隨機生產(chǎn)服務(wù)系統(tǒng)最優(yōu)服務(wù)能力分配策略

王康周，江志斌

（1.蘭州大學(xué) 管理學(xué)院，蘭州 730000；2.上海交通大學(xué) 工業(yè)工程與管理系，上海 200030）

隨著企業(yè)之間競爭越來越激烈，很多制造企業(yè)開始通過提供與產(chǎn)品相關(guān)的附加服務(wù)以提高企業(yè)的競爭力。例如裝備制造業(yè)中許多企業(yè)不僅銷售設(shè)備給客戶，同時還提供設(shè)備的專業(yè)運輸、安裝調(diào)試和維護維修服務(wù)[1]。此時，企業(yè)提供給客戶的實際上是產(chǎn)品和服務(wù)的組合，而不再是單純的物質(zhì)產(chǎn)品。企業(yè)不僅需對與產(chǎn)品相關(guān)的生產(chǎn)庫存系統(tǒng)進行管理，而且還需對與附加服務(wù)相關(guān)的服務(wù)能力進行管理，以高效地提供產(chǎn)品服務(wù)組合給客戶。該類企業(yè)所面對的運作系統(tǒng)被稱為生產(chǎn)服務(wù)系統(tǒng)[2-3]。實際上，以上現(xiàn)象在很多服務(wù)行業(yè)如售后服務(wù)、醫(yī)療服務(wù)和餐飲服務(wù)中都很常見，在這些服務(wù)行業(yè)中，為了滿足顧客的服務(wù)需求，服務(wù)提供方必須同時提供物質(zhì)產(chǎn)品和無形服務(wù)。

相對于傳統(tǒng)的生產(chǎn)庫存系統(tǒng)，生產(chǎn)服務(wù)系統(tǒng)的獨特之處在于：為了提供物質(zhì)產(chǎn)品給顧客，提供方需要耗費一定量的服務(wù)，如服務(wù)時間。而相對于傳統(tǒng)的服務(wù)系統(tǒng)，生產(chǎn)服務(wù)系統(tǒng)的獨特之處在于：為了提供服務(wù)給顧客，提供方需要耗費一定數(shù)量的物質(zhì)產(chǎn)品。總之，生產(chǎn)服務(wù)系統(tǒng)同時提供有形產(chǎn)品和無形服務(wù)給顧客，所以其動力學(xué)特征不同于傳統(tǒng)的生產(chǎn)庫存系統(tǒng)和服務(wù)系統(tǒng)。在傳統(tǒng)的生產(chǎn)庫存系統(tǒng)中，庫存以需求率遞減。在服務(wù)系統(tǒng)中，通過適度的訂單積壓（等待時間），平衡訂單到達率和服務(wù)能力之間的不平衡。而在生產(chǎn)服務(wù)系統(tǒng)中庫存與訂單積壓關(guān)聯(lián)，當有顧客等待時，庫存以服務(wù)率遞減；無顧客等待時以需求率遞減。與此同時，不同于服務(wù)系統(tǒng)，在生產(chǎn)服務(wù)系統(tǒng)中如果沒有產(chǎn)品庫存，即使服務(wù)設(shè)施閑置而顧客在等待時，服務(wù)率仍然為零。

對于生產(chǎn)服務(wù)系統(tǒng)最優(yōu)控制的研究起源于文獻[4]。隨后，各種更為一般化的系統(tǒng)受到了關(guān)注，如具有隨機提前期和服務(wù)時間，顧客具有重試和變換隊列行為等。該類研究均關(guān)注于庫存管理中的最優(yōu)補庫策略[5-6]。唯一涉及服務(wù)能力管理研究的是文獻[7]，作者研究了一個具有易腐產(chǎn)品的庫存服務(wù)系統(tǒng)中的最優(yōu)服務(wù)率控制問題。文獻[8-9]中對生產(chǎn)服務(wù)系統(tǒng)中生產(chǎn)和服務(wù)能力共同管理問題進行了研究。Krishnamoorth等[2]考慮了一個生產(chǎn)服務(wù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和性能評估。然而，以上研究的對象均為單一顧客的系統(tǒng)，不存在服務(wù)能力的分配問題。

在多數(shù)情形下，企業(yè)生產(chǎn)非單一類型的產(chǎn)品，而不同類型產(chǎn)品對應(yīng)的服務(wù)在服務(wù)時間和顧客等待成本方面也可能不一致。例如，對于電梯生產(chǎn)商而言，升降式電梯和手扶式自動電梯的安裝時間差異很大。因此，對多產(chǎn)品生產(chǎn)服務(wù)系統(tǒng)中服務(wù)能力的分配策略進行研究，以便對提供服務(wù)的制造企業(yè)的實際管理提供建議。

