橡膠壓電堆隔振系統(tǒng)參數(shù)最優(yōu)化反饋控制

劉　露， 裘進(jìn)浩， 季宏麗, 高　俊， 劉燦昌

(1. 南京航空航天大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,南京　210016；2. 山東理工大學(xué) 交通與車輛工程學(xué)院,山東　淄博　255049)

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橡膠壓電堆隔振系統(tǒng)參數(shù)最優(yōu)化反饋控制

劉露1,2， 裘進(jìn)浩1， 季宏麗1, 高俊1， 劉燦昌1,2

(1. 南京航空航天大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,南京210016；2. 山東理工大學(xué) 交通與車輛工程學(xué)院,山東淄博255049)

摘要：為了減小振動(dòng)對(duì)飛行器上儀器的影響，設(shè)計(jì)了一種橡膠和壓電堆相結(jié)合的主被動(dòng)一體化隔振器, 提出了一種基于遺傳算法并考慮系統(tǒng)穩(wěn)定性的反饋參數(shù)優(yōu)化方法，并對(duì)該系統(tǒng)的隔振效果進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。建立了該隔振器結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，通過實(shí)驗(yàn)對(duì)橡膠和壓電堆進(jìn)行參數(shù)識(shí)別。以系統(tǒng)的振動(dòng)傳遞率為目標(biāo)函數(shù)，考慮控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，以穩(wěn)定條件作為約束條件，應(yīng)用遺傳算法得到最優(yōu)化的速度反饋控制參數(shù)。搭建實(shí)驗(yàn)平臺(tái)并采用最優(yōu)化的控制方法進(jìn)行隔振控制實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，主被動(dòng)一體化隔振系統(tǒng)比單純的被動(dòng)隔振系統(tǒng)隔振效果好，而且在共振點(diǎn)附近減振效果最好。

關(guān)鍵詞：隔振；壓電堆作動(dòng)器；反饋控制；最優(yōu)化

隨著航空航天技術(shù)的發(fā)展，飛行器上的精密儀器對(duì)工作環(huán)境的要求也越來越高。為了減小飛行時(shí)振動(dòng)對(duì)這些儀器的影響，需要安裝隔振系統(tǒng)。隔振系統(tǒng)是在振源與系統(tǒng)之間采取一定措施，通過附加隔振器隔離振動(dòng)的傳遞。橡膠隔振器是一種應(yīng)用廣泛的被動(dòng)隔振器，它能有效地隔離高頻的振動(dòng)，但在共振頻率和低頻時(shí)的隔振效果差。為了克服被動(dòng)隔振的局限性，需要再應(yīng)用上主動(dòng)隔振。壓電堆作動(dòng)器具有反應(yīng)快，高作動(dòng)力，容易控制，能量消耗低的優(yōu)點(diǎn)。采用壓電堆作為主動(dòng)作動(dòng)器和橡膠套筒結(jié)合在一起，可以發(fā)揮各自的優(yōu)勢，取得更好的隔振效果。

國內(nèi)外學(xué)者對(duì)使用壓電堆作為主動(dòng)作動(dòng)器的隔振系統(tǒng)做了相關(guān)研究。Choi等[1]通過實(shí)驗(yàn)研究對(duì)比兩個(gè)壓電堆和橡膠套筒并聯(lián)的隔振器和單純的橡膠隔振器的隔振效果。Ichou等[2]通過實(shí)驗(yàn)研究了壓電堆和橡膠套筒串聯(lián)的隔振器比被動(dòng)橡膠隔振器能更有效地降低力傳遞率。Burdisso等[3-4]設(shè)計(jì)的壓電堆作動(dòng)器則是利用慣性質(zhì)量塊提高作動(dòng)力來減弱振動(dòng)的傳遞。李明明等[5]設(shè)計(jì)了使用壓電堆和黏彈性材料的整星隔振系統(tǒng)。這些研究設(shè)計(jì)的隔振結(jié)構(gòu)不適合用在飛行器機(jī)載精密儀器上，因?yàn)樗O(shè)計(jì)隔振器本身質(zhì)量和體積相對(duì)較大，占用空間較大。

