閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的推廣

曹小輝　鐘駒超

摘 要：連續(xù)函數(shù)是數(shù)學分析教材中的重要內(nèi)容，其重點研究的是閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)，如：有界性、介值性及一致連續(xù)性等；然而在實際的應用中我們更為常見的是連續(xù)函數(shù)性質(zhì)在一般區(qū)間上的相關應用，因此本文試想將閉區(qū)間改成一般區(qū)間（開區(qū)間，半開半閉區(qū)間，無限區(qū)間）后再增加一些條件來使得閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的一些性質(zhì)得以保留.

關鍵詞：函數(shù)的連續(xù)性 一般區(qū)間 推廣

一、引言

一元連續(xù)函數(shù)性質(zhì)是數(shù)學分析中微分學理論的一大基礎，運用可謂是相當?shù)膹V泛靈活。其中，連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的基本性質(zhì)有：有界性、最大最小值、介值性、一致連續(xù)性等。在進行大量的題海中，發(fā)現(xiàn)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)應用更為廣泛的是開區(qū)間和無限區(qū)間上的運用，因此我們可依據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)推廣到開區(qū)間和無窮區(qū)間上連續(xù)性質(zhì)的應用，使得連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)趨向一般性，更為方便靈活巧妙應用.本文主要證明了閉區(qū)間上連續(xù)性質(zhì)推廣到開區(qū)間和無限區(qū)間上，并用獨特的方法對推廣的性質(zhì)進行了嚴格的證明，緊接著列舉了一些相關典型的例題來加深我們對其的理解與掌握.我們知道開區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)跟閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的根本差別在于，其左端點的右極限和右端點的左極限是否存在.在最值性、介值性和一致連續(xù)性定理的討論中，我們特別強調(diào)閉區(qū)間條件所起的作用，而這些性質(zhì)在開區(qū)間不成立的原因就在于端點處的極限不存在，所以我們可以通過加強開區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的條件，使其相應的極限都存在，這樣我們便可以像討論閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)那樣直接應用。

下面是本文將用到的一些基本概念和性質(zhì)：

定義1 （函數(shù)在點x0連續(xù)性）：設函數(shù)f在某U（x0）上有定義，若，則稱f在點x0處連續(xù)。定義2 （區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)）若函數(shù)f在區(qū)間I上每一點都連續(xù)，則稱函數(shù)f在區(qū)間I上連續(xù)函數(shù)。引理1 （有界性定理）若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，那么f（x）在閉區(qū)間[a，b]上有界.引理2 （最大、最小值定理）若函數(shù)f在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f在[a，b]上有最大值與最小值.引理3 （介值性定理）設函數(shù)f在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（a）≠f（b）.若m為介于f（a）與f（b）之間的任何實數(shù)（f（a）m>f（b）），則至少存在一點x0∈（a，b），使得f（x0）=m.引理4 （一致連續(xù)性定理）若函數(shù)f在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f在[a，b]上一致連續(xù).

二、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)推廣到一般區(qū)間上

1.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)推廣到開區(qū)間上。

設f在開區(qū)間（a，b）上連續(xù)函數(shù)，本節(jié)中我們證明函數(shù)f在（a，b）上整體連續(xù)性質(zhì)推廣。

定理1 （有界性推廣） 若函數(shù)f（x）在（a，b）上連續(xù)，與存在且為有限值，則f（x）在（a，b）上有界.

證明 因為函數(shù)f（x）在（a，b）上連續(xù)，并且與且A、B為有限值， 則我們可以得到g（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性定理得，g（x）在閉區(qū)間[a，b]上有界，故g（x）在開區(qū)間（a，b）上有界，并且在（a，b）上有g（x）=f（x），所以f（x）在（a，b）上有界.

類似證明方法可得如下推論：

推論1（最值性推廣） 若函數(shù)f（x）在（a，b）上連續(xù)，與存在且為有限值，則f（x）在[a，b）上有最大、最小值.

定理2 （介值性推廣）設f（x）在開區(qū)間（a，b）上連續(xù)，，

，其中A、B為有限數(shù)且A≠B，若μ為介于A，B之間的任意實數(shù)，則至少存在一點ζ∈（a，b），使得f（ζ）=μ.

