整式乘法和因式分解常見題型

張麗

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整式乘法和因式分解常見題型

張麗

整式乘法與因式分解是代數(shù)式的恒等變形，是中考基礎(chǔ)知識的測試中必不可少的一部分內(nèi)容.現(xiàn)以近年來部分中考題為例，就幾種常見類型分別加以說明.

一、考查整式的運算能力

對于整式的乘法，中考中多以考查乘法公式的運用為主，常常與化簡求值聯(lián)系在一起.

例1先化簡，再求值：

（x+2）2-（x+1）（x-1），其中x=1.

當x=1時，原式=4×1+5=9.

【點評】本題是整式的乘法與加減法的混合運算，計算時注意完全平方公式與平方差公式不要用錯.

二、考查利用因式分解的結(jié)果求值

例2已知（2x-21）（3x-7）-（3x-7）（x-13）可分解因式為（3x+a）·（x+b），其中a、b均為整數(shù)，則a+3b=_______.

則a=-7，b=-8，

∴a+3b=-7-24=-31.

故答案為-31.

【點評】本題需要首先提取公因式3x-7，再合并同類項即可得到a、b的值，進而可算出a+3b的值.本題主要考查了提公因式法分解因式，關(guān)鍵是找準公因式.

例3多項式x2+mx+5因式分解得（x+ 5）（x+n），則m=_______，n=_______.

【點評】本題考查了同學們逆向思維的能力.應用多項式的乘法，通過比較各項的系數(shù)得出關(guān)于m、n的二元一次方程組，從而求出m、n的值.

三、換元法在因式分解中的應用

例4把（x2+7x-5）（x2+7x+3）-33分解因式.

解：注意到兩個因式中都含有x2+7x.

方法一：可以設(shè)x2+7x=a，則：

方法二：也可以設(shè)x2+7x-1=a，則

【點評】在因式分解中，把多項式中某些部分看作一個整體，用一個新的字母代替（即換元），不僅可以簡化要分解的多項式的結(jié)構(gòu)，而且能使式子的特點更加明顯，以便于觀察出如何進行因式分解.

四、利用因式分解解決問題

例5老李師傅在制作零件時，要在半徑為Rcm的圓形鋼板上鉆四個相同的半徑為rcm的圓孔，老李師傅測量出R=7.8cm，r=1.1cm時，請你幫他計算一下圓形鋼板的剩余面積.（結(jié)果保留π）

【分析】剩余部分的面積，即為大圓的面積減4個小圓的面積.因為數(shù)字為小數(shù)，計算起來不方便.先因式分解，后計算，就簡單多了.

解：根據(jù)題意，S=πR2-4πr2，

當R=7.8，r=1.1時，

答：剩余部分的面積為56πcm2.

例6小明制作了一個房子模型，如圖1所示，要把其中的這一面墻涂上顏色（小正方形窗戶除外），那么涂色的面積是多少？

圖1

【分析】涂色的面積應該是三角形的面積加正方形的面積再減去小正方形的面積.可利用平方差公式對部分式子進行因式分解，從而簡化計算.

答：涂色的面積是143.

【點評】如果由實際問題得到的代數(shù)式，滿足平方差公式的結(jié)構(gòu)特點，而且分解后，兩個數(shù)的和或兩個數(shù)的差運算較簡單，通常應用平方差公式.

五、逆向思維在因式分解問題中的應用

例7 試說明257-512能被120整除.

【分析】因為25=52，所以可把257整理成5的冪的形式，再逆用同底數(shù)冪的乘法法則變成512·52-512，最后逆用分配律提取公因式，并整理為含有因數(shù)120的形式即可.

因此257-512能被120整除.

例8計算：（a+b+2c）2-（a+b-2c）2.

【分析】觀察式子的整體結(jié)構(gòu)，若逆用平方差公式，就可以使一些項消去，從而簡化運算.

【點評】同學們?nèi)绻軐W會逆向思維解題，不僅可以減少運算量，優(yōu)化解題過程，提高解題能力，而且能培養(yǎng)思維的靈活性和發(fā)散性，使掌握的數(shù)學知識得到有效遷移.

六、從圖形角度看乘法公式

例9從邊長為a的大正方形紙板中挖去一個邊長為b的小正方形紙板后，將其裁成四個相同的等腰梯形（如圖2），然后拼成一個平行四邊形（如圖3）.那么通過計算兩個圖形陰影部分的面積，可以驗證成立的公式為（）.

圖2　圖3

A.（a-b）2=a2-b2

B.（a+b）2=a2+2ab+b2

C.（a-b）2=a2-2ab+b2

D.（a+b）（a-b）=a2-b2

解：正方形中的陰影部分的面積可表示為a2-b2；而平行四邊形的高為a-b.則平行四邊形中的陰影部分的面積可表示為（a+b）·（a-b）.于是（a+b）（a-b）=a2-b2，故選D.

【點評】此類題的解題關(guān)鍵是抓住兩個圖形（這里是陰影部分）的面積相等，列出每一個圖形有關(guān)面積計算的代數(shù)式即可.

例10將大小相同的4塊長、寬分別為a、b（a＞b）的長方形紙片拼成如圖4所示形狀，從中你能發(fā)現(xiàn)（a+b）2與（a-b）2的關(guān)系嗎？

解：大正方形邊長為a+b，小正方形邊長為a-b.

∴整體計算：大正方形面積為（a+b）2，局部計算：大正方形面積為（a-b）2+4ab.

∴（a+b）2=（a-b）2+4ab.

可變形為：（a+b）2-4ab=（a-b）2（a+b）2-（a-b）2=4ab.

圖4

【點評】利用同一個圖形面積的兩種不同表示方法，抓其面積的不變特征，就可以得到相應的乘法公式.本題考查了同學們思維的多樣性.

（作者單位：江蘇省太倉市第一中學）