一種運(yùn)算和一個(gè)手段——整式的乘法與因式分解概念解讀

張曉東

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一種運(yùn)算和一個(gè)手段——整式的乘法與因式分解概念解讀

張曉東

本章的主要內(nèi)容是整式的乘法運(yùn)算（包括整式乘法的簡(jiǎn)便運(yùn)算：乘法公式）、因式分解.整式乘法是整式的一種運(yùn)算，因式分解是對(duì)整式進(jìn)行處理的一種手段，這些運(yùn)算及手段是以后學(xué)習(xí)分式和根式運(yùn)算的基礎(chǔ).

一、整式的乘法

整式的乘法是在前面學(xué)習(xí)了整式加減運(yùn)算后的另一種整式運(yùn)算.前一章所學(xué)習(xí)的冪的運(yùn)算性質(zhì)：同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方和積的乘方是整式乘法的基礎(chǔ).整式乘法具體內(nèi)容包括單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式以及多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式.

單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘原則：結(jié)果還是單項(xiàng)式；方法：把單項(xiàng)式中能乘的進(jìn)行乘法運(yùn)算（把系數(shù)相乘，相同字母分別相乘），不能乘的照搬（對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式）.

單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式根據(jù)數(shù)字計(jì)算中乘法分配律，將單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積（單項(xiàng)式）相加.實(shí)質(zhì)是單項(xiàng)式與單項(xiàng)式乘法.

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘用多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積（單項(xiàng)式）相加.其實(shí)質(zhì)也是轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘.在沒(méi)有合并同類(lèi)項(xiàng)之前，所得多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)為各多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)之積.

二、乘法公式

乘法公式是多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的簡(jiǎn)便運(yùn)算方法.當(dāng)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式出現(xiàn)特殊形式時(shí)，運(yùn)用乘法公式能迅速而簡(jiǎn)潔地進(jìn)行一些整式相乘的運(yùn)算.

平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2

公式的特征：平方差公式的左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，并且這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù).平方差公式右邊是兩項(xiàng)平方差的形式.

完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2

公式的特征：完全平方公式的左邊是括號(hào)內(nèi)兩個(gè)式子和（差）的平方（完全平方），完全平方公式的右邊是一個(gè)二次三項(xiàng)式，首尾是這兩個(gè)式子平方和，中間是這兩個(gè)式子積的2倍，符號(hào)和左邊括號(hào)內(nèi)一個(gè)樣.

三、因式分解

分解因式是處理代數(shù)式的一種手段，不是目的.分解因式的思路和方法始終貫穿在數(shù)學(xué)變換中，通過(guò)分解因式將多項(xiàng)式合理變形，是求代數(shù)式的值的常用的解題方法，許多有關(guān)整式、分式以及二次根式的化簡(jiǎn)與計(jì)算都離不開(kāi)分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的關(guān)系.因式分解是否正確可以用整式乘法去檢查.同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)必須能夠弄清兩者的區(qū)別和聯(lián)系.因式分解的方法一般包括提公因式法、公式法.

分解因式基本概念：

1.把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫作把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.其是：多項(xiàng)式、整式、積.

2.因式分解和整式乘法是互逆的關(guān)系.整式乘法是積化和差；因式分解是和差化積.

因式分解的解題步驟與注意點(diǎn)：

1.看各項(xiàng)有沒(méi)有公因式，若有，先提取公因式；

2.再看能否使用公式法；

3.因式分解的最后結(jié)果必須是幾個(gè)整式的乘積，否則不是因式分解；

4.因式分解的結(jié)果必須進(jìn)行到每個(gè)因式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解為止.

因式分解的基本方法

1.提公因式法

概念：如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提出來(lái)，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式.這種分解因式的方法叫作提公因式法.例如：ab+ac=a（b+c）.

概念內(nèi)涵：

（1）因式分解的最后結(jié)果應(yīng)當(dāng)是“積”，n項(xiàng)式=公因式×新的n項(xiàng)式；

（2）公因式可能是單項(xiàng)式，也可能是多項(xiàng)式；

方法：

（1）找多項(xiàng)式中的公因式方法：公因式的構(gòu)成一般情況下有三部分：①系數(shù)——各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；②字母——各項(xiàng)含有的相同字母；③指數(shù)——相同字母的最低次數(shù)；

（2）提公因式法的方法：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并確定另一因式.需注意的是，提取完公因式后，另一個(gè)因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)一致，這一點(diǎn)可用來(lái)檢驗(yàn)是否漏項(xiàng).

2.公式法

概念內(nèi)涵：

（1）運(yùn)用公式法分解因式的實(shí)質(zhì)是：把乘法公式反過(guò)來(lái)使用.常用的公式：

①平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）

（兩項(xiàng)都是一個(gè)整式的平方，且兩項(xiàng)是異號(hào)）

②完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2、a2-2ab+b2=（a-b）2

（有三項(xiàng)，兩個(gè)平方項(xiàng)符號(hào)相同，另一項(xiàng)是前兩項(xiàng)冪的底數(shù)乘積的2倍，符號(hào)可正可負(fù)）

方法：

（1）把多項(xiàng)式寫(xiě)成為平方差及完全平方公式的形式；

（2）熟悉公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，找出公式中a、b所代表的數(shù)和代數(shù)式；

（3）根據(jù)公式寫(xiě)出積的形式.

因式分解中需要注意的幾個(gè)問(wèn)題

2.要把整個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積，而不是把部分化為積的形式.

如：a2-6a+9=a（a-6）+9這不是因式分解的答案，正確的應(yīng)該是：a2-6a+9=（a-3）2.

3.多項(xiàng)式中某一項(xiàng)恰為公因式，提出后，括號(hào)中這一項(xiàng)為1，不能漏掉.

如：x2y+xy2-xy=xy（x+y）是錯(cuò)誤的，括號(hào)內(nèi)漏了-1這一項(xiàng)，正確的應(yīng)該是：x2y+xy2-xy= xy（x+y-1）.

（作者單位：江蘇省太倉(cāng)市沙溪實(shí)驗(yàn)中學(xué)）