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    微分幾何在平面曲線測(cè)設(shè)中的應(yīng)用

    2016-09-08 02:11:41師軍良孫清娟
    測(cè)繪通報(bào) 2016年8期
    關(guān)鍵詞:平面坐標(biāo)測(cè)設(shè)微分

    師軍良,孫清娟

    (黃河水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院,河南 開(kāi)封 475004)

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    微分幾何在平面曲線測(cè)設(shè)中的應(yīng)用

    師軍良,孫清娟

    (黃河水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院,河南 開(kāi)封 475004)

    提出了利用微分幾何原理計(jì)算曲線測(cè)設(shè)參數(shù),建立了適用于所有平面曲線類型(直線、單圓曲線、緩和曲線)的測(cè)設(shè)參數(shù)計(jì)算模型,具有計(jì)算簡(jiǎn)便、實(shí)用性強(qiáng)等特點(diǎn),且易于在計(jì)算機(jī)上編程實(shí)現(xiàn)。通過(guò)在高速公路的實(shí)際應(yīng)用,表明該方法可適用于各種平面線形測(cè)設(shè)數(shù)據(jù)計(jì)算,能夠滿足工程施工的要求。

    微分幾何;平面曲線;測(cè)設(shè);曲率變化率

    在公路、鐵路等線型工程勘測(cè)設(shè)計(jì)過(guò)程中,由于受地形、地質(zhì)等因素影響,經(jīng)常無(wú)法按運(yùn)營(yíng)效率最高的直線設(shè)計(jì)線路,需要將線路轉(zhuǎn)變方向,即在兩條直線線路之間插入平面曲線。平面曲線有單圓曲線、綜合曲線(緩和曲線和單圓曲線)、回頭曲線等形式[1]。

    平面曲線測(cè)設(shè)是線路勘測(cè)設(shè)計(jì)階段的一項(xiàng)主要測(cè)量工作,現(xiàn)有的測(cè)設(shè)方法均是根據(jù)平面曲線的具體線型及曲線的平面幾何特性,選擇相應(yīng)獨(dú)立的計(jì)算模型和測(cè)設(shè)方法,如切線支距法、偏角法等[2]。目前最為常用的方法是通過(guò)選擇的曲線模型計(jì)算出主點(diǎn)坐標(biāo),然后用全站儀或GPSRTK直接進(jìn)行坐標(biāo)法測(cè)設(shè)出主點(diǎn)實(shí)際位置。由于線路由直線轉(zhuǎn)入曲線段后,既有緩和曲線段,又有中間的圓曲線段,這些線段都需要根據(jù)各自的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分段計(jì)算,使得計(jì)算量大且較為繁瑣,不利于在計(jì)算機(jī)上用自編程序進(jìn)行自動(dòng)解算。針對(duì)上述存在的問(wèn)題,本文基于微分幾何原理研究建立適應(yīng)于所有平面曲線類型測(cè)設(shè)的算法模型,實(shí)現(xiàn)各種平面曲線統(tǒng)一、高效、簡(jiǎn)便的測(cè)設(shè)計(jì)算,且易于在計(jì)算機(jī)上編程實(shí)現(xiàn),通過(guò)在日南(日照—南陽(yáng))高速公路某標(biāo)段線型勘測(cè)設(shè)計(jì)中的實(shí)際應(yīng)用,表明該算法模型能夠滿足施工精度要求。

    一、基于微分幾何原理的平面曲線測(cè)設(shè)計(jì)算模型

    1. 基于微分幾何原理的平面曲線測(cè)設(shè)計(jì)算方法

    公路線路的線形主要為直線、單圓曲線、緩和曲線,直線可以視為半徑為無(wú)窮大的曲線,單圓曲線可以看成是半徑為r的曲線,緩和曲線則是半徑在(r,∞)范圍漸變的曲線。如果已知曲線上一系列點(diǎn)的平面坐標(biāo),根據(jù)工程測(cè)量學(xué)知識(shí)可將該曲線測(cè)設(shè)出來(lái)[3]。如圖1所示,設(shè)過(guò)某曲線起始點(diǎn)A的切線的方位角為αA,該曲線上任意點(diǎn)i的切線與過(guò)曲線起點(diǎn)A的切線的夾角為β,點(diǎn)i的切線方位角αi;若A點(diǎn)坐標(biāo)(xA,yA)已知,依據(jù)平面幾何關(guān)系可知

    αi=αA+β

    (1)

    則計(jì)算曲線上任一點(diǎn)坐標(biāo)的積分公式為[4]

    (2)

    由式(2)可以看出,計(jì)算曲線任意點(diǎn)i的坐標(biāo)時(shí),如果已知曲線上任意點(diǎn)i的3個(gè)特征參數(shù),即曲線起點(diǎn)A的平面坐標(biāo)、切線坐標(biāo)方位角αA和過(guò)任意點(diǎn)i的切線與過(guò)曲線起點(diǎn)A的切線的夾角β,就可以求出弧長(zhǎng)li的i點(diǎn)平面坐標(biāo)(xi,yi)[5]。

