正規(guī)化子較小的有限p群

趙立博

(廣東第二師范學院 數(shù)學系, 廣東 廣州 510303)

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正規(guī)化子較小的有限p群

趙立博

(廣東第二師范學院 數(shù)學系, 廣東 廣州 510303)

摘要:對滿足條件“對任意非正規(guī)的循環(huán)子群H,都有NG(H)/H循環(huán)”的有限p群G進行研究，當p>2時，給出此類群的完全分類；當p=2時，列舉一些群例.

關鍵詞:有限p群；正規(guī)化子；亞循環(huán)p群；極大類3群

0引言

設G為有限p群.若H是G的真子群，則H是其正規(guī)化子的真子群.換句話說，即|NG(H)/H|≥p. 若H?G，則NG(H)=G，即|NG(H)/H|=|G/H|. 若H為非正規(guī)子群，則p≤|NG(H)/H|<|G/H|.很自然地，就有下面的問題:

設G為有限p群，對G的任意非正規(guī)子群，有|NG(H)/H|=p，則G結構如何？

上述問題是由Berkovich在文[1]的問題116中提出.文[2-3]完全分類了滿足上述條件的有限p群.接著就有下面的問題：

設G為有限p群，對G中所有非正規(guī)循環(huán)子群H，有|NG(H)/H|≤p2，則G結構如何？

文[4]對此類群進行了研究，并給出了奇數(shù)階群的分類.

以上都是從NG(H)/H的階的角度描述較小的正規(guī)化子，本文主要從NG(H)/H的生成元的角度考慮較小的正規(guī)化子，即研究滿足下面條件(*)的有限p群.

條件(*)： 對任意非正規(guī)的循環(huán)子群H,都有NG(H)/H循環(huán).

當p>2時，給出了滿足條件(*)的有限p群的完全分類.當p=2時，情況比較復雜，我們將在另外一篇文章中詳細討論，在此只給出一些群例.

1預備知識

首先介紹本文涉及到的概念以及記號.

稱有限p群G為內(nèi)交換群，若G本身不交換，但其真子群都交換.

令G為pn階群,n≥3.稱群G為極大類p群，如果G的冪零類等于n-1. 假定n≥4,令G>G′=G2>G3>…>Gn=1為G的下中心群群列。對于i=2,3,…,n-2，稱CG(Gi/Gi+2)為G的二步中心化子群,并令G1=CG(G2/G4).

設G為有限p群，d(G)表示G的生成元個數(shù)；令rank(G)=max{logp|E||E≤G,E初等交換}，稱之為G的秩；令rn(G)=max{logp|E||E初等交換且為G的正規(guī)子群}，稱之為G的正規(guī)秩.

下面羅列出本文論證過程中用到的一些結論.

引理1[5]69設G為有限p群，則下列命題等價：

(i)G為內(nèi)交換群；

(ii)d(G)=2且|G′|=p；

(iii)d(G)=2且Z(G)=Φ(G).

引理2[5]70設G為內(nèi)交換p群，則G為下列群之一：

(i)Q8；

(ii)Mp(n,m)∶=,n≥2,m≥1;

(iii)Mp(n,m,1)∶=,

其中n≥m≥1.

引理3[5]74設G為極大類p群，且|G|=pn.若p>2且n>3，則G沒有p2階的非循環(huán)正規(guī)子群.

引理4[5]231設G是階為3n(其中n≥5)極大類3群，則它的二步中心化子群G1是交換群或者是亞循環(huán)的內(nèi)交換群.

引理5[6]設G是階為pn(其中n≥5)極大類p群且p>2.若rn(G)=2，則G為下列群之一：

(i)亞循環(huán)群；

(ii)G?Mp(1,1,1)*Cpn-2；

(iii)階大于34的極大類3群；

(iv)G=,i=1或某一固定的模p平方非剩余.

2滿足條件(*)的有限p群

我們首先對亞循環(huán)群和內(nèi)交換進行研究，得到以下兩個命題：

命題1設G為亞循環(huán)p群，p>2.若G滿足條件(*)，則G為交換群或內(nèi)交換群.

證明因為G為亞循環(huán)p群，p>2，所以G正則.若G非交換，則可設G=，且∩=1.下面分兩種情形討論.

命題2設G為內(nèi)交換p群.則G滿足條件(*)當且僅當G為Mp(m,n)或者Mp(1,1,1).

證明充分性：Mp(1,1,1)階為p3，顯然滿足條件(*)；若G?Mp(n,m)，對任意非正規(guī)子群，因Z(G)=Φ(G)，所以x?Φ(G)且NG()=?G.Φ(NG())≤Φ(G)，從而x?Φ(NG()).又因為G亞循環(huán)，所以NG()亞循環(huán).這樣就得到NG()/循環(huán).

必要性：由引理2知G只有三種類型.若G不同構于Mp(m,n)，則G?Mp(n,m,1)或Q8. 當G?Q8時，因Q8?M2(1,1,1)，命題顯然成立.若G?Mp(n,m,1)=時， 因為不正規(guī)，由條件(*)得NG()/循環(huán).又易知≤NG()，所以/循環(huán).于是有bp=1.同理可得ap=1.這樣就得到G?Mp(1,1,1).證畢.