證明 因為函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）上連續(xù)并且， 所以δ1>0，δ2>0，對任意的x∈（a，a+δ1）有f（x）

又x∈（b-δ2，b）有f（x）>B

即存在X1∈（a，a+δ1），X2∈（b-δ，b）使得f（x1）

定理3（一致連續(xù)性推廣）函數(shù)f（x）在（a，b）上連續(xù)，則f（a+0）與f（b-0）存在且為有限數(shù)，則f（x）在（a，b）上一致連續(xù).

證明

又f（x）在（a，b）上連續(xù)，則f（x）在[a+δ1，b-δ2]上一致連續(xù)；

取，使得，故f（x）在（a，b）上一致連續(xù).

2.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)推廣到開無窮區(qū)間上。

設f在無窮區(qū)間（a，+∞）或（-∞，+∞）上連續(xù)函數(shù)，本節(jié)中我們證明函數(shù)f在無窮區(qū)間上連續(xù)的整體性質(zhì)推廣。

定理4 （有界性2） 若函數(shù)在（a，+∞）上連續(xù)，與存在并且為有限值，則f（x）在（a，+∞）上有界.

證明：因為存在并且為有限值，所以不妨設，則有對ζ1>0，使得當x>x1時恒有ζ1，即有ζ1.由存在并且為有限值，所以不妨設，則有對ζ2>0，使得當x>x2時恒有ζ2，即有ζ2.因為f（x）在（a，+∞）上連續(xù)，所以f（x）在閉區(qū)間[x1，x2]上連續(xù)，則由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性可以得到對有.再取，則對x∈（a，+∞），無論x∈（a，x1]還是x∈（x1，x2]或是x∈[x2，+∞]都有，即f（x）在（a，+∞）上有界.

定理5（介值性2） 設f（x）在區(qū)間[a，+∞]上連續(xù)，，其中K為有限數(shù)且，則對介于f（a）與K之間的任何實數(shù)μ，在[a，+∞）上至少存在一點ζ，使得f（ζ）=μ.

證明：因為f（x）在區(qū)間（a，+∞）上連續(xù)，則由連續(xù)函數(shù)最值性定理的推廣可知f（x）在區(qū)間（a，+∞）上有最小值m和最大值M，即存在使得f（x1）=m，f（x2）=M對有，不妨設f（a）K同理可證）對任何滿足f（a）<μ

定理6（一致連續(xù)推廣） 函數(shù)f（x）在[a，+∞）上連續(xù)，且存在且為有限數(shù)，則f（x）在[a，+∞）上一致連續(xù).

證明 下面將[a，+∞）分成[a，M+1]和（M，+∞）兩段：由f（x）在[a，+∞）上連續(xù)知，f（x）在[a，M+1]上連續(xù)，從而f（x）在[a，M+1]上一致連續(xù).即任意ε>0，存在δ1>0，當且δ1時，有ε成立.即對[a，M+1]內(nèi)任意兩個x1，x2，只要δ1就有ε成立.取，對任意的，當δ時.x1，x2或者同時在第一段[a，M+1]內(nèi)，或同時在第二段（M，+∞）內(nèi).則由前面的證明知，總有ε成立.故f（x）在[a，+∞）上一致連續(xù).

例3 設f（x）在[0，+∞）上一致連續(xù)，有，其中，證明

證明 已知f（x）在[0，+∞）上一致連續(xù)，即，

現(xiàn)在取使得δ，令，由，可得當

再令，對有ε，當以及n>N使得x=x0+n，此時也有使得，

即δ. 故ε，即有.

三、 結(jié)語

通過本文的論證我們可以知道其實連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的一些基本性質(zhì)是可以推廣到一般區(qū)間上的，只要我們適當?shù)募由弦恍l件即可.文中推廣的定理都有嚴謹?shù)倪壿嬐评碜C明過程，進而使得連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)的推廣得到了充分的展現(xiàn).

參考文獻：

[1]華東師范大學數(shù)學系. 數(shù)學分析[M]. 上冊. 第四版. 北京： 高等教育出版社.2010.7.

[2]劉三陽. 李廣民. 數(shù)學分析十講. 北京： 科學出版社.2007.6.

※基金項目：項目名稱：廣西重點培育學科—應用數(shù)學，項目編號：SXZD2014004.