不同于單產(chǎn)品系統(tǒng)中服務(wù)能力分配問題，對具有兩類服務(wù)訂單的系統(tǒng)的服務(wù)能力進行分配時，不僅需要決定是否開啟服務(wù)設(shè)施，若開啟，還需決定服務(wù)哪一類訂單。即多產(chǎn)品系統(tǒng)中管理者需要做2個決策：開關(guān)策略和能力分配策略。Zhao等[10]考慮了一個單一產(chǎn)品，具有兩類顧客的庫存服務(wù)系統(tǒng)。由于假設(shè)單一產(chǎn)品，故生產(chǎn)服務(wù)系統(tǒng)中服務(wù)能力的管理只需考慮服務(wù)能力和等待成本因素，因此，最優(yōu)服務(wù)策略與早期服務(wù)系統(tǒng)中能力分配策略相同[11-12]。

相對于傳統(tǒng)服務(wù)系統(tǒng)的能力分配問題，生產(chǎn)服務(wù)系統(tǒng)中服務(wù)能力分配更為復(fù)雜。生產(chǎn)服務(wù)系統(tǒng)分配有限的服務(wù)能力給不同訂單時，不僅需要考慮不同服務(wù)訂單的等待成本和服務(wù)率，而且還需兼顧產(chǎn)品庫存系統(tǒng)中的參數(shù)和成本。因此，需全面考慮生產(chǎn)庫存子系統(tǒng)和服務(wù)子系統(tǒng)，而不是傳統(tǒng)服務(wù)調(diào)度中單一的服務(wù)系統(tǒng)。目前還未有文獻研究具有多產(chǎn)品和訂單的生產(chǎn)服務(wù)系統(tǒng)的最優(yōu)服務(wù)能力分配問題。因此，本文將研究的生產(chǎn)服務(wù)系統(tǒng)的服務(wù)能力分配問題是對傳統(tǒng)能力分配問題的很大拓展。

1 問題描述

考慮生產(chǎn)兩類產(chǎn)品，服務(wù)兩類顧客，由生產(chǎn)設(shè)施和服務(wù)中心組成的生產(chǎn)服務(wù)系統(tǒng)，如圖1所示。

圖1 兩類產(chǎn)品和訂單的生產(chǎn)服務(wù)系統(tǒng)

企業(yè)首先生產(chǎn)兩類產(chǎn)品并儲存，兩類顧客到達服務(wù)中心等待服務(wù)，每服務(wù)1個訂單正好消耗1個專用產(chǎn)品。為了管理以上系統(tǒng)，管理者必須面對制造設(shè)施和服務(wù)中心能力分配2個問題。對于服務(wù)中心能力管理，如果兩類產(chǎn)品均有庫存并且兩類訂單都在等待，管理者需要決定服務(wù)哪一類訂單。假設(shè)生產(chǎn)和服務(wù)設(shè)施足夠柔性，即生產(chǎn)和服務(wù)設(shè)置時間可忽略，該假設(shè)也適用于生產(chǎn)設(shè)置時間相對于生產(chǎn)和服務(wù)時間很小的情形。

兩類服務(wù)訂單的到達過程均為獨立的泊松過程，到達率為λi，i=1，2。產(chǎn)品i的生產(chǎn)時間服從均值為1/μi的指數(shù)分布，單位時間單位產(chǎn)品i的持庫成本為hi。i類訂單正好需要1個單位的產(chǎn)品i以進行服務(wù)，服務(wù)時間服從均值為1/γi的指數(shù)分布。服務(wù)完的訂單立刻離開系統(tǒng)，在服務(wù)完成時刻對應(yīng)的庫存水平減少1個單位。搶占生產(chǎn)和服務(wù)都是允許的。為了刻畫顧客等待直至服務(wù)完成的意愿，等待隊列中每個i類訂單單位時間的等待成本為bi。xi（t）為時刻t產(chǎn)品i的庫存水平，yi（t）為時刻t系統(tǒng)中第i類訂單數(shù)量，包括等待訂單和服務(wù)訂單。x（t）=（x1（t）x2（t）y1（t）y2（t））為時刻t系統(tǒng)的狀態(tài)，系統(tǒng)狀態(tài)空間為z4。系統(tǒng)總成本由庫存持有成本和訂單等待成本構(gòu)成，單位時間的總成本函數(shù)為

任何時刻，生產(chǎn)設(shè)施管理者需要決定采取以下3種行動中的一種：不生產(chǎn)、生產(chǎn)產(chǎn)品1、或生產(chǎn)產(chǎn)品2。分別記這3種行動為0、1、2，t時刻采取的行動記為up（t）。同時，在任何時刻，服務(wù)部門可采取3種行動：閑置服務(wù)設(shè)施、服務(wù)第1類訂單、或服務(wù)第2類訂單，分別記這3種行動為0、1、2，t時刻采取的行動記為us（t）。在時刻t系統(tǒng)狀態(tài)給定的情形下，生產(chǎn)和服務(wù)能力分配行動u（t）=（up（t）us（t））確定了生產(chǎn)和服務(wù)決策。 系統(tǒng)能力管理策略u=｛u（t）|t≥0｝確定了任何時刻系統(tǒng)管理者的決策。在無限時域上折扣標準下，最優(yōu)管理策略u*應(yīng)使得以下成本最?。?/p>

