基于不確定理論的風險中性測度及其在歐式期權定價中的應用

王國帥　趙佃立

摘要首先運用不確定理論推導了相應的不確定風險中性測度，修正了已有文獻中漲跌期權不滿足無套利原則的問題.然后將所得的風險中性測度用于歐式看漲和看跌期權的定價，并驗證了漲跌期權價格之間的平價關系.最后研究了一類利差期權的定價問題，結合定義的風險中性測度給出了期權的定價公式.所推導的不確定風險中性測度與經(jīng)典的無套利原則相吻合，而且考慮到了問題描述過程中存在的不精確性，彌補了單純依賴隨機理論的不足，可廣泛地應用于金融衍生品的定價過程，為投資分析提供一定的理論依據(jù).

關鍵詞應用數(shù)學；期權定價；風險中性測度；不確定理論；利差期權

中圖分類號F830.9O212. 1文獻標識碼A

AbstractBased on the uncertainty theory， the corresponding uncertainty risk neutral measure was derived firstly by using the risk free rate， which agrees with the noarbitrage principle. Then the established risk neutral measure was applied to price the European Call and Put options， and the parity relationship was verified. Finally， this paper gave the pricing formula for a Spread Option by the risk neutral measure. The derived risk neutral measure confirms the classical noarbitrage principle， takes into consideration the inaccuracy in the description process， and makes up for the inadequacy of stochastic pricing theory， which can be widely used in financial derivatives pricing and provides the reliable theoretical basis for investment analysis.

Key wordsapplied mathematic； option pricing； riskneutral measure； uncertainty theory； spread option

1引言

近年來，我國金融市場發(fā)展迅速，衍生品市場也在逐步完善，上證50ETF期權的上市標志著我國風險管理體系建設邁出了重要的一步.如何對期權進行合理定價將是本領域研究重要課題之一.期權定價研究主要集中在以Black、Scholes（1973）提出的BlackScholes定價公式為基礎，

建立更加符合實際的基礎資產(chǎn)模型和研究更加新穎的期權種類兩個方面.

這些傳統(tǒng)的定價方法都假設標的資產(chǎn)價格服從幾何布朗運動或者相關過程，進一步推出期權價格的關系式，如：肖慶憲、肖喻（2007）考慮了信用價差的動態(tài)模型并將其應用于期權定價問題[1]；Shi、Yang （2014）給出了含跳過程隨機波動模型的亞式期權定價[2]；袁國軍、肖慶憲（2014） 基于近似對沖的方法對亞式期權進行定價并進行了實證分析[3]；柯政、秦夢（2015）基于期權定價的保險精算方法研究了同質信念與BlackScholes公式定價偏差的關系[4]；evovi itňanská （2016）則討論了具有交易費用的非線性歐式期權定價問題[5]. 然而，現(xiàn)實中期權的價格依賴于復雜的社會環(huán)境，具有很大的不確定性，已有的模型和理論并不能給出完全解釋.近來，劉寶碇（2004）提出了一類不確定理論[6]，在處理人類行為的不確定性問題上具有優(yōu)勢，從而在一定程度上彌補了已有定價模型上存在的不足.因此本文將基于不確定理論來推導滿足無套利原則的風險中性測度，然后結合該測度求解幾類歐式期權的定價問題.

2問題的提出

首先列舉一些將要用到的不確定理論知識.

定義1設ξ是一個不確定變量，則其的不確定分布為：Φ（x）=M{ξ≤x}.

定義2設ξ是一個不確定變量，如果其分布函數(shù)滿足Φ（x）=（1+exp （π（e-x）3σ））-1.則稱其為正態(tài)不確定變量，記作ξ～N（e，σ），其中e和σ都是實數(shù)，且σ>0.

4結論

首先推導了基于不確定理論的風險中性測度.在該測度下，歐式看漲和看跌期權的價格滿足平價關系，說明了該風險中性測度與無套利原則定價相吻合.然后利用所求的測度建立了不確定環(huán)境下的利差期權定價模型.基于該風險中性測度的資產(chǎn)定價考慮了問題描述過程中存在的不精確性問題，彌補了單純依賴隨機理論進行定價的不足，所得結論更加貼近實際情況.所推導的不確定風險中性測度使得資產(chǎn)定價過程與經(jīng)典的無套利原則相吻合，為將不確定理論廣泛地應用于金融衍生品的定價過程提供了理論基礎，對實際投資分析具有一定的參考價值.

參考文獻

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