平面帶緩和曲線的圓曲線高效測(cè)設(shè)方法的探究

鄧紹云

（1.新疆應(yīng)用職業(yè)技術(shù)學(xué)院，新疆 奎屯 833200；2.新疆永振建筑安裝工程有限公司，新疆 烏蘇 833000；3.新疆北疆建筑規(guī)劃研究院，新疆 奎屯 833200）

0 引 言

平面帶緩和曲線的圓曲線是線路工程中最為典型的曲線單元，很多線路曲線就是由眾多不同曲率、不同長(zhǎng)度的帶緩和曲線的圓曲線單元組成，只不過各個(gè)組成單元的特性要素不同而已。故平面帶緩和曲線的圓曲線的測(cè)設(shè)是線路工程建設(shè)過程中的典型工作也是關(guān)鍵性工作，探究其高效的測(cè)設(shè)方法具有很重要的工程意義。

1 研究基礎(chǔ)與問題

平面帶緩和曲線的圓曲線包括三個(gè)部分：第一個(gè)部分為一條直線如圖1所示的左側(cè)Z點(diǎn)與A（ZH）點(diǎn)這段直線；第二段為緩和曲線段，如圖1左側(cè)中間從點(diǎn)A（ZH）到點(diǎn)C（HY）；第三段為圓曲線段，如圖1中所示點(diǎn)C（HY）到點(diǎn)D（YH），其中點(diǎn)為圓曲線中點(diǎn)，也為平面帶緩和曲線的圓曲線的中點(diǎn)，因?yàn)槠矫鎺Ь徍颓€的圓曲線一般是左右對(duì)稱，其圓心為點(diǎn)O，其半徑為R。如圖1所示，左右直線段的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)為JD點(diǎn)，它們的夾角為平面帶緩和曲線的圓曲線的偏角α，偏角α 值越小，則平面帶緩和曲線的圓曲線偏轉(zhuǎn)越平穩(wěn)，越有利于車輛的轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)。

圖1 平面帶緩和曲線的圓曲線示意圖

平面帶緩和曲線的圓曲線定義簡(jiǎn)單，其數(shù)學(xué)涵義明確，但工程測(cè)量實(shí)踐中要按照該定義和數(shù)學(xué)涵義進(jìn)行實(shí)際測(cè)設(shè)極為困難。從圖1可見，平面帶緩和曲線的圓曲線的測(cè)設(shè)，分為三個(gè)部分：①平面直線段的測(cè)設(shè)；②平面緩和曲線段的測(cè)設(shè)；③平面圓曲線段的測(cè)設(shè)。其中的難點(diǎn)和重點(diǎn)在于平面緩和曲線段的測(cè)設(shè)。

由于平面緩和曲線段的測(cè)設(shè)極為困難，從而人們實(shí)際測(cè)設(shè)過程中，往往是運(yùn)用逐漸逼近，基本相似的原理去進(jìn)行測(cè)設(shè)的。首先表現(xiàn)在對(duì)于平面緩和曲線的數(shù)學(xué)定義在某種程度上的變通和近似，從而常有用平面回旋曲線、平面三次拋物曲線或平面雙紐線等來近似接近。在進(jìn)行帶平面緩和曲線的圓曲線的工程測(cè)設(shè)過程中，常用的測(cè)設(shè)方法為偏角法。其測(cè)設(shè)的一般程序?yàn)椋合冗x擇方法，然后建立起坐標(biāo)（一般為極坐標(biāo)），接下來測(cè)設(shè)出帶平面緩和曲線的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)（即直線與緩和曲線的交點(diǎn)ZH、緩和曲線與直線的交點(diǎn)HZ、曲線中點(diǎn)即圓曲線中點(diǎn)QZ、緩和曲線與圓曲線的交點(diǎn)HY、圓曲線與緩和曲線的交點(diǎn)YH），再就是增測(cè)設(shè)一些細(xì)部點(diǎn)（根據(jù)要求所測(cè)設(shè)的里程樁點(diǎn)位）。一般工程實(shí)際中，除非地形、地貌和地物的客觀限制外，工程設(shè)計(jì)中一般都會(huì)將平面帶緩和曲線的圓曲線設(shè)計(jì)成為對(duì)稱性的。所以只要知道其一半邊的測(cè)設(shè)，然后根據(jù)對(duì)稱性就可以將整個(gè)平面帶緩和曲線的圓曲線測(cè)設(shè)完成。但教材和一些文獻(xiàn)[2,3,4]方法極為復(fù)雜，讓普通工程技術(shù)人員極難掌握，其公式極為復(fù)雜難記，從而實(shí)際測(cè)設(shè)放樣過程中經(jīng)常出錯(cuò)。故有必要探索研究高效的平面帶緩和曲線的圓曲線的測(cè)設(shè)方法。