式中，α為連續(xù)利率。為了下文表述和計算過程的簡潔，記4維系統(tǒng)狀態(tài)為x=（x1x2y1y2），xi為產(chǎn)品i的庫存水平，yi為系統(tǒng)中第i類訂單數(shù)量，i=1，2。系統(tǒng)狀態(tài)的4個單位分向量分別記為：

因此，所有系統(tǒng)狀態(tài)的變化可簡潔地表示為：生產(chǎn)一個產(chǎn)品1或產(chǎn)品2導(dǎo)致系統(tǒng)狀態(tài)變化，可由x轉(zhuǎn)移到x+e1或x+e2表示；一個訂單1或訂單2到達服務(wù)中心導(dǎo)致的系統(tǒng)狀態(tài)變化，可由x轉(zhuǎn)移到x+e3或x+e4表示；而服務(wù)一個訂單1或訂單2會使得系統(tǒng)狀態(tài)由x分別轉(zhuǎn)移到

2 最優(yōu)服務(wù)策略

生產(chǎn)服務(wù)系統(tǒng)的能力分配包括生產(chǎn)能力和服務(wù)能力的分配。然而對于最優(yōu)生產(chǎn)策略，Vericourt等[13]指出，即使簡單的生產(chǎn)庫存系統(tǒng)，最優(yōu)生產(chǎn)能力分配策略也無法得到。而生產(chǎn)服務(wù)系統(tǒng)為生產(chǎn)庫存系統(tǒng)和服務(wù)系統(tǒng)共同組成的混合系統(tǒng)，且兩類系統(tǒng)之間相互影響和作用，其動力學(xué)特征更加復(fù)雜。例如，生產(chǎn)庫存系統(tǒng)中產(chǎn)品需求獨立于系統(tǒng)狀態(tài)，為獨立的需求過程；生產(chǎn)服務(wù)系統(tǒng)中產(chǎn)品的需求率由系統(tǒng)中的服務(wù)率決定，而服務(wù)率依賴于系統(tǒng)狀態(tài)，包括各類訂單的等待數(shù)量和各類產(chǎn)品的庫存水平。所以，生產(chǎn)服務(wù)系統(tǒng)的最優(yōu)生產(chǎn)策略必將無法得到。因此，本文將主要研究系統(tǒng)的最優(yōu)服務(wù)策略。為了增加研究結(jié)論的價值，在研究最優(yōu)服務(wù)策略時，將不僅考慮服務(wù)子系統(tǒng)的狀態(tài)，也將考慮生產(chǎn)庫存子系統(tǒng)的狀態(tài)，即在集中決策下研究最優(yōu)服務(wù)策略。

根據(jù)離散隨機動態(tài)規(guī)劃方法[14]，修正時間單位以使得。由文獻[15]，最優(yōu)服務(wù)調(diào)度問題可劃歸為以下最優(yōu)化問題：

下文將分別研究整個狀態(tài)空間中3個子區(qū)域

中的最優(yōu)服務(wù)策略，同時，通過大量數(shù)值實驗的方法研究第4個子區(qū)域｛x|x1>0，y1=0，x2y2＞0｝中的最優(yōu)服務(wù)調(diào)度策略。4個子區(qū)域中的最優(yōu)服務(wù)調(diào)度策略構(gòu)成了整個狀態(tài)空間上系統(tǒng)的最優(yōu)服務(wù)策略，即給出系統(tǒng)處于任何狀態(tài)時的最優(yōu)服務(wù)決策。為了方便起見，定義任意實值函數(shù)J的運算符號：

為了刻畫子區(qū)域｛x|x1y1>0｝中最優(yōu)服務(wù)調(diào)度策略的結(jié)構(gòu)特征，首先給出以下定義，然后證明最優(yōu)化算子T保持定義1中的所有結(jié)構(gòu)性質(zhì)。

定義1記V1為定義在狀態(tài)空間Z4上的一個實值函數(shù)集合，滿足以下性質(zhì)：如果J∈V1，x1y1＞0，則

以下引理表明，當γ1（h1+b1）＞γ2（h2+b2）時，V1中函數(shù)的結(jié)構(gòu)在算子T下保持。

引理1假定γ1（h1+b1）＞γ2（h2+b2），如果J（x）∈V1，則TJ（x）∈V1。

證明J為集合V1中的任意函數(shù)，接下來，證明TJ滿 足 性 質(zhì)C1 和C2。當x1y1＞0 時，有D-13J（x）＜0。重新組合各項后，有

D-13TJ（x）由5項組成。容易驗證前4項為負，最后一項非正。因此，x1y1＞0時，D-13TJ（x）＜0。

接下來，說明算子T保持性質(zhì)C2。注意到

因此，有

由于x1y1＞0時，γ1（h1+b1）＞γ2（h2+b2），故第1項為負。根據(jù)恒等式

可得最后一項非正。由于x1y1＞ 0 時，γ1D-13J（x）＜γ2D-24J（x），故可得其余各項均非正。綜上所述，引理1可證得。

本文其余部分均假設(shè)γ1（h1+b1）＞γ2（h2+b2）。對于γ1（h1+b1）≤γ2（h2+b2）的情形，所有結(jié)論和服務(wù)優(yōu)先權(quán)相反即可。利用引理1 和定義1，可直接得到以下定理，該定理給出最優(yōu)服務(wù)策略。