王強(qiáng)等[6]設(shè)計(jì)了一種壓電堆橡膠組合隔振器并進(jìn)行了建模和仿真研究，仿真結(jié)果表明所設(shè)計(jì)的隔振器輸入不同的激勵(lì)信號(hào)都有較好的隔振效果。黃群等[7]以壓電堆為作動(dòng)器并安置于機(jī)載精密儀器結(jié)構(gòu)中，建立了結(jié)構(gòu)主動(dòng)隔振系統(tǒng)的模型，并用最優(yōu)控制理論的方法研究并進(jìn)行了仿真。但這些都只是進(jìn)行了仿真研究，并沒有通過實(shí)驗(yàn)對(duì)隔振效果進(jìn)行驗(yàn)證。

在基于速度反饋的隔振控制過程中，反饋參數(shù)的選擇和優(yōu)化是一個(gè)重要問題。趙利平等[8]利用遺傳算法對(duì)PID控制器參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，得到一組PID參數(shù)的最優(yōu)值，并通過試驗(yàn)?zāi)Ｐ蛯?duì)實(shí)際工作狀態(tài)進(jìn)行了模擬和試驗(yàn)。張春良等[9]應(yīng)用遺傳算法對(duì)主動(dòng)控制反饋系統(tǒng)反饋參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算。

本文設(shè)計(jì)了一種橡膠和壓電堆組合的主被動(dòng)一體化隔振系統(tǒng)。這種隔振器結(jié)構(gòu)簡單緊湊，占用空間小，易于建模，而且穩(wěn)定性高, 并通過實(shí)驗(yàn)對(duì)橡膠和壓電堆進(jìn)行了系統(tǒng)參數(shù)識(shí)別。推導(dǎo)了二自由度隔振系統(tǒng)的傳遞率表達(dá)式，以此系統(tǒng)的傳遞率為目標(biāo)函數(shù)，提出了一種基于遺傳算法并考慮系統(tǒng)的穩(wěn)定性的速度反饋參數(shù)優(yōu)化方法。搭建實(shí)驗(yàn)平臺(tái)驗(yàn)證隔振器的隔振效果，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明主被動(dòng)一體化隔振系統(tǒng)比單純的被動(dòng)隔振系統(tǒng)隔振效果好，而且在共振點(diǎn)處取得最好的隔振效果。

1隔振結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及建模

本文設(shè)計(jì)的隔振器結(jié)構(gòu)如圖1所示。外激勵(lì)傳遞給基礎(chǔ)臺(tái)，基礎(chǔ)臺(tái)和橡膠套筒連接在一起，橡膠套筒把振動(dòng)能量傳遞給封裝后的壓電堆，壓電堆輸出控制力，使負(fù)載上的振動(dòng)減弱。橡膠與壓電堆串聯(lián)在一起。隔振器組裝后的實(shí)物圖如圖2所示。

圖1 橡膠壓電堆結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1Structurediagramofisolator圖2 橡膠壓電堆實(shí)物圖Fig.2Photoofthemanufacturedisolator

根據(jù)圖1所示的結(jié)構(gòu)，橡膠套筒可以簡化為彈簧和阻尼并聯(lián)結(jié)構(gòu)，作動(dòng)器可以簡化為力輸出器與彈簧的并聯(lián)。建立動(dòng)力學(xué)模型見圖3。

圖3　混合作動(dòng)器的力學(xué)模型Fig.3 Mechanical model of hybrid isolator

系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為：

(1)

