基于高中數(shù)學(xué)問題解題中圓錐曲線定義的應(yīng)用分析

溫益朋

（江門市江海區(qū)禮樂中學(xué) 廣東江門 529060）

基于高中數(shù)學(xué)問題解題中圓錐曲線定義的應(yīng)用分析

溫益朋

（江門市江海區(qū)禮樂中學(xué) 廣東江門 529060）

圓錐曲線知識是貫穿高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要部分，而圓錐曲線定義是數(shù)學(xué)解題中極其重要的理論依據(jù)。圓錐曲線的方程和性質(zhì)是根據(jù)圓錐曲線定義推理出來的，掌握好圓錐曲線定義能夠提高解題的效率，在高中教學(xué)中，教師應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的舉一反三的學(xué)習(xí)能力，本文對高中數(shù)學(xué)問題解題中圓錐曲線定義的應(yīng)用進(jìn)行了探討。

高中教學(xué) 應(yīng)用 教學(xué)建議

在當(dāng)今的應(yīng)試教育中，高中學(xué)生普遍采用的方法就是題海戰(zhàn)術(shù)，學(xué)生們通過大量的做題來提高學(xué)習(xí)成績，然而并沒有掌握真正的方法，只是一味的模仿和套用，許多學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容比較吃力，因為他們沒有掌握解題思路，對圓錐曲線的定義熟練程度還不夠，形不成一套完整的解題方式。圓錐曲線定義的學(xué)習(xí)是高中的要點，也是教學(xué)中的難點。

圓錐曲線定義中主要是利用雙曲線定義、橢圓定義中的性質(zhì)，通過分析圓錐曲線上的點與兩個焦點之間的關(guān)系來尋找解題的關(guān)鍵，某點的運(yùn)動軌跡是雙曲線、橢圓或者是拋物線是由兩者的關(guān)系而決定的。要想達(dá)到快速的解題效果，就必須對雙曲線、橢圓、拋物線等定義進(jìn)行深入的學(xué)習(xí)和熟練的掌握。在高中數(shù)學(xué)解題中圓錐曲線定義的應(yīng)用是想讓學(xué)生建立等價轉(zhuǎn)換的意識，在解題中注意數(shù)形結(jié)合，從圓錐曲線的定義著手，尋找解題思路。

一、圓錐曲線的定義在解題中的運(yùn)用

1.圓錐曲線的定義在離心率中的運(yùn)用

圓錐曲線重要的性質(zhì)就是離心率，研究離心率是研究圓錐曲線的前提。在高中數(shù)學(xué)題目中，有很多題目是對離心率的考查，主要是考查離心率的范圍和離心率的值，所以學(xué)生們應(yīng)該要特別關(guān)注圓錐曲線中離心率問題；無論是求離心率的范圍還是數(shù)據(jù)值，都是與圓錐曲線的定義不可分的。

學(xué)生在遇到這類題目時，要明確自己的解題思路，根據(jù)圓錐曲線的定義，運(yùn)用簡單的步驟簡化題目，得到正確的答案［1］；另一種方法就是利用相應(yīng)的解題技巧，靈活得運(yùn)用“通徑”的基本知識，把題目化繁為簡，進(jìn)行計算。針對不同的題目，學(xué)生們要采取不同的解決方法，將題目化繁為簡，經(jīng)過一定時間的運(yùn)算，最終得到正確的結(jié)果。

2.利用圓錐曲線的定義求軌跡方程

參數(shù)法、直譯法、定義法和相關(guān)點法都是求圓錐曲線軌跡方程的方法，其中最常用的就是結(jié)合圓錐曲線的定義進(jìn)行求解。定義法就是利用圓錐曲線的定義通過觀察曲線運(yùn)動的軌跡和運(yùn)動特點來判斷是橢圓、拋物線還是雙曲線，最后確定其中的參數(shù)和方程的形式，得到正確的結(jié)果。例如已知兩個半徑為圓和，它們的圓心距為a，另有一動圓和內(nèi)切，與外切，求動圓圓心的軌跡方程，并判斷是哪種圓錐曲線，類似的問題，主要是運(yùn)用圓錐曲線的定義來求解，解題時要建立一直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)系的原點為和的中點，x軸為和所在的直線，建立好坐標(biāo)系之后，得到和的坐標(biāo)，設(shè)動圓的半徑是r，由和內(nèi)切得的值，由和外切可得的值，然后根據(jù)他們之間的相互關(guān)系求得的軌跡方程，最終確定這個軌跡，利用圓錐解題，思路比較簡單，下面舉兩個例子來說明