定理1當兩類訂單都可服務(wù)時，無論兩種產(chǎn)品的庫存水平和兩類訂單等待隊列長度的大小，服務(wù)指標γ（h+b）較大的訂單總是最優(yōu)的。

訂單可服務(wù)是指既有訂單等待，又有該類訂單對應(yīng)的產(chǎn)品庫存。定理1表明，對于生產(chǎn)和服務(wù)時間隨機，需求過程也隨機的生產(chǎn)服務(wù)系統(tǒng)，其最優(yōu)服務(wù)策略為形式極為簡潔的指標型優(yōu)先權(quán)策略。最優(yōu)策略與系統(tǒng)狀態(tài)無關(guān)，而且優(yōu)先權(quán)是靜態(tài)固定的。

依據(jù)系統(tǒng)邊際成本分析，以上結(jié)論非常直觀。若γ1（h1+b1）＞γ2（h2+b2），當?shù)?類訂單等待服務(wù)并且產(chǎn)品1有庫存時，服務(wù)一個單位的第1類訂單可減小系統(tǒng)成本h1+b1，且該成本減小的速率為γ1，即單位時間內(nèi)可減小成本γ1（h1+b1）。類似地，選擇服務(wù)第2類訂單單位時間可減小系統(tǒng)成本γ2（h2+b2），而γ1（h1+b1）＞γ2（h2+b2），故最優(yōu)策略是選擇服務(wù)指標γ（h+b）較大的第1類訂單。

定理1與直觀感受一致，生產(chǎn)服務(wù)系統(tǒng)中服務(wù)能力分配策略不再是傳統(tǒng)服務(wù)系統(tǒng)中的能力分配策略，而是結(jié)合產(chǎn)品庫存持有成本的綜合指標型策略，服務(wù)和生產(chǎn)庫存部分中的系統(tǒng)參數(shù)和成本參數(shù)均會影響服務(wù)能力的分配策略。服務(wù)能力有限情形下，柔性服務(wù)設(shè)施處理不同類別服務(wù)訂單時若有差異，會影響能力分配策略。如當兩種產(chǎn)品和服務(wù)訂單的其他參數(shù)相同的情形下，若服務(wù)一類訂單的速率較大，則系統(tǒng)會更多地選擇服務(wù)該類訂單從而更快地減少訂單積壓。類似地，成本參數(shù)也影響能力分配策略。當其他參數(shù)相同時，若一類產(chǎn)品的庫存持有成本較高，則會較多的服務(wù)該類產(chǎn)品對應(yīng)的訂單，以減少庫存持有成本，從而降低系統(tǒng)整體成本。

下面刻畫子區(qū)域｛x|x1=0，x2y2＞0｝上的最優(yōu)服務(wù)調(diào)度策略。此時最優(yōu)化方程簡化為

類似于第1個子區(qū)域中最優(yōu)服務(wù)策略的證明步驟，以下也定義一個由具有特定性質(zhì)的函數(shù)構(gòu)成的集合，然后由最優(yōu)化算子T保持該性質(zhì)可得到最優(yōu)策略的結(jié)構(gòu)性質(zhì)。

定義2V2為定義在狀態(tài)空間Z4上的一個實值函數(shù)集合，滿足以下性質(zhì)：如果J∈V2，x1=0，x2y2＞0，則有C3：D-24J（x）＜0。

以下引理表明，如果h2+b2＞0，算子T保持集合V2中函數(shù)所滿足的性質(zhì)C3。

引理2假定h2+b2＞0，如果J（x）∈V2，則TJ（x）∈V2。

證明

由h2+b2＞0，可得上式中第1 項小于0。又由x1=0，x2y2＞0時，D-24J（x）＜0，可得第2～5項均小于0。而最后一項非正，因此，引理2成立。

依據(jù)引理2和定義2，可直接得到以下定理。

定理2當高優(yōu)先權(quán)產(chǎn)品無庫存時，若低優(yōu)先權(quán)訂單可服務(wù)，則最優(yōu)策略是服務(wù)低優(yōu)先權(quán)訂單。

