也談一道美國數(shù)學(xué)月刊問題的再加強

廣東廣雅中學(xué)　(510160)

楊志明

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也談一道美國數(shù)學(xué)月刊問題的再加強

廣東廣雅中學(xué)(510160)

楊志明

文[2]給出這個不等式的加強，即

文[3]給出這個不等式的加強，即

本文對上述問題進行再加強，得到如下

由(5)式知，要證明(4)式成立，只需證明16Δ2(a4+b4+c4)≥a6(b2+c2-a2)+b6(c2+a2-b2)+c6(a2+b2-c2)．(6)

由海倫公式知，

16Δ2=2(a2b2+b2c2+c2a2)-(a4+b4+c4)．(7)

由(7)式知，(6)式等價于[2(a2b2+b2c2+c2a2)-(a4+b4+c4)](a4+b4+c4)≥3[a6(b2+c2-a2)+b6(c2+a2-b2)+c6(a2+b2-c2)]?2(a8+b8+c8)+2a2b2c2(a2+b2+c2)≥(a6b2+a2b6+b6c2+b2c6+c6a2+c2a6)+2(a4b4+b4c4+c4a4)．(8)

令a2=x,b2=y,c2=z，則(8)式等價于2(x4+y4+z4)+2xyz(x+y+z)≥x3y+xy3+y3z+yz3+z3x+zx3+2(x2y2+y2z2+z2x2)．(9)

由3元4次Schur不等式知，x4+y4+z4+xyz(x+y+z)≥x3y+xy3+y3z+yz3+z3x+zx3．(10)

由(10)式知，要證明(9)式成立，只需證明x3y+xy3+y3z+yz3+z3x+zx3≥2(x2y2+y2z2+z2x2)(11)

?xy(x-y)2+yz(y-z)2+zx(z-x)2≥0．顯然．

由三元均值不等式知，3(a4+b4+c4)≥(a2+b2+c2)2，故(4)式比(3)式強．

證明:由常見的三角形恒等式[3]：a+b+c=2s,ab+bc+ca=s2+4Rr+r2,w=abc=4sRr(其中s,R,r分別為ΔABC的半周長、外接圓和內(nèi)切圓半徑)知，u=a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)=(2s)2-2(s2+4Rr+r2)=2(s2-4Rr-r2)，v=a2b2+b2c2+c2a2=(ab+bc+ca)2-2abc(a+b+c)=(s2+4Rr+r2)2-16s2Rr．

因此，原不等式等價于

由Euler不等式：R≥2r和Gerretsen不等式知，s2≤4R2+4Rr+3r2知,上式成立.

[1]Proposed by Cezar Lupu.Problem11527．The American Mathematical Mothly[J]．2010,117(8):742.

[2]崔 超， 沈南山，鄒根蘭．一道美國數(shù)學(xué)月刊問題的再加強[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2015,2．

[3]蘭小兵．一道美國數(shù)學(xué)月刊問題的再加強[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2016,1．

[4]陳勝利 關(guān)于R,r與s的銳角三角形不等式.見：幾何不等式在中國，江蘇教育出版社，1996年6月：72-78.