式中：M為負(fù)載質(zhì)量；m為隔振器中間質(zhì)量(包括橡膠和壓電堆的質(zhì)量)；x2和x1分別為負(fù)載和中間質(zhì)量的位移響應(yīng)；x0為基礎(chǔ)的位移激勵(lì)；kr，cr為橡膠的剛度和阻尼系數(shù)；fc(t)，kp分別為壓電堆的作動(dòng)力和剛度，下標(biāo)c表示作動(dòng)器，下標(biāo)p表示壓電堆。

式(1)可以表示成下面的狀態(tài)空間表達(dá)式：

(2)

α為控制力與所加電壓的比例常數(shù)，V(t)為所加控制電壓。

2最優(yōu)化控制參數(shù)確定

對(duì)主被動(dòng)一體化隔振器進(jìn)行控制，采取了速度負(fù)反饋的控制方法。反饋控制參數(shù)對(duì)隔振的效果影響很大，參數(shù)的整定難以達(dá)到最優(yōu)狀態(tài)。本文采用遺傳算法，通過適應(yīng)度函數(shù)決定尋優(yōu)方向，尋找到合適的參數(shù)，使控制目標(biāo)滿足要求[10-11]。

2.1目標(biāo)函數(shù)及穩(wěn)定性條件

控制參數(shù)的取值應(yīng)該使振動(dòng)傳遞率越小越好，本文取振動(dòng)傳遞率為適應(yīng)度函數(shù)。對(duì)負(fù)載的加速度進(jìn)行反饋積分后得到速度，并設(shè)速度反饋系數(shù)為k1，則作動(dòng)力為

(3)

將式(3)代入式(1)，并進(jìn)行拉氏變換得到式(4)。

(4)

由式(4)可得傳遞函數(shù)為

H(s)=

(5)

頻率特性為

H(jω)=

(6)

于是振動(dòng)傳遞率為

(7)

式中：A1=kr+crω2,A2=kp

A3=mMω2-krM-Mkp-mω2kp+krkp-crω2

A4=crkpω-crMω-mk1ω3+krk1ω

另外此線性系統(tǒng)還必須要滿足穩(wěn)定性條件，將式(3)代入式(2)得到

(8)

由式(8)可以得到式(9)

(9)

式中：矩陣

此矩陣的特征方程為

(10)

整理后得到

λ4+δ1λ3+δ2λ2+δ3λ+δ4=0

(11)

式中：

對(duì)于線性系統(tǒng)，漸近穩(wěn)定的充要條件是A1的特征值均具有負(fù)實(shí)部。根據(jù)霍維茲判據(jù)：式(11)的所有特征值都有負(fù)實(shí)部的充要條件是

2.2遺傳算法參數(shù)優(yōu)化

通過對(duì)線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，可以得到反饋控制參數(shù)的取值范圍，以傳遞率為目標(biāo)函數(shù)，通過遺傳算法優(yōu)化計(jì)算得到單一頻率下的反饋系數(shù)。

優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為

J=minT

(13)

s.t.δ1≥0

(14)

δ1δ2-δ3≥0

(15)

(16)

δ4≥0

(17)

式中：不等式約束條件式(14)～(17)可以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

3控制結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別

通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證主被動(dòng)一體化隔振系統(tǒng)的隔振效果之前，為了全面了解隔振器的性能需要對(duì)被動(dòng)、主動(dòng)元件進(jìn)行參數(shù)識(shí)別以及對(duì)隔振系統(tǒng)的傳遞率特性進(jìn)行測試。

3.1橡膠的參數(shù)識(shí)別

被動(dòng)元件橡膠的主要性能參數(shù)是剛度和阻尼，為了測橡膠套筒的參數(shù)，需要通過實(shí)驗(yàn)測試出系統(tǒng)的傳遞率特性[13]。設(shè)計(jì)了圖4的實(shí)驗(yàn)方案，信號(hào)發(fā)生器發(fā)出信號(hào)并通過功放放大驅(qū)動(dòng)激振器，通過加速度計(jì)拾取基礎(chǔ)臺(tái)和負(fù)載的加速度信號(hào)，可得到橡膠負(fù)載系統(tǒng)的傳遞率：