類似于定理1，依據(jù)系統(tǒng)成本邊際分析，以上結(jié)論也是非常直觀的。若h2+b2＞0，當?shù)?類訂單等待服務(wù)并且產(chǎn)品2有庫存時，服務(wù)一個單位的第2類訂單可減小系統(tǒng)成本h2+b2，且該成本減小的速率為γ2，即單位時間內(nèi)可減小成本γ1（h1+b1）。類似地，選擇服務(wù)第2類訂單單位時間可減小系統(tǒng)成本γ2（h2+b2）。否則，由于產(chǎn)品1無庫存，只能閑置服務(wù)設(shè)施，此時系統(tǒng)成本沒有改變。故最優(yōu)策略是服務(wù)第2類訂單。

當x1y1=0，x2y2=0時，由于無法服務(wù)任何一種訂單，服務(wù)策略顯然是閑置服務(wù)設(shè)施。當x1＞0，y1=0，x2y2＞0時，雖然直觀地認為最優(yōu)服務(wù)策略與定理2中所述策略相同，應(yīng)服務(wù)第2類訂單，但是無法解析證明。通過數(shù)值實驗發(fā)現(xiàn)，服務(wù)策略確實非定理2所描述。原因在于：當λ1比較大時，系統(tǒng)可能不服務(wù)低優(yōu)先權(quán)訂單，而會等待高優(yōu)先權(quán)訂單到達后對其進行服務(wù)，特別是在x1、h1和b1較大而γ1較小時。以上猜測也符合數(shù)值實驗結(jié)果。但是通過大量數(shù)值實驗發(fā)現(xiàn)，情形x1＞0，y1=0，x2y2＞0很少出現(xiàn)。而且，即使出現(xiàn)該情形，由于無第1類訂單可服務(wù)而第2類訂單在等待服務(wù)，系統(tǒng)一般采用先服務(wù)第2類訂單的策略。

至此，已經(jīng)討論了系統(tǒng)整個狀態(tài)空間中的最優(yōu)服務(wù)策略。需要再次聲明的是，以上對最優(yōu)服務(wù)策略的研究是在產(chǎn)品庫存狀態(tài)和服務(wù)隊列狀態(tài)均被考慮的情形下進行的，而非只考慮服務(wù)中心的系統(tǒng)狀態(tài)。因此，以上得到的最優(yōu)服務(wù)策略是集中控制下的最優(yōu)服務(wù)策略。

3 數(shù)值分析

本節(jié)數(shù)值分析采用Matlab2011 平臺，通過文獻[14]中值迭代算法求解對應(yīng)的動態(tài)規(guī)劃方程，最優(yōu)成本為長期均值準則下的最小成本。狀態(tài)空間的截距直至成本函數(shù)不再對截距水平敏感為止，值迭代運算直至精度達到10-5為止。

3.1 分散與集中決策下最優(yōu)服務(wù)策略對比

為了體現(xiàn)集中決策下服務(wù)策略的優(yōu)越性，本小節(jié)將其與分散決策下最優(yōu)服務(wù)策略進行對比。分散決策下，服務(wù)設(shè)施能力管理者只考慮服務(wù)子系統(tǒng)狀態(tài)和參數(shù)，服務(wù)策略完全由等待服務(wù)隊列長度和不同訂單對應(yīng)的服務(wù)能力決定，不受生產(chǎn)部分子系統(tǒng)的任何影響，與產(chǎn)品庫存水平和生產(chǎn)能力無關(guān)。依據(jù)文獻[11-12]，分散式?jīng)Q策下最優(yōu)服務(wù)策略由以下定理給出：

定理3分散式?jīng)Q策下生產(chǎn)服務(wù)系統(tǒng)的最優(yōu)服務(wù)策略為指標γb型策略，即始終服務(wù)指標γb較大的訂單。

對比分散式?jīng)Q策下確定最優(yōu)策略指標γb與定理1中集中式?jīng)Q策下確定最優(yōu)策略指標γ（h+b），這里γ、h和b分別為服務(wù)能力、庫存持有成本和服務(wù)訂單等待成本，可以看到，分散式?jīng)Q策下最優(yōu)策略與生產(chǎn)庫存子系統(tǒng)無關(guān)，只與服務(wù)能力和服務(wù)訂單等待成本有關(guān)；而集中式?jīng)Q策下最優(yōu)策略由服務(wù)子系統(tǒng)參數(shù)（服務(wù)能力與服務(wù)訂單等待成本）和生產(chǎn)庫存子系統(tǒng)參數(shù)庫存持有成本共同決定。以下數(shù)值例子分析分散決策與集中決策下系統(tǒng)成本的不同，分散決策下最優(yōu)服務(wù)策略為γb指標優(yōu)先權(quán)策略，而集中決策下為γ（h+b）指標優(yōu)先權(quán)策略。以下數(shù)值例子給出了兩種策略下系統(tǒng)總成本的差異diff%=100（cdesc-ccent）/ccent，其中，cdesc為分散決策時最優(yōu)服務(wù)策略結(jié)合動態(tài)協(xié)同生產(chǎn)策略下系統(tǒng)總成本，ccent為集中決策時最優(yōu)服務(wù)策略結(jié)合動態(tài)協(xié)同生產(chǎn)策略下系統(tǒng)總成本。

