關(guān)于一個加強的Hardy-Hilbert型不等式及其逆式

楊必成

(廣東第二師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 廣東 廣州 510303)

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關(guān)于一個加強的Hardy-Hilbert型不等式及其逆式

楊必成

(廣東第二師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 廣東 廣州 510303)

摘要:引入獨立參數(shù), 應(yīng)用權(quán)系數(shù)的方法及Hermite-Hadamard不等式, 建立一個加強的具有最佳常數(shù)因子的Hardy-Hilbert型不等式,還考慮了其等價式與逆式.

關(guān)鍵詞:Hardy-Hilbert型不等式;參數(shù);權(quán)系數(shù);等價式;Hadamard不等式

0引言

(1)

不等式(1)在分析學(xué)中有重要的應(yīng)用(參閱文[2-5]).

(2)

當(dāng)μi=νi=1(i=1,2,…)時,式(2)變?yōu)槭?1) .

2015年,文[6]引入?yún)?shù)α,λ>0,推廣式(2)為:

(3)

(4)

本文引入獨立參數(shù),應(yīng)用權(quán)系數(shù)的方法及Hermite-Hadamard不等式,在式(3)的類似條件下,建立如下一個具有最佳常數(shù)因子的Hardy-Hilbert型不等式:

(5)

本文的主要目的是考慮式(5)的加強式、等價式及逆式.

1引理及例

(6)

例1設(shè)μ(t)∶=μm,t∈(m-1,m](m=1,2,…);v(t)∶=νn,t∈(n-1,n](n=1,2,…),

(7)

(8)

引理2定義如下權(quán)系數(shù)：

(9)

(10)

則有如下不等式:

(11)

(12)

(13)

由式(13),可得式(11)成立.同理,由對稱性,可證式(12)成立.證畢.

引理3我們還有如下權(quán)系數(shù)的不等式:

k(λ1)(1-θ1(λ2,m))<ω(λ2,m)(m∈N;0<λ2≤1,λ1>0),

(14)

k(λ1)(1-θ2(λ1,n))0),

(15)

(16)

故式(14)成立. 同理,由對稱性,知式(15)亦成立. 證畢.

引理4任ε>0,有

(17)

(18)

證明由遞減性質(zhì),我們有

故式(17)成立.同理,式(18)亦成立. 證畢.

引理5若p>1,則有如下等價不等式:

(20)

若0

證明配方,并由帶權(quán)的H?lder不等式[8]及式(10),式(9),有

(21)

(22)

(23)

(24)

故式(20)成立,且它與式(19)等價.

若0

2主要結(jié)果

(25)

(26)

這里,常數(shù)因子k(λ1)都為最佳值,θi(i=1,2)依引理2所示.

特別地,式(25),式(26)可導(dǎo)出具有最佳常數(shù)因子的式(5)及如下等價式:

(27)

證明在式(20),式(21)中應(yīng)用式(11),式(12),可得式(25)與(26)成立且等價.

若有正常數(shù)K≤k(λ1),使取代式(5)的常數(shù)因子k(λ1)后仍成立,則特別有

(28)

式(27)的常數(shù)因子必為最佳值.不然,由式(23)(置?α(λ1,n)=1),必導(dǎo)出式(5)的常數(shù)因子也不為最佳值的矛盾.易由反證法證得式(25)及式(26)的常數(shù)因子也為最佳值.證畢.

(29)

(30)

這里,常數(shù)因子k(λ1)都為最佳值,θi(i=1,2)依引理2所示.

特別地,式(29),式(30)可導(dǎo)出如下具有最佳常數(shù)因子的等價式:

(31)

(32)

若有正常數(shù)K≥k(λ1),使取代式(31)的常數(shù)因子k(λ1)后仍成立,則特別有

即有k(λ1)≥K(ε→0+). 故K=k(λ1)為式(31)的最佳值. 證畢.

(33)

(34)

這里,常數(shù)因子k(λ1)都為最佳值,θi(i=1,2)依引理2所示.

特別地,式(33),式(34)可導(dǎo)出如下具有最佳常數(shù)因子的等價式:

(35)

(36)

若有正常數(shù)K≥k(λ1),使取代式(35)的常數(shù)因子k(λ1)后仍成立,則特別有

即有k(λ1)≥K(ε→0+). 故K=k(λ1)為式(33)的最佳值. 證畢.

參考文獻(xiàn)：

[1]HARDYGH.NoteonatheoremofHilbertconcerningseriesofpositiveterms[J].ProceedingsLondonMathSoc, 1925, 23(2):RecordsofProcxlv-xlvi.

[2]HARDYGH,LITTLEWOODJE,POLYAG.Inequalities[M].Cambridge:CambridgeUniv.Press, 1952.

[3]MITRINOVIODS,PECARICJE,FINKAM,Inequalitiesinvolvingfunctionsandtheirintegralsandderivatives[M].Boston:KluwerAcaremicPublishers, 1991.

[4] 楊必成.算子范數(shù)與Hilbert型不等式[M].北京:科學(xué)出版社,2009.

[5]YANGBi-cheng.DiscreteHilbert-typeinequalities[M].Sharjah,TheUnitedArabEmirates:BenthamSciencePublishersLtd,2011.

[6] 楊必成. 一個推廣的Hardy-Hilbert型不等式[J].廣東第二師范學(xué)院學(xué)報,2015, 35(3): 1-7.

[7] 王竹溪,郭敦仁.特殊函數(shù)論[M].北京:科學(xué)出版社,1979.

[8] 匡繼昌.常用不等式[M].濟(jì)南:山東科技出版社,2004.

收稿日期：2015-12-03

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(61370186)

作者簡介：楊必成,男,廣東汕尾人,廣東第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)系教授.

中圖分類號：O 178

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：2095-3798(2016)03-0001-07

On a Strengthened Version of a Hardy-Hilbert-Type Inequality and the Reverses

YANG Bi-cheng

(Department of Mathematics, Guangdong University of Education,Guangzhou, Guangdong, 510303, P. R. China)

Abstract:By introducing independent parameters, and applying the way of weight coefficients and Hermite-Hadamard’s inequality, a strengthened version of a Hardy-Hilbert-type inequality with a best possible constant factor is proved. Furthermore, the equivalent form and the reverses are considered.

Key words:Hardy-Hilbert-type inequality; parameter; weight coefficient; equivalent form; Hermite-Hadamard’s inequality