一類與奇、偶項討論相關(guān)的數(shù)列問題探討

◇ 江蘇 毛 群

一類與奇、偶項討論相關(guān)的數(shù)列問題探討

◇ 江蘇 毛 群

數(shù)列作為一類特殊的函數(shù),與連續(xù)函數(shù)不同,因為其離散性可能會出現(xiàn)跳變現(xiàn)象,即數(shù)列中元素的值隨著項數(shù)的變化忽正忽負,進而呈現(xiàn)出一種獨特的規(guī)律.有一類與數(shù)列奇、偶項有關(guān)的問題,特別受到各種調(diào)研考試命題人的青睞,被呈現(xiàn)在廣大學(xué)子的面前.因此有必要對這類問題進行梳理,覓得其中的規(guī)律,以幫助學(xué)生理清這類問題的本質(zhì).

1 起源:一道練習(xí)題引發(fā)的興趣

能夠激發(fā)數(shù)學(xué)研究興趣的問題,并不一定是某次調(diào)研考試的壓軸大題,或許在不經(jīng)意間遇到的一道小題也能點燃我們思維的火花.本文的研究主題恰恰就是源自于一道不起眼的填空題.

例1 12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2的值為________.

表面看本題的結(jié)論應(yīng)當(dāng)是一個關(guān)于n的表達式,但問題是當(dāng)n取不同的值時最后一項呈現(xiàn)出的正、負不同.再仔細審題,可以發(fā)現(xiàn)表達式中各項實則為對應(yīng)自然數(shù)的平方,而其系數(shù)呈現(xiàn)出正、負交替的規(guī)律.結(jié)合這一特點,從數(shù)列的視角本題可以看成某數(shù)列的前n項求和.不妨設(shè)數(shù)列為{an},則其通項為an＝(－1)n＋1n2,當(dāng)n取奇數(shù)時an為正,當(dāng)n取偶數(shù)時,an為負.因此可以斷定本題應(yīng)對n的取值為奇或偶進行討論,結(jié)論寫分段形式.

當(dāng)n為偶數(shù)時,原式為

當(dāng)n為奇數(shù)時,則n－1為偶數(shù),原式為

反思:解決這個問題的關(guān)鍵是學(xué)生在頭腦中應(yīng)當(dāng)清醒地認(rèn)識到這是一個數(shù)列問題,應(yīng)當(dāng)以數(shù)列的視角來考慮它.

對于例1,其中有很多地方值得我們深思.首先,如何來捕捉題目中數(shù)列的影子;其次,如何來挖掘列數(shù)中隱藏的數(shù)字規(guī)律;最后,奇、偶討論時,如何能夠簡化問題的運算量.帶著這樣的問題,筆者研究了大量這種類型的問題,梳理了如下的理論分析.

2 發(fā)展:奇、偶項討論的分析

帶著上述3個問題,我們再次研究例1:1)問題情境并未明示這是一道數(shù)列題,但觀察可以發(fā)現(xiàn)這是一組極有規(guī)律的數(shù),與數(shù)列定義極為符合,因此考慮以數(shù)列手段處理;2)觀察發(fā)現(xiàn)此數(shù)列呈現(xiàn)的規(guī)律是自然數(shù)的平方,并且正、負相間(與(－1)n有關(guān)),因此考慮分奇、偶討論;3)在奇、偶討論時,當(dāng)n為奇數(shù)時,則n－1必然為偶數(shù),因此可以先討論n為偶數(shù)的結(jié)論表達式Tn,在討論n為奇數(shù)時,以Tn＝Tn－1＋an為橋梁,用n－1代替偶數(shù)項結(jié)論表達式中的n,可以簡化計算.

通過上述分析,可以歸納奇、偶討論類型問題的一般規(guī)律.首先,在一般情況下,問題情境通過“數(shù)列”的字眼明示.若問題情境未明示數(shù)列問題,可以通過數(shù)列的定義來判斷.數(shù)列的定義告訴我們,一列有序的數(shù)是數(shù)列,它是以正整數(shù)集為定義域的一類特殊的函數(shù)(離散型函數(shù)).當(dāng)題設(shè)中呈現(xiàn)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出以正整數(shù)n為變量的離散型函數(shù)時,可以考慮以數(shù)列的方法來處理這類問題.其次,正如數(shù)列的定義所言:數(shù)列是一種特殊的函數(shù),其函數(shù)表達式(數(shù)列中被稱為通項公式)是表現(xiàn)整列數(shù)字規(guī)律的一個窗口,因此,確定數(shù)列的通項公式是挖掘一列數(shù)內(nèi)在規(guī)律的重要手段.而需要進行奇、偶討論的問題中數(shù)列的通項公式常常表現(xiàn)出與(－1)n相關(guān)的結(jié)構(gòu)特征.最后,在進行奇、偶項討論時,先以n為偶數(shù)求解結(jié)論表達式,在討論n為奇數(shù)時,以n－1代替上述表達式中的n,再加上第n項,可減少計算量.

3 后續(xù):理論指導(dǎo)下的問題解決

(1)求數(shù)列{an}的通項公式;

(2)設(shè)Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…＋(－1)n－1anan＋1,若Tn≥tn2對任意n∈N?恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

綜上,對于與－1的n次冪有關(guān)的數(shù)列問題,求解的關(guān)鍵是分n為奇數(shù)或偶數(shù)進行討論.

江蘇省江都中學(xué))