對差異分析案例

1.基本概況

分析樣本是A校2015年秋學期九年級數(shù)學期中測試數(shù)據(jù)和試題.由校內(nèi)非本年級教師命題，采用網(wǎng)上閱卷形式.這是一所全日制公辦初級中學，八年級升九年級時重新平行分班，共19個班計947人，每班人數(shù)從48到51不等.所用教材為蘇科版義務教育數(shù)學教科書，本學期已學習一元二次方程、相似三角形、圓、統(tǒng)計.

表1：考試各部分內(nèi)容得分統(tǒng)計表

表2：考試基本數(shù)據(jù)統(tǒng)計表

從部分測試數(shù)據(jù)（如表1、表2）看出：試卷在注重對“四基”考查的同時，對學生數(shù)學思維與學習能力考查著墨較多.

圖1是全年級90分及以上人數(shù)的分數(shù)段折線統(tǒng)計圖（90分以下合并）.由圖1看出：全年級學生分值基本呈正態(tài)分布，大致反映了九年級上學期學生數(shù)學學習的特點與水平.

圖1

2.基于測試數(shù)據(jù)的相對差異分析

筆者選取了6個維度對測試數(shù)據(jù)進行了分析.

（1）試卷各部分知識點占比分析.

圖2是試卷考查內(nèi)容占比制成的餅形統(tǒng)計圖，反映兩方面信息：①一元二次方程、圓、相似三角形等核心知識的分值占試卷總分值的71%，其中與圓的切線有關(guān)的知識達19分之多，說明命題者重視對核心內(nèi)容的考查；②七年級、八年級知識占比達20.5%，這說明舊知考查所占比例偏大.

圖2

（2）同類學校不同試卷知識占比分析

表3為A、B兩校2015年秋學期期中試卷知識占比統(tǒng)計表.兩校學生狀況及規(guī)模類似，教學內(nèi)容、測試類型、測試時間一致，試卷總分值相同，所用試卷來源不同.表3數(shù)據(jù)表明：在新知考查方面，A、B兩校在“一元二次方程”“統(tǒng)計”這兩部分的分值相當，而“相似三角形”和“圓”兩部分的分值占比差距較大.在“舊知”考查方面，A校占總分的20.5%，接近B校的兩倍，說明A校試卷對“舊知”的考查量偏大.

表3：2015年秋學期A、B兩校期中試卷知識占比統(tǒng)計表

筆者認為：升學應試是數(shù)學教學無法回避的現(xiàn)實.在試題中通過以新知帶舊知方式進行測試，增強學生的適應與綜合能力，是一種有效的應試策略.但A校樣本試卷對舊知的考查分量偏重，會對新知的教與學形成干擾.

（3）同試卷同班級各部分內(nèi)容得分差異分析.

圖3為A校試卷各題得分率、優(yōu)秀率和及格率的折線統(tǒng)計圖.從統(tǒng)計圖發(fā)現(xiàn)：試卷第24題、第26題得分明顯偏低，這引起了筆者的關(guān)注.

圖3

（4）均分最高班級與最低班級比較.

筆者將兩個班級各題得分按“兩個班的題均分之差÷該題滿分×100%”的公式計算，計算結(jié)果稱為班級題均分相對差異率.筆者選擇了數(shù)學均分最高的甲班和均分最低的乙班進行統(tǒng)計，并將兩個班級的題均分相對差異率不大于5%和不低于10%的統(tǒng)計結(jié)果分別列表如下（見表4、表5），兩個班級的總均分相對差異率為：（117.3-106.5）÷150×100%=7.2%.

表4：甲、乙兩班題均分相對差異率不大于5%的題分析表

表5：甲、乙兩班題均分差異率不低于10%的題分析表

從表4、表5看出：班級題均分差異率不大于5%的題主要集中在九年級基礎(chǔ)知識和八年級舊知，原因有二：一是八年級升九年級經(jīng)過重新分班，班級間學生對舊知的掌握相對均衡；二是大多數(shù)學生對舊知的遺忘率處于較高水平.班級題均分差異率不低于10%的題主要集中在九年級新授內(nèi)容，具體為填空題后一部分（13-16題）和主觀題中的“方程應用問題”、“相似三角形”和“圓”這三部分，其中第25題均分差異率達14.20%，遠超過兩個班的總均分相對差異率7.2%，這表明學生對九年級核心知識和方法掌握的差異性較大，這一方面說明了九年級數(shù)學教師個體差異較大，另一方面反映了集體備課沒有落到實處.

