立足解法對(duì)比，培養(yǎng)求簡(jiǎn)意識(shí)——以一道填空題教學(xué)為例

☉江蘇省連云港市新海實(shí)驗(yàn)中學(xué)鳳凰校區(qū)　周緒光

立足解法對(duì)比，培養(yǎng)求簡(jiǎn)意識(shí)——以一道填空題教學(xué)為例

☉江蘇省連云港市新海實(shí)驗(yàn)中學(xué)鳳凰校區(qū)周緒光

培養(yǎng)學(xué)生的“求簡(jiǎn)”意識(shí)，是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)重要任務(wù).便捷的解題方法和簡(jiǎn)約的解題過(guò)程，能為學(xué)生的問題解決節(jié)約大量的時(shí)間和精力，對(duì)他們?nèi)〉幂^好的評(píng)價(jià)結(jié)果非常有利.因此，我們應(yīng)以每一次例題或練習(xí)的講評(píng)為契機(jī)，在不同解法的對(duì)比分析中培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)選解法的意識(shí)，促使其形成找尋解題捷徑的能力和習(xí)慣.在實(shí)際教學(xué)中，老師們一般比較重視解答題的解法教學(xué)，對(duì)填空或選擇這兩類題型的解法分析不夠，往往抱著“只要能得到結(jié)果，過(guò)程無(wú)所謂”的態(tài)度進(jìn)行講評(píng)交流，這對(duì)學(xué)生優(yōu)解意識(shí)和優(yōu)解能力的形成是十分不利的.現(xiàn)結(jié)合一道填空題的教學(xué)，談?wù)劰P者的做法與思考，說(shuō)得不對(duì)之處，敬請(qǐng)批評(píng)指正.

一、一道填空題的教學(xué)歷程及分析

圖1

（一）題目及分析

題目如圖1，在正方形ABCD中，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形AEF的頂點(diǎn)E、F分別在BC和CD上，則正方形ABCD的面積為_____.

分析：本題改編自2013年山東省德州市中考卷第17題，原題為填空“壓軸題”，其難度較大.基于“題目”所給條件，原題共給出了結(jié)論“①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=，要求學(xué)生將正確的序號(hào)填在題中的空格處.在例題設(shè)計(jì)時(shí)，為了契合“平行四邊形”單元復(fù)習(xí)的課時(shí)目標(biāo)，筆者對(duì)試題進(jìn)行了改編，刪去了原來(lái)的四個(gè)結(jié)論，直接讓學(xué)生求“正方形ABCD的面積”，以此引導(dǎo)學(xué)生回顧正方形及其相關(guān)知識(shí).想要順利解答本題，學(xué)生必須能從自己的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)中提取出正方形、等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，并靈活應(yīng)用.

（二）教學(xué)過(guò)程及分析

1.教學(xué)過(guò)程

（1）自主解答.

學(xué)生活動(dòng)：自主解答，并思考解題中用到的知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法和解題的注意點(diǎn).

（2）解法交流.

學(xué)生根據(jù)要求先自主解答，然后在小組中交流.6分鐘后，教師組織學(xué)生在全班交流.

學(xué)生1將自己的求解思路（下稱方法1）進(jìn)行了展示：利用正方形和等邊三角形的性質(zhì)得到AB=AD，AE=AF，所以Rt△ABE≌Rt△ADF.根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BE=DF，所以CE=CF.根據(jù)“等邊三角形邊長(zhǎng)為2”可得AE=AF=EF=2，易得.設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，應(yīng)用勾股定理可得AD2+DF2=AF2，即

此時(shí)，學(xué)生2說(shuō)：“這個(gè)方法太繁了”，教師示意學(xué)生2讓學(xué)生1先說(shuō)完，然后再交流.

接下來(lái)，教師請(qǐng)學(xué)生2將自己的思路（下稱方法2）也進(jìn)行了交流：在得出“BE=DF，CE=CF”后，連接AC交EF于點(diǎn)O.根據(jù)“到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上”和“兩點(diǎn)確定一條直線”可證得AC垂直平分EF.根據(jù)AE=AF=EF=2，應(yīng)用“三線合一”和“勾股定理”可以求得，所以，對(duì)角線AC=利用正方形面積的“對(duì)角線”求法，可以求得

（3）對(duì)比分析.