(18)

式中：TdB為所測系統(tǒng)的傳遞率的幅值，下標(biāo)dB表示單位是分貝，AM和AB分別為所測負(fù)載和基礎(chǔ)臺(tái)的加速度幅值，下標(biāo)M表示負(fù)載質(zhì)量塊，下標(biāo)B表示基礎(chǔ)臺(tái)。通過實(shí)驗(yàn)得到的此系統(tǒng)的傳遞率曲線見圖5。

圖4　測橡膠參數(shù)的實(shí)驗(yàn)結(jié)構(gòu)圖Fig.4 Principle diagram of rubber parameter identification experiment

(19)

由式(19)可以得到橡膠套筒的等效剛度：

(20)

由半功率帶寬法可以得到橡膠的阻尼比：

(21)

然后求得

(22)

由實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖5，系統(tǒng)的固有頻率是fn=126 Hz，半帶寬Δf=17.4 Hz，由公式可求得橡膠的剛度Kr為8.54×104N/m，阻尼比ξ為0.069，阻尼系數(shù)cr為14.71 N·s/m。

圖5　橡膠的傳遞率曲線Fig.5 Transmissibility of the rubber element

3.2壓電堆的參數(shù)識(shí)別

三維壓電方程為：

(23)

當(dāng)僅在極化方向施加外力和電壓，則可得到一維壓電方程

D=ε33E+d33T

(24)

(25)

式中：D為壓電堆的電位移，E為電場強(qiáng)度，T為應(yīng)力，S為應(yīng)變，ε33為零應(yīng)力下的介電常數(shù)，d33為壓電系數(shù)，c為零電場時(shí)彈性模量。作動(dòng)力

fp(t)=AT

(26)

式(25)代入(26)得

fp(t)=AcS-Acd33E

(27)

式(27)變形得到

(28)

fp(t)=kpδ(t)-αV(t)=kpδ(t)-f(t)

(29)

由式(29)得作動(dòng)位移

(30)

式中：fp(t)為施加在壓電堆上的力，A,l分別為壓電堆的橫截面面積和長度，kp為壓電堆剛度，α為比例常數(shù)，f(t)是壓電堆加上電壓后產(chǎn)生的控制力。

由式(30)可知，當(dāng)施加在壓電堆上的力為零時(shí)，也就是壓電堆處于自由狀態(tài)時(shí)，可得出位移和電壓的關(guān)系，可求得α/kp。實(shí)驗(yàn)測試時(shí)給壓電堆施加上電壓，通過激光位移傳感器測得壓電堆的位移，得出的位移和電壓的曲線見圖6。

圖6　壓電堆位移和電壓的關(guān)系Fig.6 Displacement versus voltage of piezostack

從圖6位移和電壓的關(guān)系可得α/kp=0.1 μm/V，由于壓電堆的剛度kp=30 N/μm，則得α=3 N/V。

3.3主被動(dòng)一體化隔振器傳遞率特性

根據(jù)動(dòng)力學(xué)方程式(1)，用Simulink對(duì)主被動(dòng)一體化隔振器的傳遞率進(jìn)行仿真。另外通過實(shí)驗(yàn)測試系統(tǒng)地傳遞率曲線，測試原理和圖4一樣，仿真和實(shí)驗(yàn)的結(jié)果如圖7所示。由圖7可知，主被動(dòng)一體化系統(tǒng)的第一階固有頻率為111.6 Hz，1～ 400 Hz范圍內(nèi)仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果匹配較好，說明此隔振器的力學(xué)模型可以準(zhǔn)確地反應(yīng)其傳遞率特性。