（5）不同班級相近分比較.

筆者選取了總均分分別為111.6、111.5、111.2的甲、乙、丙三個班進行各題得分差異比較（“乙-甲”表示乙班與甲班各題均分之差），并將分析結(jié)果列成表格（見表6）.從表6看出：乙班與甲班、乙班與丙班的均分差都不小于0的題分別有第1-6題、第7-16題、第19、22、24題；而均分差都小于0的題有第17、20、25題.結(jié)合測試內(nèi)容發(fā)現(xiàn)：乙班九年級基本概念及幾何部分教學相對扎實，而“一元二次方程的解法”及“用方程解決現(xiàn)實問題”、“新定義”部分相對較弱.在滿分30分的填空題中，甲班比乙班低了1.3分，足以說明甲班特別需要強化基本概念教學.

表6：總均分相近班級各題得分差異性分析表

（6）同一試卷同分值的不同內(nèi)容之間的比較.

表7是滿分相同試題全校均分與方差統(tǒng)計表，從表7中發(fā)現(xiàn)一個現(xiàn)象：第18題、第19題滿分都是8分，均分分別為7.1和7.3，比較接近.但第18題的得分方差接近第19題的2倍；第20題到第23題滿分都為10分，但第20題平均分最低，方差18.99為全卷最高.

表7：同分題均分與方差統(tǒng)計表

我們知道，方差是衡量數(shù)據(jù)離散程度的量，分值方差大說明學生分化現(xiàn)象嚴重.而從位置和難度上看，試卷的第18題、第20題都是處于居中位置的常規(guī)題，命題者主觀上并沒有將此題作為區(qū)分題.為什么會出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象呢？

3.基于相對差異分析結(jié)果的試題分析

筆者從相對差異分析結(jié)果出發(fā)，選擇相對差異性較大的幾道試題，分析試題及產(chǎn)生差異的原因.

（1）關(guān)于代數(shù)化簡計算.

（2）關(guān)于方程應用問題.

案例2：（第20題）某批發(fā)商店經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克成本15元，售價30元，每天可售出500kg.現(xiàn)該商店決定降價銷售，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，若每千克降價1元，日銷量將增加20kg.現(xiàn)該商店要保證每天盈利6000元，那么每千克應定價多少元？

試題源于蘇科版義務教育教科書數(shù)學九年級上冊的“1.4用一元二次方程解決問題”.

第25頁例題：某商店銷售一批襯衫，平均可售出20件，每件盈利40元.為了擴大銷售，增加盈利，商場采取了降價措施.假設在一定范圍內(nèi)，襯衫的單價每降1元，商場平均每天可多售出2件.如果降價后商場銷售這批襯衫每天盈利1250元，那么襯衫的單價降了多少元？

第27頁練習：某商店經(jīng)銷的某種商品，每件成本40元，經(jīng)市場調(diào)研，售價為50元時，可銷售200件；售價每增加1元，銷售量將減少10件.如果這種商品全部銷售完，那么該商店可盈利2000元.問：該商店銷售了這種商品多少件？每件售價多少元？

那么，本題與教材例、習題之間有何相關(guān)性呢？將試卷第20題及教材例、習題相關(guān)信息列成表格（見表8）發(fā)現(xiàn)：試題與教材例、習題的條件、所求結(jié)果本質(zhì)一致，相等關(guān)系都為：變化后的銷售數(shù)量×變化后的單位盈利=總盈利，基本要素與分析策略也基本相同.主要區(qū)別在于：一是單位盈利，例題是直接告之，而練習和試題需要用售價減去成本；二是未知設問，教材例題是直接設未知數(shù)，而教材練習和試卷第20題則間接設未知數(shù)比較方便（教師參考書是直接設未知數(shù)，但比較復雜）；三是方程及解，都是一元二次方程，需要對解進行取舍.

表8：試卷第20題及教材例、習題相關(guān)信息表

如何用方程解決實際問題，也是學習難點之一，考查了學生的閱讀與理解能力、信息提取與分析能力、運算與反思能力.測試數(shù)據(jù)與試題分析結(jié)果表明：學生出現(xiàn)明顯分化現(xiàn)象，已掌握分析方法和解題策略、能熟練地解方程并對結(jié)果正確取舍的同學正確率較高，而相當多學生遇到稍有變化的問題就望題興嘆.雖然教材從小學開始就作為學習的重點，但如果靠大量機械訓練與學生模仿，失分多與兩極分化就成為必然.