教師請(qǐng)兩名同學(xué)分別將自己求解的“后半段”（即解法中不同的地方）板書在黑板上，并請(qǐng)下面的同學(xué)進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)兩者的區(qū)別和聯(lián)系，選擇自己認(rèn)為簡(jiǎn)潔的方法.學(xué)生將自己對(duì)兩種不同解法的看法、自己選擇的解法及選擇的緣由，都在小組中進(jìn)行了交流.3分鐘后，教師組織學(xué)生進(jìn)行了全班交流，在肯定了兩位同學(xué)的精彩展示的同時(shí)，也對(duì)兩種方法的優(yōu)勢(shì)進(jìn)行了剖析：方法1，緊扣直角三角形這一條件，用勾股定理構(gòu)造方程，是解答此類問題較為常見的途徑；方法2，充分利用菱形（正方形）的性質(zhì)，將面積轉(zhuǎn)化為“對(duì)角線乘積的一半”，對(duì)本題而言是一種很實(shí)用的技巧，簡(jiǎn)化了思路分析和求解的過(guò)程，是個(gè)不錯(cuò)的方法.兩者比對(duì)，對(duì)本題的解答而言，方法2是優(yōu)于方法1的.

2.過(guò)程簡(jiǎn)析

例題是一道涉及多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合題，其難度較大，將其用以鞏固正方形的性質(zhì)是十分合適的.教師沿著預(yù)設(shè)的三個(gè)環(huán)節(jié)對(duì)例題進(jìn)行了巧妙的解讀，取得了較好的教學(xué)效果.

首先，安排了學(xué)生的自主解答，學(xué)生對(duì)例題進(jìn)行自主分析、解答后，明確了題目的條件和結(jié)論，初步形成問題解決的思路和過(guò)程，對(duì)教師提出的思考“解題中用到的知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法和解題的注意點(diǎn)”也有著自己的認(rèn)識(shí).這樣的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生的解答與思考同步，對(duì)問題的理解是深刻的、個(gè)性化的.

第二個(gè)環(huán)節(jié)是解法交流，主要是呈現(xiàn)不同的解題方法，積累交流資料.教師引導(dǎo)學(xué)生展示的是本題較為常用的兩種解法，最先呈現(xiàn)的是方法1，此法是學(xué)生的“自然解法”，很多學(xué)生能夠想到，因而在學(xué)生中大有“市場(chǎng)”.然而，學(xué)生2十分直白地告知大家：“方法1太繁了”！在學(xué)生1展示完第一種解法后，由其口述了更為簡(jiǎn)潔的方法2.學(xué)生1、2的口頭陳述，為下一步交流積累寶貴的資料.

最后，是教師引導(dǎo)下的對(duì)比分析，既包括學(xué)生的自我對(duì)比分析，也包括教師的總結(jié)分析.由于口述的解法并不詳實(shí)，且不利于比對(duì)，教師要求學(xué)生將這兩種解法的“差別”進(jìn)行了板書，并讓學(xué)生進(jìn)行比較，找出兩者之間的區(qū)別和聯(lián)系，進(jìn)而找出“自己認(rèn)為最簡(jiǎn)潔的方法”.最后是教師結(jié)合學(xué)生的交流發(fā)言進(jìn)行總結(jié)，兩種解法的點(diǎn)評(píng)讓學(xué)生認(rèn)清了解法的簡(jiǎn)與繁、優(yōu)與劣.

細(xì)細(xì)分析教師的教學(xué)歷程，我們不難發(fā)現(xiàn)，教師將教學(xué)的主要精力集中在解法的交流與對(duì)比分析上，對(duì)兩種解法的優(yōu)與劣進(jìn)行了較為詳實(shí)的剖析，這樣的教學(xué)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的多解意識(shí)和求簡(jiǎn)意識(shí)，對(duì)學(xué)生分析問題和解決問題能力的提升是有益的.

二、三點(diǎn)感悟

1.重視過(guò)程剖析，培養(yǎng)求簡(jiǎn)意識(shí)

數(shù)學(xué)問題中，不同的題型有著不同的特點(diǎn).例題教學(xué)，在關(guān)注題型分析的同時(shí)，更應(yīng)關(guān)注學(xué)生在問題解決中的結(jié)果獲得過(guò)程的分析.口述、板書等方式，都是展示學(xué)生分析問題和解決問題能力的較好的途徑.在這些方式下的交流，重在解題思路獲得過(guò)程和解題方法的直觀呈現(xiàn)，喚醒了學(xué)生分析問題的過(guò)程，是對(duì)不同學(xué)生解題分析差異性的最直觀的體現(xiàn)，有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的解題過(guò)程與他人之間的差別，激活學(xué)生內(nèi)在的求簡(jiǎn)意識(shí)，通過(guò)接下來(lái)的對(duì)比教學(xué)將會(huì)讓這一意識(shí)得到進(jìn)一步強(qiáng)化，使之扎根在學(xué)生思考解題思路的過(guò)程之中，成為其問題解決的習(xí)慣性思維.我們可以結(jié)合上面的案例來(lái)看，教師給了兩位學(xué)生展示自己解題過(guò)程的機(jī)會(huì)，通過(guò)口述過(guò)程和板書展示，每一名學(xué)生都參與了他們的問題解決過(guò)程，同時(shí)對(duì)自己的求解過(guò)程同樣也有著自己的反思，其求簡(jiǎn)意識(shí)也就自然得到了進(jìn)一步強(qiáng)化.