2 高效測(cè)設(shè)方法的探究

線路工程實(shí)際中，平面帶緩和曲線的圓曲線測(cè)設(shè)放樣工作就是要將該曲線上的諸多密集的點(diǎn)位，通過測(cè)設(shè)放樣的手段，準(zhǔn)確定位打下木樁，從而使得該曲線在工程建設(shè)實(shí)施后，能達(dá)到工程設(shè)計(jì)要求。

測(cè)設(shè)放樣過程中必須根據(jù)工程地形、地貌和地物的實(shí)際情況以及施工單位的測(cè)設(shè)工具和技術(shù)水平等來決定測(cè)設(shè)方案的選定。本方法最好能適用于任何條件下的測(cè)設(shè)工作的順利開展，故有必要具備一定的預(yù)備知識(shí)。

2.1 預(yù)備知識(shí)

如圖2所示為直角坐標(biāo)系經(jīng)平移和旋轉(zhuǎn)之后示意圖，如圖1所示，坐標(biāo)系XOY經(jīng)平移到點(diǎn)O'(X0，Y0)，為新的坐標(biāo)系X'O'Y'，然后再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ 角，從而成為最終的坐標(biāo)系X"O'Y"，則在最初坐標(biāo)系XOY中的任意點(diǎn)M（Xm,Ym）在最終坐標(biāo)系X"O'Y"的坐標(biāo)為M（X"m,Y"m），根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)[1]可以算得。

圖2 坐標(biāo)平移和旋轉(zhuǎn)后示意圖

從而有：Xm=X0+X'm=X o+X"mcosθ+Y"msinθ；Ym=Y0+Y'm=Y0+Y"mcosθ-X"msinθ

由于工程設(shè)計(jì)圖紙一般都是給定的北京54坐標(biāo)體系，從而對(duì)于極坐標(biāo)和偏角坐標(biāo)等都只是在工程測(cè)設(shè)放樣中實(shí)際應(yīng)用。其平移和旋轉(zhuǎn)后坐標(biāo)的計(jì)算原理相同，找到幾何關(guān)系，進(jìn)行換算。本方法將要求測(cè)設(shè)放樣者能熟練進(jìn)行坐標(biāo)系平移和旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)運(yùn)算能力，只有這樣，才能根據(jù)測(cè)設(shè)過程中所遇到的實(shí)際情況，因地制宜選擇測(cè)設(shè)方案。

2.2 測(cè)設(shè)程序與步驟

圖3 直線段測(cè)設(shè)放樣示意圖

平面帶緩和曲線的曲線的測(cè)設(shè)程序?yàn)椋孩偈紫雀鶕?jù)實(shí)際情況選定合適的測(cè)設(shè)方案；②在工程設(shè)計(jì)圖紙上找到帶左右兩條直線的交點(diǎn)JD，在JD點(diǎn)上架設(shè)儀器，根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算或偏角法確定并測(cè)設(shè)放樣出A（ZH）、B（HZ）、圓心點(diǎn)O、曲線的中點(diǎn)QZ；③左直線段的測(cè)設(shè)放樣；④圓曲線段的測(cè)設(shè)放樣；⑤左邊緩和曲線段的測(cè)設(shè)放樣；⑥根據(jù)對(duì)稱原理，將整個(gè)曲線的右邊測(cè)設(shè)放樣定位。在測(cè)設(shè)放樣過程中，有必要通過坐標(biāo)系的平移和旋轉(zhuǎn)計(jì)算出這幾個(gè)平面帶緩和曲線的圓曲線關(guān)鍵點(diǎn)位JD、A（ZH）、B（HZ）、圓心點(diǎn)O、曲線的中點(diǎn)QZ、C（HY）、D（YH）的坐標(biāo)（設(shè)計(jì)圖紙一般給出絕對(duì)坐標(biāo)值，且我國(guó)一般是北京54坐標(biāo)值，必須明白北京54坐標(biāo)系的知識(shí)）。其中，直線段的測(cè)設(shè)放樣較容易，而圓曲線段的測(cè)設(shè)放樣難度大些，而緩和曲線段的測(cè)設(shè)放樣就顯得極為困難和關(guān)鍵。