例2：如圖1，已知F1，F(xiàn)2是橢圓上的左右焦點，P是橢圓上的任意一點，從點F1引∠F1P F2的外角平分線的垂線，求垂足Q的軌跡。

解：延長F1Q，F(xiàn)2P，相交于點A，在等腰三角形中

確定垂足為Q的軌跡為圓，這是常見的考試應(yīng)用題目。

3.利用圓錐曲線的定義求焦點三角形

在圓錐曲線中，常有一大部分題目是求解焦點三角形的面積，這類題目需要學(xué)生們加以總結(jié)和分類，形成自己完整的解題思路，例如：

已知P為某一雙曲線上任意一點，雙曲線中的a、b均大于0，求三角形的面積。

解析：解答這種題目，需要熟悉圓錐曲線的定義，還要對正弦定理有所了解，根據(jù)正弦定理以及雙曲線的定義可以得到以下式子：

最終得到的三角形面積如以上步驟。

4.利用定義進(jìn)行證明題的解答

在有關(guān)圓錐曲線的題目中，除了大部分的求解軌跡方程之外，證明題也是高中數(shù)學(xué)中常遇見的問題，其中有求證橢圓的焦點弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相離，如果換成曲線的話，就是圓與相應(yīng)的準(zhǔn)線相交。對這類題目進(jìn)行解答時，應(yīng)該掌握好圓錐曲線的第二定義，然后在根據(jù)對第二定義的熟知下進(jìn)行證明，下面就是對這種類型例題的分析。

一拋物線的表達(dá)方式為：y2=2px，過它的焦點F作一條直線x=p與拋物線相交于A1和A2兩點，證明以A1A2為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切。

解析：把握拋物線的定義是解答這類題目的前提，然后再根據(jù)平面幾何知識進(jìn)行分析，首先設(shè)A1A2中點是M，然后過這三個點分別做垂線，垂足為C1、C2、C3，只有作圖之后才能快速的解題，根據(jù)垂足之間的關(guān)系，能夠判斷出以A1A2為直徑的圓的半徑是MC3，從而得到與MC3與P相交的垂線，最后才能得到與拋物線的準(zhǔn)線相切。

在解答這種題目時熟練掌握圓錐曲線的定義是關(guān)鍵，然后再根據(jù)三角函數(shù)等知識，可以快速算出準(zhǔn)線、焦點三角形等一些數(shù)據(jù)值，極大得縮短了做題的時間。

二、圓錐曲線教學(xué)中的思維策略

在學(xué)生學(xué)習(xí)圓錐曲線類的知識時，思維常常是混亂的，有時候讓學(xué)生們找不到頭緒，甚至害怕；教師可以培養(yǎng)學(xué)生利用“數(shù)形結(jié)合”的思維方式，將復(fù)雜的問題簡單化，將試卷上的文本變成圖像呈現(xiàn)出來，就有利于找出的解決辦法。在做圓錐曲線類的題目中，不畫出圖，可能會導(dǎo)致結(jié)果不會全面、不夠準(zhǔn)確，而利用“數(shù)形結(jié)合”的方法可以迅速找到解答的方法。

在教學(xué)中過程中，需要學(xué)生運(yùn)用數(shù)字和圖形的結(jié)合［3］，掌握這種方法并能熟練的運(yùn)用。

結(jié)束語

圓錐曲線是高中重點考查的題目，學(xué)生要真正把自己掌握的知識遷移到題目中去，需要加強(qiáng)練習(xí)。圓錐曲線之所以在高中題目中占有大部分的內(nèi)容是因為圓錐曲線在軍事、測量、建筑、機(jī)械、天體運(yùn)動都有普遍的運(yùn)用，圓錐曲線對實際生活中的探究發(fā)揮著重要的作用，所以學(xué)生們要加強(qiáng)學(xué)習(xí)力度，為在現(xiàn)實生活中的運(yùn)用奠定基礎(chǔ)。學(xué)生在學(xué)習(xí)中要熟知圓錐曲線的定義，利用圓錐曲線的性質(zhì)靈活的解決問題，從而提高自我的思維能力。

［1］常云.理科考試研究［J］.圓錐曲線定義在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.2014.03（28）：25-27.

［2］王新.科技視界［J］.淺談圓錐曲線的性質(zhì)及推廣應(yīng)用.2013.01（02）： 35-36

［3］柳秀紅.成功教育［J］高中學(xué)生教學(xué)思維障礙的成因及突破.2013.07（03）：45-46