一道最值問題的多種解法探究

廣東省仁化中學(xué)　(512300)

尹杰杰

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一道最值問題的多種解法探究

廣東省仁化中學(xué)(512300)

尹杰杰

A.0B.5C.-10D.10

縱觀近年來全國各地的高考試題和模擬試題，我們總可以在試題中找到課本例題和習(xí)題的影子．一些高考試題和模擬題來源于課本中例題或者習(xí)題的改編，一些高考試題的結(jié)論和解題方法也都來源于我們的課本．這是因?yàn)檎n本的例題和習(xí)題蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想和精妙的解題方法，所以課本在我們的高考復(fù)習(xí)當(dāng)中占有著舉足輕重的地位．這也要求我們教師要引導(dǎo)學(xué)生吃透課本中的例題和習(xí)題，并能在此基礎(chǔ)之上舉一反三，靈活變題、解題，進(jìn)而能讓學(xué)生達(dá)到一題多變和一題多解的能力．下面筆者就從多個(gè)視角來思考分析這道模擬試題，揭示這一類試題所考查的知識點(diǎn).

視角1利用數(shù)形結(jié)合法求解

圖1

評注：解法1是利用線性規(guī)劃來求解，能讓學(xué)生更好的理解方程的幾何意義，形象生動(dòng)，直觀.學(xué)生們大多是運(yùn)用此方法解答.思路清晰，且過程簡單.該方法也是解此類題的一種通法.

雙重身份是高等學(xué)校在教育資源共享中的一個(gè)重要特征，它不僅是共享資源的提供者，也是共享資源的使用者。高校自身是最懂得學(xué)校未來的發(fā)展?fàn)顟B(tài)的，沒有哪一個(gè)部門比高校自身的管理部門更了解學(xué)校的境遇和學(xué)校的基礎(chǔ)設(shè)施以及教育的條件。在對未來高校的發(fā)展規(guī)劃的問題上，高校是最具有話語權(quán)的一方。所以學(xué)校要跟隨時(shí)代的腳步，努力爭取，充分利用自身的辦學(xué)自主權(quán)，有效規(guī)劃本校的發(fā)展目標(biāo)以及本校的內(nèi)部管理活動(dòng)，特別是在對于教育教學(xué)相關(guān)活動(dòng)的決定權(quán)上。只有這樣，高校才可以在教育資源共享中決定選取學(xué)校內(nèi)部發(fā)展何種教育資源作為自身的共享對象，也才有資格自主選擇符合自身需要的資源。

圖2

評注:解法2首先利用換元法使圓的方程變成我們熟悉的圓心是原點(diǎn)的圓，然后利用線性規(guī)劃求解，與解法1方法相似，但計(jì)算更簡單.

解法3：方程x2+y2-2x+4y=0，化簡得(x-

圖3

設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為 (xB,yB)，所以有

評注:解法3首先求出直線的斜率，發(fā)現(xiàn)兩直線斜率之積剛好等于-1，故可知在交點(diǎn)處可以求得最值，然后利用圓的對稱性求出另一個(gè)最值.

圖4

評注：解法4是在觀察了方程的特點(diǎn)之后，發(fā)現(xiàn)方程的兩個(gè)一次項(xiàng)系數(shù)之比，與所求的問題對應(yīng)的變量的系數(shù)之比相同，然后利用線性規(guī)劃求解.該解法對學(xué)生的能力要求較高，需要仔細(xì)發(fā)現(xiàn)已知與未知問題在結(jié)構(gòu)上的特點(diǎn)，進(jìn)而求出問題的結(jié)果.

視角2利用代數(shù)法求解

解法5令z=x-2y，移項(xiàng)得x=2y+z，代入方程x2+y2-2x+4y=0，化簡得5y2+4yz+z2-2z=0.由題意可知該方程一定存在解，所以Δ=-4z2+40z≥0，解得0≤z≤10，故x-2y的最大值是10.

評注:視角2是利用代數(shù)法求解，大多數(shù)學(xué)生都懂得利用此方法作答的.該方法雖然計(jì)算量較大，但應(yīng)用范圍廣，因此學(xué)生一定要熟練掌握.

視角3利用三角函數(shù)法求解

評注:視角3是利用三角函數(shù)法求解，首先把方程化為圓的參數(shù)方程，然后利用三角函數(shù)自身的范圍來求解問題的最值，該方法過程簡潔，計(jì)算量小，構(gòu)思巧妙，是一種很好的解題工具.故學(xué)生一定要熟練掌握，這樣也可以大大節(jié)省做題的時(shí)間.

視角4利用柯西不等式求解

解法7：方程化簡為(x-1)2+(y+2)2=5，由柯西不等式得：[12+(-2)2][(x-1)2+(y+2)2]≥[1·(x-1)+(-2)·(y+2)]2.所以25≥(x-2y-5)2，兩邊開平方得5≥x-2y-5≥-5，故10≥x-2y≥0.所以x-2y的最大值為10.

評注:視角4是利用選修中的柯西不等式求解.首先看到所求式子的系數(shù)有1和-2，然后想到柯西不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，就知道構(gòu)造12和(-2)2就可以構(gòu)造出柯西不等式.大多數(shù)學(xué)生都沒有很好的掌握柯西不等式的應(yīng)用，故而無法構(gòu)造出柯西不等式.但是，柯西不等式的解法精妙，往往在高考最后兩道大題證明不等式的問題中，利用柯西不等式求解，將會(huì)使得問題達(dá)到“撥開云霧見天日”的效果，因此對于基礎(chǔ)較好的學(xué)生，勢必要熟練掌握柯西不等式的應(yīng)用.

視角5利用向量法求解

評注:視角5是利用向量法求解，首先構(gòu)造了兩個(gè)向量，使得所求問題的式子等于這兩個(gè)向量的數(shù)量積，然后利用數(shù)量積的定義進(jìn)行求解.該方法較為抽象，學(xué)生不容易想到.但是此方法的解題思路簡單，也容易掌握，所以學(xué)生很有必要掌握此解法.

總結(jié)：本文通過多視角探討一道最值問題，如數(shù)形結(jié)合法，代數(shù)法，三角函數(shù)法，不等式法等等.不僅能幫助學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識和形成系統(tǒng)的知識網(wǎng)絡(luò)，而且能幫助學(xué)生發(fā)散思維，拓寬解題的思路，提高解題的靈活性，進(jìn)而能很好的培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)洞察力和解決問題的能力.