2.3 直線段的測(cè)設(shè)

如圖3所示將平板儀或帶水平度盤的水準(zhǔn)儀或經(jīng)緯儀或全站儀架設(shè)在點(diǎn)位JD，JD點(diǎn)的坐標(biāo)一般工程設(shè)計(jì)圖紙給定，可以通過GPS定位，或由其他給定已知點(diǎn)位測(cè)設(shè)確定。通過直線定向的方法來確定直線AZ方向，并沿該方向上間隔一定的小段距離密集打點(diǎn)打下木樁確定直線上各點(diǎn)的實(shí)際地面的位置。然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)法，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度（90°-0.5α）測(cè)設(shè)放樣出直線JDO方向，并由計(jì)算而得點(diǎn)JD到圓心O點(diǎn)的距離值而測(cè)設(shè)放樣出圓心O點(diǎn)的地面位置。

2.4 圓曲線段的測(cè)設(shè)

當(dāng)工程測(cè)設(shè)單位擁有較好的測(cè)設(shè)工具如全站議、GPS系統(tǒng)，且懂得坐標(biāo)平移和旋轉(zhuǎn)換算知識(shí)時(shí)，采用直角坐標(biāo)測(cè)設(shè)放樣法還是比較合適的。人們可以根據(jù)設(shè)計(jì)圖紙，先測(cè)設(shè)出該圓曲線所在的圓心位置，然后在該處建立其適應(yīng)的相對(duì)坐標(biāo)系，將起點(diǎn)A與圓心點(diǎn)O（A、O兩點(diǎn)的坐標(biāo)一般設(shè)計(jì)圖紙給定，且采用的是北京54坐標(biāo)）的連線取作為相對(duì)坐標(biāo)X軸的正向，如圖2所示。根據(jù)前文坐標(biāo)系的平移（原點(diǎn)平移到圓曲線圓心O點(diǎn)）和旋轉(zhuǎn)（有向線段OA從O點(diǎn)的正北指向旋轉(zhuǎn)θ 角度，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)取正值或順時(shí)針旋轉(zhuǎn)取負(fù)值）代進(jìn)公式進(jìn)行計(jì)算，算出圓曲線上任意點(diǎn)M（Xm,Ym），然后將這些點(diǎn)的坐標(biāo)輸入全站議或GPS系統(tǒng)，從而得到測(cè)設(shè)放樣成功。

這種辦法只是計(jì)算較為復(fù)雜，當(dāng)這些點(diǎn)位的坐標(biāo)計(jì)算準(zhǔn)確之后，其測(cè)設(shè)放樣的速度和準(zhǔn)確度就看所擁有的全站議或GPS系統(tǒng)的性能和測(cè)設(shè)放樣者的認(rèn)真程度。當(dāng)然也可以采用極坐標(biāo)測(cè)設(shè)法和偏角測(cè)設(shè)法進(jìn)行測(cè)設(shè)放樣，道理基本相同。

圖4 平面圓曲線直角坐標(biāo)測(cè)設(shè)法示意圖

2.5 緩和曲線段的測(cè)設(shè)