（3）關(guān)于試題綜合程度.

案例3：（第24題）已知?ABCD的兩邊AB和AD為方程x2+（2k-1）x+k2+1=0的兩個根.

圖4

（1）如圖4①，以點A為圓心、AB長為半徑的圓，經(jīng)過點C、D，試求k的值及的長度；

（2）如圖4②，已知?ABCD（AB＜AD）內(nèi)接于⊙O，過點D作⊙O的切線交AC的延長線于點E，若k=-1，求CE的長.

該題為一元二次方程、四邊形、相似三角形和圓的綜合題，考查一元二次方程根的判別式、圓的切線性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定，由于問題信息量大、題型比較綜合，加之還有八年級特殊四邊形的判定與性質(zhì)在新知識背景下的靈活運用，造成學生失分較多.這說明：新授階段由于內(nèi)容呈現(xiàn)碎片化、學生消化反思時間少等原因，知識點有待整合、疑難點有待突破、思維有待提升.因此九年級第一學期階段性測試的試卷不宜過分綜合，否則會影響試卷效度，難以達到考查目的.

（4）關(guān)于舊知識考查.

圖5

該題作為試卷壓軸題，主要考點是八年級點的坐標、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、矩形性質(zhì)，九年級相似三角形等知識的綜合運用.由于舊知處于遺忘的“自由落體”狀態(tài)，得分偏低在預料之中.該題對數(shù)學思想的考查相對集中，考查分類思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想等，要求偏高，不宜作為新授階段測試卷的壓軸題.

（1）∠BEO=_____°.

（2）求實數(shù)k的值.

（3）將矩形ABCD進行適當平移，設平移后矩形的頂點B的坐標為（m，n）.

①若點B、D均在反比例函數(shù)y=

4.基于分析結(jié)果的命題與教學建議

（1）關(guān)于對命題的建議.

作業(yè)、測試采用“滾雪球”的方法，將適當比例的舊知通過滾動式練習、考查，提醒學生溫故知新，不失為有效應試之策.然而不同類型、不同階段試卷的指向應有所區(qū)別，命題者要研究課程標準、教材，了解考試目的要求與學情，列出雙向細目表.作為九年級第一學期新授階段測試，應側(cè)重新知與“四基”考查，舊知分量一般控制在10%左右，也不宜在區(qū)分位置題上考查.同時試題應該根據(jù)新授階段學生的特點低起點小坡度，不宜過分綜合.

（2）關(guān)于對教學的建議.

就教學而言，一是強化概念的過程性教學.數(shù)學概念是一切數(shù)學知識的邏輯起點，教學中必須延長概念生成的過程，引導學生在概念的形成與揭示、抽象與模仿、歸納與表征、運用與辨析中理解、內(nèi)化概念的外延與內(nèi)涵.二是代數(shù)運算教學要有三部曲：算理、習慣、訓練.第一步是掌握算理，讓學生明白每一步運算的理由，所運用的法則、公式、運算律.第二步是培養(yǎng)習慣，強化整體思考與按步驟運算.如分式化簡時需要括號內(nèi)通分，將除法運算轉(zhuǎn)為乘法運算，將分子、分母中的公因式約簡……這個過程要依次進行，不能跨步運算.第三步是綜合與深化，通過一定量的練習達到熟練運算的程度.三是方程應用教學要抓重點.如何列方程是此類問題的重點，教學中側(cè)重引導學生閱讀理解題意，提取相關(guān)信息；找相等關(guān)系；用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相等關(guān)系；正確解方程并對結(jié)果進行取舍.四是發(fā)揮新舊知識相互作用的“正能量”.既要注意知識的同化，引導學生把新知納入已有知識結(jié)構(gòu)中去，也要強化知識的順應，在新知學習中不斷深化、完善原有知識結(jié)構(gòu).這樣，學生的數(shù)學知識才能形成有機整體，不至于造成知識遺忘率高、答題時顧此失彼的現(xiàn)象.

另外，加強集體研究很有必要.教師個體之間的均衡是相對的，而差異性是絕對的.這就要在教師個體研究的基礎(chǔ)上，加強集體備課，同組教師相互切磋，共同研究，研究教學重點、難點，本校本班學生的疑點、易錯點、思維障礙點，并思考應對策略，形成共識.通過相互聽課、研課、評課，及時發(fā)現(xiàn)并解決教學和學生學習中存在的問題，盡可能縮小班級間的差距.