圖7　主被動(dòng)一體化傳遞率曲線 Fig.7 Transmissibility of hybrid isolator

4反饋參數(shù)優(yōu)化結(jié)果

被動(dòng)元件橡膠和壓電堆作動(dòng)元件的參數(shù)識(shí)別后, 本文采用遺傳算法將所選擇的適配值函數(shù)通過遺傳中的復(fù)制、交叉及變異對(duì)個(gè)體進(jìn)行篩選，使適配值高的個(gè)體被保留下來，這樣周而復(fù)始，群體中個(gè)體適應(yīng)度不斷提高，能得到全局最優(yōu)解[12]。

遺傳算法包括三個(gè)基本操作，即選擇，交叉和變異。本文采用隨機(jī)均勻函數(shù)，交叉運(yùn)算和變異運(yùn)算是在原來種群的基礎(chǔ)上產(chǎn)生新的種群，交叉運(yùn)算使用單點(diǎn)交叉運(yùn)算，變異運(yùn)算使用均勻變異。選擇交叉概率為0.8，變異概率為0.01。

反饋系數(shù)優(yōu)化結(jié)果見表1。

表1　各單一頻率下的反饋系數(shù)

5主被動(dòng)一體化隔振系統(tǒng)隔振性能實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證主被動(dòng)一體化隔振系統(tǒng)的隔振性能，設(shè)計(jì)了實(shí)驗(yàn)裝置示意圖8。通過振動(dòng)臺(tái)給隔振系統(tǒng)激勵(lì)，此振動(dòng)通過隔振器傳到負(fù)載上，由加速度傳感器可以得到負(fù)載的加速度，通過A/D轉(zhuǎn)換進(jìn)入dsPACE數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)，積分得到速度，利用最優(yōu)化的速度反饋控制參數(shù)得到控制信號(hào)，由功放把控制信號(hào)給壓電堆，壓電堆產(chǎn)生控制力輸出到負(fù)載。這時(shí)得到的是有主動(dòng)控制的主被動(dòng)一體化隔振系統(tǒng)的隔振效果，如果關(guān)閉速度反饋信號(hào)也就是未控制時(shí)得到的是被動(dòng)隔振系統(tǒng)的隔振效果，并對(duì)兩種效果進(jìn)行比較。隔振系統(tǒng)的隔振實(shí)驗(yàn)裝置實(shí)物圖如圖9所示。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖10～14所示。

圖8　隔振實(shí)驗(yàn)裝置示意圖Fig.8 Experimental apparatus for vibration control

圖9　主被動(dòng)一體化隔振實(shí)物圖Fig.9 Experiment platform of hybrid vibration isolation

圖10　110 Hz控制前后M的時(shí)域圖Fig.10 Control performance at 110 Hz excitation in time domain

圖11　110 Hz控制前后M的頻域圖Fig.11 Control performance at 110 Hz excitation in frequency domain

圖12　115 Hz控制前后M的時(shí)域圖Fig.12 Control performance at 115 Hz excitation in time domain

圖10～13在激振頻率為110 Hz和115 Hz時(shí)，負(fù)載臺(tái)在有主動(dòng)控制和無主動(dòng)控制加速度的時(shí)域圖和頻域圖，這兩個(gè)頻率都是接近共振點(diǎn)處的頻率。由圖10和11可知在激振頻率為110 Hz和115 Hz時(shí)，混合隔振器上負(fù)載的加速度比單純被動(dòng)隔振器上的負(fù)載的加速度降了大約60%?？刂齐妷褐底畲?5 V，沒超過壓電堆的電壓值范圍。由圖12激勵(lì)頻率為110 Hz時(shí)負(fù)載加速度的頻域分析可以得到，混合隔振器上負(fù)載的加速度幅值降了8.38 dB。由圖13激勵(lì)頻率115 Hz時(shí)負(fù)載加速度的頻域分析可以得到，混合隔振器負(fù)載的加速度幅值降了8.37 dB。由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，在所采用的頻帶范圍內(nèi)控制前后有減振效果，控制前后的傳遞率如圖14。當(dāng)頻率為100 Hz時(shí)，控制前后傳遞率降了5.38 dB。共振頻率(110 Hz)附近減振效果最好，控制前后傳遞率最多降了8.318 dB。當(dāng)頻率為120 Hz時(shí)，控制前后傳遞率降了6.17 dB。而在激勵(lì)頻率為130 Hz時(shí)，控制前后傳遞率降了2.94 dB?？梢缘玫浇Y(jié)論接近共振頻率處隔振效果最好，而當(dāng)激勵(lì)頻率離共振頻率越遠(yuǎn)，傳遞率就下降得越少。

