帶位勢的弱F-調和映照的單調公式

韓英波, 方聯(lián)銀, 李 靜

(信陽師范學院 數學與信息科學學院, 河南 信陽 464000)

0 引言

設F:[0,)→[0,)是二階可導函數,且在[0,)上F(0)=0，F′(t)>0.u:(Mm,g)→(Nn,h)是光滑映照.ARA[1]介紹了如下泛函:

這里|du|是映照u的Hilbert-Schmidt模長,其表達式如下:

其中{e1,…,em}是黎曼流形(M,g)上局部正交標架.稱u是弱F-調和映射,若對于任意一個緊致變分區(qū)域,u都是F-能量泛函的臨界點.目前已有很多關于F-調和映照的研究結果[2-6].

FARDON和RATTO[7]提出一個具體種類的廣義調和映照——帶位勢的調和映照.他們發(fā)現由于位勢的存在,帶位勢的調和映照具有一些與普通調和映照不同的性質.之后,又有許多帶位勢的調和映照[8,9]及帶位勢的p-調和映照[10]的相關結果.羅洋[11]給出了下面泛函:

其中H是Nn上的光滑函數.若對于任意緊致變分,u都是泛函EF,H(u)的變分的臨界點,則稱其為帶位勢的F-調和映照.利用應力-能量張量的方法,文獻[11]得到了一些單調公式及劉維爾型定理，并研究了以Rm+1中緊致超曲面為出發(fā)流形或目標流形的帶位勢的F-調和映照的穩(wěn)定性.

任何M的向量場X都有du(X)∈Γ(u-1TN).若X在M的內部具有緊致支撐集,則

du(X)∈Γ0(u-1TN).

定義1 設映照u:(Mm,g)→(Nn,h)是光滑映照.若對于任何X∈Γ0(TM),都有Ddu(X)EF,H(u)=0,則稱u為泛函EF,H(u)的帶位勢H的弱F-調和映照.

注1 由帶位勢H的F-調和映照和上面的定義1可知:帶位勢H的F-調和映照必為帶位勢H的弱F-調和映照,即帶位勢H的弱F-調和映照是帶位勢H的F-調和映照的推廣.

1 預備知識

τF,H(u)=τF(u)+NH°u,

其中

τ(u)=-δ(du).

引理1[11](第一變分公式) 設u:M→N是光滑映射,則有:

(1)

其中ψ=Γ0(u-1TN).

設u:M→N是從M到N的帶位勢H的弱F-調和映照.由引理1和帶位勢的弱F-調和映照定義可知:

即

(2)

其中X∈Γ0(TM).

引理2[2,12]若T是對稱的(0,2)型張量場,X是一個向量場,則有:

(4)

其中LX是相對度量g沿X方向的李導數.

ARA[1]引入了映射u關于F-能量泛函EF(u)的應力能量張量SF(u)

(5)

引理3[1]設u:(M,g)→(N,h)是從(M,g)到(N,h)的光滑映照,則有:

(divSF)(X)=-h(τF(u),du(X)),

(6)

其中X∈Γ(TM).

若u是帶位勢的弱F-調和映照,由式(2)和式(6)可得:

(7)

其中X∈Γ0(TM).由T=SF可得對于任意X∈Γ(TM)都有：

(8)

文獻[11]中的映射u關于F-能量泛函EF,H(u)的應力能量張量SF,H(u)為：

(9)

引理4[11]設u:(M,g)→(N,h)是從(M,g)到(N,h)的光滑映照,則有：

(divSF,H)(X)=-h(τF,H(u),du(X)),

(10)

其中X∈Γ(TM).

若u是帶位勢的弱F-調和映照,利用式(2)和式(10)可得：

(11)

其中X∈Γ0(TM).

由T=SF,H可知，對于任意X∈Γ0(TM)都有:

(12)

2 單調公式

設(M,g0)是有一個極點x0的完備黎曼流形.r(x)表示到極點x0的g0-距離函數,即

rx=distg0(x,x0).

設u:(Mm,g)→(N,h)是光滑映射,g=f2g0,0

(f2)存在常數C使得:

-dFmax{2,λmax}≥C,

其中dF為[2,5]:

本文假定dF是有限的.

h(N

由式(12)可得:

(13)

直接計算可得:

(14)

(15)

和

(16)

由式(14),(15),(16)及(f1),(f2)可得:

(17)

又由式(13)和式(17)可得:

(18)

取一個正數ε并設φ是在[0,)于是：

(19)

(20)

則有

(21)

由式(18)和式(21)可得：

故

因此有

其中0<ρ1<ρ2.由于suppξρ?B((1+ε)ρ)，故有:

令ε→0并注意到在B(ρ)上ξρ(r)=1,則可知定理結論成立.證畢.

定理2 設u:(M,f2g0)→(N,h)是帶位勢H的弱F-調和映照.若f滿足(f1),(f2)且H≤0(或

H|u(M)≤0),則

(22)

(23)

和

2dFmax{2,λmax})+

(24)

由式(22),(23),(24)以及(f1),(f2)可得:

(25)

又由式(12),(21),(25)可得:

從而有

因此

其中0<ρ1<ρ2.由于suppξρ?B((1+ε)ρ)故有:

令ε→0并注意到ξρ(r)=1,則可知定理結論成立.證畢.

引理5[2,3,15]設(Mm,g)是具有極點x0的完備黎曼流形.Kr表示M的徑向曲率.

(1)若-α2≤Kr≤-β2,且α≥β>0,(m-1)β-2dFα>0,則

((m-1)λmin+2-2dFmax{2,λmax})≥

((m-1)λmin+2-2dFmax{2,λmax})≥

((m-1)λmin+2-2dFmax{2,λmax})≥

定理3 設(Mm,g)是有極點x0的m維完備流形.設M的徑向曲率Kr滿足下列三種情形之一:

(1)若-α2≤Kr≤-β2,且α≥β>0,(m-1)β-2dFα>0;

(2)若

若u:(M,g)→(N,h)是帶位勢的弱F-調和映照,H∈C(M)且則:

其中0<ρ1<ρ2.

注2 定理3由f=1時定理1的證明及引理5即可得證.

定理4 設(Mm,g)是有極點x0的m維完備流形.設M的徑向曲率Kr滿足定理3的條件.u:(M,g)→(N,h)是帶位勢的弱F-調和映照,H∈C(M)且H≤0(或H|u(M)≤0),則:

其中0<ρ1<ρ2.Λ由定理3給出.

特別地,若

則u為常數.

注3 定理4由f=1時定理2的證明及引理5即可得證.

3 結論