圖2 為 參 數(shù) 環(huán) 境h2=1，b1=50，b2=51，γ1=γ2=1，λ1=λ2=0.2，μ1=μ2=0.9下的計算結(jié)果。此時Δb≡b2-b1=1，依據(jù)定理3，分散決策下訂單2具有高優(yōu)先權(quán)，服務(wù)設(shè)施在可行的情況下始終服務(wù)訂單2。分別取第1類產(chǎn)品庫存持有成本h1的值為6、11、21、26和31，此時兩類產(chǎn)品庫存持有成本差異

因此，集中決策下訂單1具有高優(yōu)先權(quán)，而分散決策下訂單2仍然具有高優(yōu)先權(quán)。

圖2 分散和集中決策下成本對比

由圖2可見，隨著Δh的增加，集中決策與分散決策下系統(tǒng)成本的差異逐漸增大，說明集中決策的優(yōu)越性逐漸增加。原因顯然，分散決策下只考慮了系統(tǒng)中服務(wù)訂單等待成本的減小速率，而集中決策下服務(wù)策略兼顧庫存成本的減小，綜合考慮了庫存成本和服務(wù)訂單等待成本整體的減小速率。因此，當產(chǎn)品1相對于產(chǎn)品2的庫存持有成本的差異逐漸增加時，兼顧庫存持有成本的集中決策下最優(yōu)服務(wù)策略的優(yōu)越性越來越明顯。

以上成本差異是在生產(chǎn)能力動態(tài)分配的情形下得到的。由數(shù)值實驗結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當服務(wù)訂單2時，生產(chǎn)策略也會相應(yīng)的調(diào)整，增加產(chǎn)品2的生產(chǎn)，減少產(chǎn)品1的生產(chǎn)。故以上成本差異是在生產(chǎn)能力集中協(xié)同最優(yōu)分配下，服務(wù)能力集中分配和分散分配下的差異。這說明，若服務(wù)能力分配策略不是集中最優(yōu)策略，而為分散最優(yōu)策略時，即使生產(chǎn)能力分配策略為各自對應(yīng)的最優(yōu)協(xié)同策略，也無法節(jié)約成本，會導(dǎo)致成本增加。以上討論也適用于下一小節(jié)中最優(yōu)服務(wù)策略與相反優(yōu)先權(quán)服務(wù)策略的性能對比。

3.2 兩類服務(wù)優(yōu)先權(quán)下成本對比

本小節(jié)在不同的參數(shù)環(huán)境下，對比分析最優(yōu)服務(wù)策略與相反優(yōu)先權(quán)服務(wù)策略的性能。兩類策略下成本之間的差異百分比定義為

其中：copp為相反優(yōu)先權(quán)服務(wù)策略結(jié)合動態(tài)協(xié)同生產(chǎn)策略下系統(tǒng)總成本；copt為最優(yōu)服務(wù)策略結(jié)合動態(tài)協(xié)同生產(chǎn)策略下系統(tǒng)總成本。

為了消除其他影響因素，在研究兩類策略下某一參數(shù)的變化對成本的影響時，其他參數(shù)均不變且兩類產(chǎn)品和訂單所對應(yīng)的系統(tǒng)參數(shù)和成本參數(shù)均相同。標準參數(shù)設(shè)置：h1=h2=1，b1=b2=9，γ1=γ2=1，λ1=λ2=0.2，μ1=μ2=0.9。通過值迭代算法，得到單位時間內(nèi)平均成本，第4、5列分別為最優(yōu)策略下系統(tǒng)成本和相反優(yōu)先權(quán)策略下系統(tǒng)成本，第6列為相反優(yōu)先權(quán)策略下系統(tǒng)成本相對于最優(yōu)策略下系統(tǒng)成本的變動百分比。不同參數(shù)變化時兩類策略性能差異如表1所示。

表1 兩類服務(wù)優(yōu)先權(quán)下成本對比

通過表1中實驗1～5可以看到，隨著訂單1服務(wù)能力的增加，兩種策略下對應(yīng)的系統(tǒng)成本均呈現(xiàn)出減小趨勢。這是因為隨著服務(wù)設(shè)施對訂單1服務(wù)能力的增加，通過服務(wù)可減少的訂單1數(shù)量會增加；同時使得庫存消耗數(shù)量也增加，從而使得整體成本減小。由實驗1和實驗6～13發(fā)現(xiàn)，隨著產(chǎn)品1庫存持有成本、訂單1等待成本的增加，兩種策略下對應(yīng)的系統(tǒng)成本均呈現(xiàn)出增加的趨勢。

圖3 兩類服務(wù)優(yōu)先權(quán)下成本差異

由圖3可見，隨著訂單1服務(wù)能力和等待成本以及產(chǎn)品1庫存持有成本的上升，最優(yōu)策略下成本與相反優(yōu)先權(quán)策略下成本差值均越來越大。這說明，隨著高優(yōu)先權(quán)指標（即單位時間減少成本）相對于低優(yōu)先權(quán)指標差異的增加，最優(yōu)服務(wù)策略的優(yōu)越性越來越明顯。若采用相反服務(wù)優(yōu)先權(quán)，導(dǎo)致的系統(tǒng)成本的增加會越來越大。