    圖1 曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)

    2. 曲線上任意點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算方法

    (1) 曲線上任意點(diǎn)的切線坐標(biāo)方位角

    (3)

    (2) 曲率變化率

    若曲線上微分段dl對(duì)應(yīng)的曲率變化量為dρ,則由定義可知,曲率變更率c為

    (4)

    ρi=ρA+cl

    (5)

    將式(5)代入式(3),積分后得到

    (6)

    于是式(1)可表達(dá)為

    (7)

    (3) 曲線上任意點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算

    只要計(jì)算出曲線上任意點(diǎn)i的切線方位角αi,即可推算出該點(diǎn)的平面坐標(biāo),即將式(7)代入式(2),則點(diǎn)i的平面坐標(biāo)為

    (8)

    將式(8)用三角函數(shù)展開(kāi),得

    (9)

    (10)

    用泰勒級(jí)數(shù)將式(9)展開(kāi),并將弧長(zhǎng)保留到5次項(xiàng),再對(duì)其進(jìn)行積分后整理為[8]

    (11)

    表1 各種線形曲線的曲率變化率

    二、實(shí)際應(yīng)用

    圖2 日南高速某標(biāo)段形式

    表2中,(X,Y)是由式(11)計(jì)算得到的測(cè)設(shè)坐標(biāo),(X′,Y′)則是根據(jù)曲線獨(dú)立模型計(jì)算出來(lái)的測(cè)設(shè)坐標(biāo)。

    通過(guò)對(duì)測(cè)設(shè)數(shù)據(jù)的比較分析可以得出:在160m的弧長(zhǎng)中,點(diǎn)位誤差僅為1mm,完全能夠滿足工程施工的要求。由于式(11)可以對(duì)任何平面曲線進(jìn)行任意點(diǎn)的平面坐標(biāo)計(jì)算(統(tǒng)一了平面曲線數(shù)學(xué)計(jì)算模型),從而避免了多個(gè)獨(dú)立數(shù)學(xué)計(jì)算模型的繁瑣工序。

    三、結(jié)束語(yǔ)

    本文提出利用微分幾何原理計(jì)算曲線測(cè)設(shè)參數(shù),建立了適用于所有平面曲線類型(直線、單圓曲線、緩和曲線)的測(cè)設(shè)計(jì)算模型,通過(guò)日南高速公路某標(biāo)段的實(shí)際應(yīng)用,表明該方法能夠滿足高速公路施工精度要求。此外,本方法更適合計(jì)算機(jī)程序化處理,可有效降低線路中線坐標(biāo)的計(jì)算時(shí)間,顯著提高線路測(cè)設(shè)的工作效率。

    [1]李青岳,陳永奇.工程測(cè)量學(xué)[M].北京:測(cè)繪出版社,2000.

    [2]許永,李孟山,李少元.線路測(cè)量一體化數(shù)學(xué)模型[J].測(cè)繪通報(bào), 1996(1):39-41.

    [3]馮曉,李方,鄧學(xué)鈞.組合空間曲線任意點(diǎn)三維大地坐標(biāo)的算法研究[J].測(cè)繪學(xué)報(bào),1996,25(2):141-144.

    [4]劉仁釗,伍吉倉(cāng).平面曲線測(cè)設(shè)的理論及應(yīng)用[J]. 資源環(huán)境與工程,2009(4): 164-167.

    [5]李少元,王新洲,花向紅.道路平面測(cè)設(shè)計(jì)算的通用公式[J].測(cè)繪工程, 2006(4):17-21.

    [6]楊存吉,李全信.線路中線測(cè)設(shè)的統(tǒng)一數(shù)學(xué)模型[J].測(cè)繪通報(bào), 2001(2):14-15.

    [7]張學(xué)山,王天波.淺談平面曲線的曲率[J].上海工程技術(shù)大學(xué)教育研究, 2006(2):37-40.

    [8]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2007.

    [9]周建鄭.工程測(cè)量[M].鄭州:黃河水利出版社, 2006.

    [10]孫孝軍.公路、鐵路施工測(cè)量的實(shí)用計(jì)算器程序[J].測(cè)繪通報(bào), 2006(7):26-29.

    The Application of Infinitesimal Geometry in Plane Curve Location

    SHI Junliang,SUN Qingjuan

    2016-03-20

    礦山空間信息技術(shù)國(guó)家測(cè)繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放基金;河南理工大學(xué)2013年度博士基金(B2013-018)

    師軍良(1979—),男,碩士,講師,主要從事測(cè)繪科學(xué)與技術(shù)的研究與教學(xué)工作。E-mail:454888231@qq.com

    P258

    B

    0494-0911(2016)08-0092-03

    引文格式:師軍良,孫清娟.微分幾何在平面曲線測(cè)設(shè)中的應(yīng)用[J].測(cè)繪通報(bào),2016(8):92-94.DOI:10.13474/j.cnki.11-2246.2016.0265.

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