圖13　115 Hz控制前后M的頻域圖Fig.13 Control performance at 115 Hz excitation in frequency domain

圖14　控制前后的傳遞率圖Fig.14 Transmissibility of the hybrid isolator

6結(jié)論

本文設(shè)計(jì)了一種橡膠和壓電堆組合使用的主被動(dòng)一體化隔振系統(tǒng)。推導(dǎo)了二自由度隔振系統(tǒng)的傳遞率，以該傳遞率為目標(biāo)函數(shù)，提出了一種基于遺傳算法并考慮系統(tǒng)的穩(wěn)定性的速度反饋參數(shù)優(yōu)化方法。建立了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型和方程，通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)行主被動(dòng)元件的參數(shù)識(shí)別。應(yīng)用遺傳算法對(duì)速度反饋參數(shù)進(jìn)行了最優(yōu)化，搭建實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證主被動(dòng)一體化隔振器的隔振效果，并比較主被動(dòng)一體化的隔振系統(tǒng)和單純的橡膠隔振器的隔振效果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明主被動(dòng)一體化的隔振系統(tǒng)由于加入了主動(dòng)作動(dòng)器，取得了比單純的被動(dòng)隔振系統(tǒng)更好地隔振效果。在共振頻率附近減振效果最好，控制前后傳遞率最多降了8.318 dB，可以更好地抑制系統(tǒng)共振。而在遠(yuǎn)離自然頻率處，混合隔振器比單純的被動(dòng)隔振方法的優(yōu)勢減弱。本文設(shè)計(jì)的橡膠壓電堆耦合的主被動(dòng)一體化混合隔振器由于體積小，結(jié)構(gòu)簡單緊湊，隔振效果好可以應(yīng)用于航空航天等領(lǐng)域小型精密儀器的振動(dòng)隔離。

參 考 文 獻(xiàn)

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收稿日期：2015-05-29修改稿收到日期：2015-08-12

通信作者裘進(jìn)浩 男，教授，博士生導(dǎo)師，1963年10月生

中圖分類號(hào):TB535+.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.14.002

Vibration isolation system consisting of rubber and piezostack and making use of a controller with optimized feedback parameters

LIU Lu1,2, QIU Jin-hao1, JI Hong-li1, GAO Jun1, LIU Can-chang1,2

(1. State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016,China；2. School of Transportation and Vehicle Engineering, Shandong University of Technology, Zibo 255049, China)

Abstract:In order to attenuate the impact of vibration on aircraft instrument, an active-passive hybrid vibration isolator by combining rubber and piezostack was proposed. An optimal control based on genetic algorithm was advised, and the performance of the system was verified by experiment. The model and equation of the system were derived, and then the parameters of rubber and piezostack were experimentally identified respectively. The vibration transmissibility was taken as an objective function and the genetic algorithm was applied to optimize the parameters of velocity feedback. The stability of the control system was discussed. Subsequently, an experimental platform was established and the isolation performance by using optimal control was evaluated by experiment. The experimental results verify that the performance of the isolation system presented is better than the pure passive isolator, especially at resonant frequency.

Key words:vibration isolation; piezostack actuator; feedback control; optimization

第一作者 劉露 女，博士生，講師，1972年2月生