如圖5所示，以緩和曲線段與直線的交點(diǎn)ZH點(diǎn)位為極點(diǎn)，以直線的延伸方向?yàn)闃O軸，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度θ 為正，緩和曲線上任意點(diǎn)M，其坐標(biāo)為（θ，ρ(θ)），射線ZHM順時(shí)針偏轉(zhuǎn)一個(gè)微小的角度dθ,線段ZHM長(zhǎng)度有個(gè)微增長(zhǎng)dρ(θ)，此時(shí)，緩和曲線弧段的長(zhǎng)度定義為L(zhǎng)(θ)，任意點(diǎn)M（θ，ρ(θ)）所對(duì)應(yīng)的曲線曲率半徑定義為R（θ），緩和曲線的總長(zhǎng)定義為ΣL。

根據(jù)緩和曲線的定義可知：L(θ)×R（θ）=C=ΣL×R

此外，根據(jù)幾何關(guān)系可以近似認(rèn)為，當(dāng)直線段ZHM偏一微小的角度dθ 后，M 點(diǎn)走到M'點(diǎn)，此時(shí)M'點(diǎn)的坐標(biāo)為（θ+dθ，ρ(θ)+dρ(θ)）。此時(shí)可以近似認(rèn)為M與M'兩點(diǎn)在同一圓曲線上，其圓半徑為R（θ），弧線M M'長(zhǎng)度近似為dρ(θ)，弧線M M'所對(duì)應(yīng)的圓周角近似為dθ，根據(jù)幾何原理知道弧線M M'長(zhǎng)度為dρ(θ)=R(θ)×dθ；同時(shí)又因?yàn)閐ρ(θ)=d L(θ)。

所以，L(θ)×d L(θ)=ΣL×R×dθ；解該微分方程得：

圖5 平面緩和曲線偏角法測(cè)設(shè)示意圖

在這測(cè)設(shè)放樣的過程中，ZH點(diǎn)到M 點(diǎn)的距離的控制可以通過將經(jīng)緯儀的望遠(yuǎn)鏡調(diào)制在水平狀態(tài)而卡住讓其在豎直平面內(nèi)不得動(dòng)彈，通過讀水平標(biāo)尺的經(jīng)緯儀目鏡十字絲上絲與下絲讀數(shù)之差值乘以100即為該距離的方法來達(dá)到目的[2]。

3 結(jié)論與展望

本文在參考前人的一些研究基礎(chǔ)上，本著實(shí)際高效的測(cè)設(shè)放樣原則，將帶緩和曲線的圓曲線的測(cè)設(shè)放樣工作分成三個(gè)階段進(jìn)行，直線段和圓曲線段均可采用直角坐標(biāo)法或極坐標(biāo)法或偏角法，而對(duì)于測(cè)設(shè)難度很大的緩和曲線段的測(cè)設(shè)則選擇偏角法，運(yùn)用較為簡(jiǎn)單的測(cè)量?jī)x器：經(jīng)緯儀或帶水平度盤的水準(zhǔn)儀或平板儀架設(shè)在直線與緩和曲線的交點(diǎn)上，建立其極坐標(biāo)測(cè)量體系，通過對(duì)平面緩和曲線的定義理解和建立合理的微分方程，并正確求解出所要測(cè)設(shè)放樣的曲線上的任意點(diǎn)到儀器架設(shè)點(diǎn)的距離，也即求解出緩和曲線上任意所要測(cè)設(shè)放樣點(diǎn)的極坐標(biāo)，進(jìn)行測(cè)設(shè)放樣。該方法很容易理解，使得測(cè)設(shè)放樣也較容易順利進(jìn)行，所用工具也較為原始和普通，具有一定的創(chuàng)新性。該方法克服了前人的繁瑣復(fù)雜、公式難記等缺陷，能為普通工程測(cè)量技術(shù)人員所掌握，值得推薦。

[1]侯風(fēng)波.高等數(shù)學(xué)（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]王金玲.工程測(cè)量（[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，2013.

[3]張鳳蘭.測(cè)設(shè)帶緩和曲線圓曲線的一種方法[J].東北公路，2001（4）.

[4]吳英.帶復(fù)合型緩和曲線的圓曲線邊樁坐標(biāo)計(jì)算[J].中國(guó)公路工程，1998（1）.