二、對“相對差異分析法”的思考

1.什么是相對差異分析法

所謂差異分析法，是通過比較測試數(shù)據(jù)差異所在，結(jié)合試題分析，查找教學問題原因，給學校、教師、學生提供建議.差異分析法可分為兩類：一類是絕對差異分析法，即在命題時根據(jù)測試目標、評價意圖和學生狀況預先設計評價標準，測試后將實測數(shù)據(jù)與預設標準比較，從而對教和學給出評價和建議；另一類是相對差異分析法，即通過對某些指標（或條件）相同情況下的若干關(guān)聯(lián)對象數(shù)據(jù)的差異性分析，結(jié)合試題分析產(chǎn)生這種差異的原因.本文分析案例主要采用相對差異分析法.

2.相對差異分析法的意義

洛侖茲效應告訴我們：初始條件十分微小的變化經(jīng)過不斷放大，對未來狀態(tài)可能會造成巨大的影響.測試數(shù)據(jù)的微小差異分析，有時能夠反映教與學的突出問題.相對差異分析法正是從微觀層面出發(fā)，從不同維度對測試數(shù)據(jù)的差異性進行比較，并結(jié)合試題分析，找出出現(xiàn)差異的原因，以精準的分析與建議，對命題與教學產(chǎn)生積極影響.

3.相對差異分析法的特點

相對差異分析法重點在相對比較，具有主體多樣與目標多元、角度多重與范圍廣泛、精準科學與操作簡易等特點.

（1）主體多樣，目標多元.

從分析主體來看，可以是主管部門的分析、命題者自我分析，也可以是被測試者（學校、教師、學生）的自我分析.從分析目標上看，相對差異分析法可以為學校了解教學情況、完善教學管理提供科學依據(jù)，為命題者掌握試題效能、優(yōu)化命題思路提供全新視角，為教師反思教學行為、調(diào)整教學狀態(tài)提供合理建議，還可以為學生完善自我認知、強化學習調(diào)控產(chǎn)生直接影響.

（2）數(shù)據(jù)多樣，角度多維.

相對差異分析法具有采集數(shù)據(jù)多樣、分析角度多維的特點.從采集數(shù)據(jù)來看，可以是區(qū)域、學校測試數(shù)據(jù)與試題，也可以是班級、教師、學生個體測試數(shù)據(jù)；可以是具有某方面相同特征或內(nèi)容、類型、功能的其他（如不同地區(qū)、不同學校、不同班級、不同時間等）測試數(shù)據(jù).從分析視角來看，可以多維度分析.如本文案例就選擇了6個維度的數(shù)據(jù)進行了分析.

（3）精準科學，操作簡易.

相對差異分析法是基于數(shù)據(jù)差異、結(jié)合試題的比較分析，可以細化到具體班級、試題，具有針對性強的特點.從操作方法上說，這種從數(shù)據(jù)到試題、從定量到定性的分析方法，無需太多的技術(shù)支撐，簡單易行.

4.相對差異分析法的路徑

相對差異分析法的基本路徑為：資料準備→差異分析→提出建議.

（1）資料準備.

在進行分析前需要作如下準備：①匯總閱卷系統(tǒng)生成的常規(guī)數(shù)據(jù)；②了解測試目的與測試內(nèi)容、測試范圍與測試對象，學生學習內(nèi)容與學習現(xiàn)狀；③確定相對差異分析維度；④收集測試試卷、參考解答、雙向細目表；⑤收集其他相關(guān)數(shù)據(jù).

（2）差異分析.

分析過程可分為尋找差異、試題分析、教學調(diào)研三步驟.①尋找差異——根據(jù)收集的相關(guān)數(shù)據(jù)和預先確定的分析目標、分析對象和分析維度，選擇某方面數(shù)據(jù)特征相同或接近的對象進行統(tǒng)計分析，找出數(shù)據(jù)差異；②試題分析——根據(jù)數(shù)據(jù)分析，篩選出差異性較大的試題，從試題位置、得分、所考查知識點、與課程標準或教材的關(guān)聯(lián)、解題策略、數(shù)學思想方法、能力要求、課堂教學等方面找出導致差異的原因；③教學調(diào)研——可根據(jù)分析結(jié)果帶著問題進行師生訪談、課堂觀察，真實、全面了解情況，從而提出客觀、科學的建議.

（3）提出建議.

根據(jù)不同的分析對象、目標和要求，提出基于分析結(jié)果的建議，如命題建議、學校教學管理建議、教師教學建議、學生學習建議等.