下面我們研究一般的有限p群.

命題3設G滿足條件(*)，M≤G，則M也滿足條件(*).

證明對任意x∈M，若在M中不正規(guī)，則在G中不正規(guī).由條件(*)，知NG()/循環(huán).而NM()=NG()∩M，所以NM()/循環(huán).證畢.

命題4設G為有限p群，若G滿足條件(*)，則rank(G)≤2或者G為Dedekind群.

對任意的g∈G，有是交換群.若在G中不正規(guī)，由(*)知NG()/循環(huán).又≤NG()，從而有

H/∩H?/≤NG()/，

這樣就得到H/∩H循環(huán)，于是H極小生成元個數(shù)最多為2，矛盾.所以?G.進而G為Dedekind群.證畢.

3主要結果

由引理5，我們得到本文的主要結果：

定理1設G為非交換有限p群(其中p>2).若G滿足條件(*)，則G為下列群之一：

(i)Mp(1,1,1)；

(ii)Mp(n,m)，n≥2,m≥1；

(iii)G=,n≥4,i=1或某一固定的模p平方非剩余；

(iv)Mp(1,1,1)*Cpn-2；

(v).

證明當|G|=p3，易知所有的非交換子群都滿足條件(*). 當|G|=p4時，因為p2階非正規(guī)的循環(huán)子群的正規(guī)化子只能是p3的子群，所以只需考慮G中p階非正規(guī)子群.若H是p階非正規(guī)子群，則NG(H)/H循環(huán).檢驗文獻[5]82頁中的群，易知定理1成立.

當|G|>p4時，由命題4知，rank(G)=1或G為引理5中的群. 若rank(G)=1，則由[5] 66頁知G為循環(huán)群，與條件矛盾. 下面對引理5中的4類群進行檢驗.

若G為引理5中的(i)群，即亞循環(huán)群，由命題1、命題2知定理成立.

若G為引理5中的(ii)群，即G=對任意g∈G, 若在G中不正規(guī)，則g?≤Z(G).≤NG()是極大子群，從而NG()=.這樣就有NG()/=>循環(huán).即得(ii)群滿足條件(*).

定理1給出了p>2時，滿足條件(*)的有限p群的分類. 當p=2時，滿足條件的群類較多，結構比較復雜,我們將在另外一篇文章詳細討論. 事實上，當p=2時，可類似的證明，定理1中的(i),(iii)，(iv)類群，也是滿足條件(*)的.下面我們給出另外兩類滿足條件(*)的2群例.

例1G=滿足條件(*).

證明易知Z(G)=在G中的指數(shù)為p2，從而G滿足條件(*).證畢.

例2極大類2群滿足條件(*).

證明設G為極小階反例.對任意不正規(guī)循環(huán)子群，存在極大子群M，滿足NG()charM?G，即?G，矛盾.所以M只能是極大類2群.若?M，則存在i使得=Mi.又Mi循環(huán)，從而charMicharM?G，即得?G，矛盾.所以在M中不正規(guī).由極小階反例及命題3知NM()/循環(huán).又NM()=NG()∩M=NG()，于是有NG()/循環(huán).這樣就得到G滿足條件(*)，與G為極小階反例矛盾.證畢.

參考文獻：

[1] BERKOVICH Y. Groups of prime power order, volume I[M]. Berlin: Walter De Gruyter,2008: 446-447.[2] ZHANG Q H, GAO J. Normalizer of non-normal subgroup of finitep-groups[J]. J Korean Math Soc，2012,49(1):201-221.

[3] LI X H,ZHANG J Q. Finitep-groups with non-normal subgroups of indexpin their normalizers[J]. Communications in Algebra, 2011, 39(6):2037-2043.

[4] ZHANG X,GUO X. Finitep-groups whose non-normal cyclic subgroups have small index in their normalizers[J]. J Group Theory, 2012,15: 641-659.

[5] 徐明曜，曲海鵬.有限p群[M]. 北京: 北京大學出版社，2010.

[6] BLACKBURN N. Generalizations of certain elementary theorems onp-groups[J]. Proc London Math Soc,1961, 11: 142-143.

收稿日期：2016-02-02

基金項目：廣東第二師范學院教授博士科研專項經(jīng)費資助項目：2013ARF07.

作者簡介：趙立博，女，河北邢臺人，廣東第二師范學院數(shù)學系助教.

中圖分類號：O 152.2

文獻標識碼：A

文章編號：2095-3798(2016)03-0044-04

Finite p-groups with Small Normalizers

ZHAO Li-bo

(Department of Mathematics, Guangdong University of Education, Guangzhou,Guangdong, 510303, P. R. China)

Abstract:In this paper, we classify finite p-groups G such that NG(H)/H is cyclic for all non-normal cyclic subgroup H when p>2. If p=2, then we give some examples.

Key words:finite p-group; normalizer; meta-cyclic p-group; 3-group of maximal class