由表1中第2～4列可見，3種不同參數(shù)取值變化時，每相鄰兩組實驗中γ1（h1+b1）的改變量均為1，但是第5列數(shù)值結(jié)果發(fā)現(xiàn)成本變化小于1，該現(xiàn)象為生產(chǎn)協(xié)同導(dǎo)致的結(jié)果。當h1增加時，協(xié)同可能會導(dǎo)致少生產(chǎn)產(chǎn)品1；而當γ1和b1增加時，協(xié)同生產(chǎn)可能會多生產(chǎn)產(chǎn)品1，最終使得單位時間的最優(yōu)總成本變化小于單位時間成本變化。

若采用相反優(yōu)先權(quán)服務(wù)策略時，兩種策略下直接成本差異為γ1（h1+b1）-γ2（h2+b2），根據(jù)實驗參數(shù)設(shè)置，參數(shù)γ1、h1、b1變化時（實驗2，6，10；3，7，11；4，8，12；5，9，13）直接成本相對于γ2（h2+b2）差異的百分比

分別為10%、20%、30%和40%。由表1第7列可見，雖然不同參數(shù)時兩種策略下系統(tǒng)成本差異隨著參數(shù)取值的增加而增加，但是差異均小于直接的單位時間成本10%、20%、30%和40%。該現(xiàn)象也是由于生產(chǎn)協(xié)同所導(dǎo)致。當使用相反優(yōu)先權(quán)服務(wù)策略時，生產(chǎn)策略也會相應(yīng)的調(diào)整，少生產(chǎn)高優(yōu)先權(quán)產(chǎn)品而多生產(chǎn)低優(yōu)先權(quán)產(chǎn)品，以便與相反優(yōu)先權(quán)服務(wù)策略相互匹配，故不同策略下最優(yōu)成本差異較小。

特別值得注意的是，雖然不同參數(shù)變化時導(dǎo)致的直接成本差異γ1（h1+b1）-γ2（h2+b2）的變化幅度均相同，但是由圖3發(fā)現(xiàn)，不同參數(shù)取值的變化對系統(tǒng)在兩種策略下成本差異的影響不同。服務(wù)能力γ1、持庫成本h1以及等待成本b1對兩種策略下成本差異的影響逐漸增加。此現(xiàn)象也與生產(chǎn)協(xié)同相關(guān)，當采用相反優(yōu)先權(quán)服務(wù)策略時，系統(tǒng)在可能的情況下始終服務(wù)訂單2，而很少服務(wù)訂單1，此時服務(wù)訂單1的服務(wù)能力γ1很少使用，故γ1的增加對兩類策略下成本差異的影響較小。相反優(yōu)先權(quán)服務(wù)策略下，會盡可能多生產(chǎn)產(chǎn)品2，故產(chǎn)品1庫存持有成本h1的影響也較小，但是由于產(chǎn)品1庫存始終存在，故h1的影響相對γ1較大。而當b1增加時，由于服務(wù)訂單1的到達率固定而采用相反優(yōu)先權(quán)服務(wù)策略（始終盡可能服務(wù)訂單2），此時隊列1會較長，而生產(chǎn)策略無法協(xié)同以減少隊列1長度，故隊列1等待成本b1增加導(dǎo)致兩類策略下成本差異最大。

3.3 啟發(fā)式服務(wù)策略與最優(yōu)動態(tài)服務(wù)策略對比

基于定理1、2，給出一種形式簡潔的啟發(fā)式服務(wù)策略。然后對該啟發(fā)式策略的性能與最優(yōu)動態(tài)策略的性能對比。對于構(gòu)成整個狀態(tài)空間的4 個子區(qū)域：

定理1、2給出了前3個子區(qū)域中的最優(yōu)服務(wù)策略。第4個子區(qū)域｛x|x1＞0，y1=0，x2y2＞0｝中的最優(yōu)服務(wù)策略無法解析證明得到，但是當系統(tǒng)狀態(tài)在該區(qū)域中時，無法服務(wù)第1類訂單而第2類訂單在等待，故定義該子區(qū)域中的服務(wù)策略為服務(wù)第2類訂單?；诖?，整個狀態(tài)空間中4 個子區(qū)域中的服務(wù)策略全部確定。為了便于管理者在實踐中對服務(wù)能力分配策略進行實施，也為了策略形式簡單，定義啟發(fā)式服務(wù)能力分配策略Hs：

定義3若γ1（h1+b1）＞γ2（h2+b2），Hs由以下規(guī)則確定：

當x1y1＞0時，服務(wù)第1類訂單；當x1y1=0，x2y2＞0時，服務(wù)第2類訂單；當x1y1=x2y2=0時，停止服務(wù)。

當服務(wù)策略為定義3所給出的策略時，管理者只需對生產(chǎn)行動進行選擇，求解最優(yōu)成本的動態(tài)規(guī)劃方程為以下最優(yōu)化方程：

