恒等變形在不等式證明中的作用不容忽視
——幾道2016年國際數(shù)學(xué)奧林匹克不等式題的研討

浙江省寧波市寧波外國語學(xué)?！?315121)

羅文靜

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恒等變形在不等式證明中的作用不容忽視
——幾道2016年國際數(shù)學(xué)奧林匹克不等式題的研討

浙江省寧波市寧波外國語學(xué)校(315121)

羅文靜

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，不少老師都認(rèn)為不等式證明很難，難在哪呢？其實(shí)，不等式證明與代數(shù)式(當(dāng)然還有三角式)的變形息息相關(guān).當(dāng)然，等式證明有目標(biāo)，而不等式證明中對代數(shù)式朝什么方向變形以及怎樣變形更多地依賴于解題者的觀察、聯(lián)想、分析、探索、判斷和經(jīng)驗(yàn).在本文中，筆者借助于幾道新近出爐的國際數(shù)學(xué)奧林匹克試題現(xiàn)身說法.

例1(2016年美國OMO數(shù)學(xué)奧林匹克)已知a,b,c,d是滿足a+b+c+d=20和ab+bc+cd+da=16的實(shí)數(shù)，求abc+bcd+cda+dab的最大值.

注：本題求解中，代數(shù)式ab+bc+cd+da=(a+b)(c+d)，abc+bcd+cda+dab=ac(b+d)+bd(a+c)的恒等變形至關(guān)重要.

利用類似思想可解，已知 a,b,c,d 是滿足 a+b+c+d=6和a2+b2+c2+d2=12的實(shí)數(shù)，求 abcd 的最大值.

注： 分分合合，整個(gè)解題就是不斷的恒等變形；另外就是通過放縮實(shí)現(xiàn)消去b，劍指目標(biāo) 6(c-a).

例3(2016年韓國數(shù)學(xué)奧林匹克)已知 x,y,z 是滿足 x2+y2+z2=1 的實(shí)數(shù)，求 (x2-yz)(y2-zx)(z2-xy) 的最大值.

注：8(x2-yz)(y2-zx)(z2-xy)=4(xy+yz+zx)2-4(x+y+z)2(x2y2+y2z2+z2x2) ， 4(xy+yz+zx)2-(x+y+z)2(xy+yz+zx)2=1-(x+y+z)2(xy+yz+zx-1)2，這兩個(gè)等式的證明成為本題求解的主干.

類似的競賽題還有：已知x,y,z 是滿足 x≥yz2,y≥zx2,z≥xy2的正數(shù)，求 (x-yz2)(y-zx2)(z-xy2) 的最大值.

例4(2016年IMO中國國家隊(duì)選拔考試試題)求最小的正實(shí)數(shù)λ，使得對任意三個(gè)復(fù)數(shù)z1,z2,z3∈{z∈C||z|<1} ，若 z1+z2+z3=0 ，則|z1z2+z2z3+z3z1|2+|z1z2z3|2<λ.

注：此題看起來是不等式問題，其實(shí)不等式證明的技術(shù)用得微乎其微，繁復(fù)的恒等變形成為推理的主導(dǎo)。