2.強(qiáng)化解法對(duì)比，彰顯簡(jiǎn)法優(yōu)勢(shì)

有對(duì)比，才有鑒別.解法比對(duì)，是學(xué)生“求簡(jiǎn)意識(shí)”養(yǎng)成的必經(jīng)之路.當(dāng)我們將不同的解法以口述展示或板書直觀呈現(xiàn)時(shí)，學(xué)生便可以從中看到解法的差別之處，發(fā)現(xiàn)簡(jiǎn)潔解法的優(yōu)勢(shì)所在，使其產(chǎn)生強(qiáng)烈的羨慕、渴望的積極心理狀態(tài)，從知識(shí)、情感和態(tài)度上為求簡(jiǎn)意識(shí)的形成積累“素材”.上面的方法1、2，差異是非常明顯的，教師非常敏銳地捕捉到這兩者之間的差異，不僅讓兩個(gè)學(xué)生分別說(shuō)，還讓他們將兩種解法中有差異的部分直接寫在了黑板上，如此直觀的展示，讓解法及其形成過(guò)程完整地“顯現(xiàn)”，給學(xué)生的對(duì)比分析提供了極大的便利.接下來(lái)，個(gè)人的自我反思、全班交流及全部交流都將圍繞著黑板上（學(xué)生陳述的）兩種方法展開，如此自然的教學(xué)生成，凸顯出了解法的優(yōu)勢(shì)所在，“倒逼”著學(xué)生去體會(huì)與應(yīng)用最簡(jiǎn)的分析問題的方法和解決問題的方法，從而逐步養(yǎng)成求簡(jiǎn)意識(shí)和應(yīng)用意識(shí).

3.教學(xué)因時(shí)而異，漸進(jìn)發(fā)展能力

求簡(jiǎn)意識(shí)的形成，與學(xué)生所具備的知識(shí)基礎(chǔ)有著很大的關(guān)系.在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，隨著數(shù)學(xué)知識(shí)的不斷積聚，學(xué)生的求簡(jiǎn)意識(shí)和求簡(jiǎn)能力也會(huì)逐步增強(qiáng).知識(shí)的系統(tǒng)化程度越高，個(gè)體的求簡(jiǎn)意識(shí)越強(qiáng)，求簡(jiǎn)能力越高.因此，我們應(yīng)將例題設(shè)置在合適的教學(xué)時(shí)點(diǎn)上，力求以解法的對(duì)比和自我的感悟，來(lái)提升個(gè)體問題解決的能力.基于這樣的理解，在同一知識(shí)的不同教學(xué)時(shí)點(diǎn)上，我們應(yīng)編排綜合程度由低到高的教學(xué)例題，精心設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，將能力培養(yǎng)逐步落實(shí)到教學(xué)進(jìn)程之中.以本文中的例題為例，這道題綜合性較強(qiáng)，如果編排在學(xué)生剛剛獲得正方形知識(shí)后的“鞏固練習(xí)”中，如此大的難度顯然是不適宜的；教者將其編排在正方形的復(fù)習(xí)課上，關(guān)于正方形的知識(shí)已經(jīng)在學(xué)生的認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)中扎下了根，與很多前面學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生“鏈接”在了一起，此時(shí)將題目進(jìn)行教學(xué)應(yīng)用顯然是再適宜不過(guò)的.加之，教師為例題精心預(yù)設(shè)了與學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律契合的教學(xué)流程，學(xué)生成為了互動(dòng)交流的主體，他們?cè)诮處熕罱ǖ钠脚_(tái)上將個(gè)人的解法及對(duì)不同解法的理解盡情闡釋，效果是顯著的.

三、寫在最后

例題教學(xué)的指向是多維度的，其核心是指向“四基”的，如鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，訓(xùn)練基本技能等.求簡(jiǎn)意識(shí)，是學(xué)生基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要組成部分.較強(qiáng)的求簡(jiǎn)意識(shí)和求簡(jiǎn)能力，將能幫助學(xué)生在今后的問題解決中尋找捷徑，“走近路”.培養(yǎng)學(xué)生的求簡(jiǎn)意識(shí)與求簡(jiǎn)能力的過(guò)程，也是提升學(xué)生的“四能”和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的過(guò)程.因此，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)在突出數(shù)學(xué)“四基”核心教學(xué)基礎(chǔ)之上，將求簡(jiǎn)意識(shí)與能力的培養(yǎng)穿插其中，以有效的引導(dǎo)和比對(duì)讓學(xué)生深刻領(lǐng)會(huì)其價(jià)值，進(jìn)而成為問題解決過(guò)程中的一種自覺意識(shí).

以上所述，僅一家之言，不足之處，敬請(qǐng)各位同行專家批評(píng)指正.