生產(chǎn)算子和服務(wù)算子分別為：

稱以上生產(chǎn)和服務(wù)能力分配策略為DHs策略，由于DHs策略在確定最優(yōu)生產(chǎn)策略時服務(wù)策略已給定，而且該服務(wù)雖然在絕大多數(shù)情形下是集中決策下的最優(yōu)策略，但并非協(xié)同管理下的最優(yōu)策略。故問題（5）求得的最優(yōu)生產(chǎn)策略也是非協(xié)同管理下的最優(yōu)生產(chǎn)策略。

理論意義上，系統(tǒng)的最優(yōu)策略應(yīng)是完全動態(tài)的，系統(tǒng)管理者在任何時刻不僅需要對生產(chǎn)行動進行選擇，也需對服務(wù)行動進行選擇，下面給出動態(tài)策略的定義。

定義4最優(yōu)動態(tài)策略是指使得系統(tǒng)總成本

在無限時域上最優(yōu)的策略。

由于問題的復(fù)雜性，文獻[13]中已經(jīng)證明最優(yōu)動態(tài)策略的形式無法通過解析方式得到。故最優(yōu)動態(tài)策略滿足以下最優(yōu)化方程：

生產(chǎn)算子TpJ（x）與式（6）相同，服務(wù)算子

稱以上能力分配策略為DD 策略。通過數(shù)值實驗對DHs策略與完全動態(tài)協(xié)同的DD 策略的性能進行對比，實驗結(jié)果顯示，最優(yōu)服務(wù)策略結(jié)合動態(tài)生產(chǎn)策略的性能非常好，大多數(shù)情形下幾乎與協(xié)同下的DD管理策略性能相當。對于實際數(shù)值計算結(jié)果，例如在參數(shù)環(huán)境γ1=γ2=1，λ1=λ2=0.2，μ1=μ2=0.8，h1=2，h2=1，b1=b2=30下，DHs與DD策略下系統(tǒng)成本誤差百分比為0.000 362%；在γ1=γ2=1，λ1=λ2=0.2，μ1=μ2=0.8，h1=1，h2=1，b1=50，b2=30下，則為0.003 534%，以上誤差均可忽略不計，說明提出的服務(wù)策略Hs具有很高的近似性，而且形式簡單，對于企業(yè)管理者易于執(zhí)行和實施。綜上所述，固定優(yōu)先權(quán)的服務(wù)策略性能很高、形式簡單，是最優(yōu)協(xié)同服務(wù)策略的很好近似。而且DHs策略相對于DD 策略，由于任何時刻可選擇的行動為DD 策略可選擇行動個數(shù)的1/3，計算時間可大幅縮短。

4 結(jié) 語

研究了具有兩類產(chǎn)品和訂單的生產(chǎn)服務(wù)系統(tǒng)的服務(wù)能力分配問題，在同時考慮產(chǎn)品庫存和服務(wù)訂單數(shù)量的集中決策情形下，證明了最優(yōu)服務(wù)策略為指標型固定優(yōu)先權(quán)策略：即若有可能，始終服務(wù)單位時間節(jié)省成本較大的一類服務(wù)訂單。該最優(yōu)策略不同于傳統(tǒng)服務(wù)系統(tǒng)的最優(yōu)策略，體現(xiàn)了生產(chǎn)服務(wù)系統(tǒng)中庫存和服務(wù)訂單同時并存的主要特征。拓展后的指標型最優(yōu)服務(wù)策略不僅考慮了服務(wù)部分的因素，也體現(xiàn)了生產(chǎn)庫存系統(tǒng)中產(chǎn)品庫存持有成本，為綜合型的指標型固定優(yōu)先權(quán)服務(wù)策略。因此，拓展了已有文獻對最優(yōu)服務(wù)策略的研究。最后，通過數(shù)值實驗說明了最優(yōu)服務(wù)策略相對于傳統(tǒng)服務(wù)系統(tǒng)中最優(yōu)服務(wù)策略和相反優(yōu)先權(quán)服務(wù)策略的優(yōu)越性，通過與最優(yōu)協(xié)同動態(tài)策略的對比，說明了本研究得到的最優(yōu)策略的有效性。本研究只給出了生產(chǎn)服務(wù)系統(tǒng)中服務(wù)能力的分配策略，對生產(chǎn)能力的分配只是通過數(shù)值實驗實現(xiàn)，未解析地得到策略類型的特征和一般表述，而相關(guān)文獻已指出最優(yōu)生產(chǎn)能力分配策略無法得到。所以，將來的研究中可設(shè)計有效的啟發(fā)式生產(chǎn)能力分配策略，以實現(xiàn)對生產(chǎn)服務(wù)系統(tǒng)中生產(chǎn)能力的高效分配。