導(dǎo)數(shù)理論在最優(yōu)化經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型中的應(yīng)用研究

方國(guó)敏　謝蔚

【摘要】本文從導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)的概念出發(fā)，引入邊際分析的相關(guān)概念，對(duì)最低成本、最大利潤(rùn)和最優(yōu)批量等最優(yōu)化經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析、研究和探討.

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù)；偏導(dǎo)數(shù)；邊際分析；最優(yōu)化；數(shù)學(xué)模型

應(yīng)用定量分析方法解決經(jīng)濟(jì)問(wèn)題已成為經(jīng)濟(jì)學(xué)理論體系中的重要組成部分，很多經(jīng)濟(jì)學(xué)理論如納什均衡和期權(quán)定價(jià)公式等都是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述的.數(shù)學(xué)使經(jīng)濟(jì)學(xué)理論步入了定量化、精密化和準(zhǔn)確化的發(fā)展軌道，使經(jīng)濟(jì)學(xué)變成一門(mén)越來(lái)越嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科.

一、導(dǎo)數(shù)和邊際分析

（一）導(dǎo)數(shù)的概念

設(shè)一元函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在點(diǎn)x0處取得改變量Δx時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)改變量為Δy=f（x0+Δx）-f（x0），如果極限limx→0

（二）偏導(dǎo)數(shù)的概念

設(shè)二元函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)P0（x0，y0）的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在y0不變，而x在點(diǎn)x0處取得改變量Δx時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)改變量Δxz=f（x0+Δx，y0）-f（x

（三）邊際分析

在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，若設(shè)某經(jīng)濟(jì)指標(biāo)y與影響指標(biāo)值的因素x1，x2，……，xn之間成立函數(shù)關(guān)系y=f（x1，x2，…，xn），我們把函數(shù)y=f（x1，x2，…，xn）的一階偏導(dǎo)函數(shù)f′xi（x1，x2，…，xn）（i=1，2，…，n）稱為函數(shù)y=f（x1，x2，…，xn）的邊際函數(shù)，記作My，偏導(dǎo)函數(shù)My=f′xi（x1，x2，…，xn）在點(diǎn)P0處的函數(shù)值稱為函數(shù)y=f（x1，x2，…，xn）在點(diǎn)P0處的邊際值，而使f′xi（x1，x2，…，xn）=0的邊際點(diǎn)的函數(shù)值可能就是極大值或極小值，這種邊際點(diǎn)在經(jīng)濟(jì)分析和決策中往往是最佳點(diǎn)，找到最合理的邊際點(diǎn)，就能做出最有利的經(jīng)濟(jì)政策.微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)把研究這種變化規(guī)律的方法叫作邊際分析法.

1.邊際成本

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，常常需要研究產(chǎn)量增加一個(gè)單位時(shí)所增加的成本.設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品q單位時(shí)的總成本函數(shù)C=C（q）可導(dǎo)，則稱MC=C′（q）為邊際成本函數(shù)，簡(jiǎn)稱邊際成本，C′（q0）為產(chǎn)量為q0單位時(shí)的邊際成本.

邊際成本是總成本函數(shù)C（q）關(guān)于產(chǎn)量q的導(dǎo)數(shù)，其經(jīng)濟(jì)含義是：當(dāng)產(chǎn)量為q時(shí)，再多生產(chǎn)一個(gè)單位（即Δq=1）的產(chǎn)品所增加的成本量C（q+1）-C（q），近似地記為：C（q+1）-C（q）=Δ邊際成本是極限意義下的平均，是當(dāng)增量Δq→0時(shí)，總成本C（q）的瞬時(shí)變化率，只與產(chǎn)量q有關(guān).

2.邊際收入

設(shè)銷售某種產(chǎn)品q單位時(shí)的總收入函數(shù)R=R（q）MR=R′（q）可導(dǎo)，則稱為邊際收入函數(shù)，簡(jiǎn)稱邊際收入，R′（q0）是銷售量為q0單位時(shí)的邊際收入.

其經(jīng)濟(jì)含義是：當(dāng)銷售量為q時(shí)，再多銷售一個(gè)單位（即Δq=1）的商品總收入的改變量R（q+1）-R（q），近似地記為：

3.邊際利潤(rùn)

與邊際成本和邊際收入類似，邊際利潤(rùn)函數(shù)為總利潤(rùn)函數(shù)L（q）關(guān)于銷售量q的導(dǎo)數(shù).設(shè)某產(chǎn)品的銷售量為q時(shí)的利潤(rùn)函數(shù)L=L（q）可導(dǎo)，則稱ML=L′（q）為邊際利潤(rùn)函數(shù)，簡(jiǎn)稱邊際利潤(rùn)，L′（q

即ML=L′（q）=limΔq→0ΔLΔq=limΔq→0L（q+Δq）-L（q）Δq.

其經(jīng)濟(jì)含義是：當(dāng)銷售量為q時(shí)，再銷售一個(gè)單位（即Δq=1）產(chǎn)品所增加（或減少）的利潤(rùn)L（q+1）-L（q），近似地記為：

L（q+1）-L（q）=ΔL（q）≈dL（q）=L′（q）Δq=L′（q）.

邊際利潤(rùn)L′（q）<0意味著當(dāng)產(chǎn)量（銷量）為q時(shí)，再生產(chǎn)（銷售）一個(gè)單位的產(chǎn)品（即Δq=1）總利潤(rùn)將減少，這時(shí)產(chǎn)品生產(chǎn)（銷售）得越多利潤(rùn)會(huì)越小.

如果在某一經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中，總成本函數(shù)、總收入函數(shù)或總利潤(rùn)函數(shù)是多元函數(shù)，則分別稱他們的偏導(dǎo)數(shù)為邊際成本、邊際收入或邊際利潤(rùn).

二、最優(yōu)化的數(shù)學(xué)表達(dá)

在經(jīng)濟(jì)生活中，每個(gè)經(jīng)濟(jì)人在符合市場(chǎng)條件的前提下，都力求尋找對(duì)自己最有利的方案，如：最低成本、最大利潤(rùn)、最優(yōu)效益、企業(yè)的最佳規(guī)模以及企業(yè)內(nèi)部生產(chǎn)資料同勞動(dòng)數(shù)量之間最合理的比例等等.這些問(wèn)題從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看都是同一類問(wèn)題，即求函數(shù)最大值和最小值的問(wèn)題.

（一）一元函數(shù)的最值問(wèn)題

若函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處有極值，且在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)存在，則函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)必為零，即f′（x0）=0.凡是滿足方程f′（x0）=0的點(diǎn)稱為函數(shù)y=f（x）的駐點(diǎn).設(shè)函數(shù)y=f（x）在其駐點(diǎn)x0處具有二階導(dǎo)數(shù)f″（x0），若f″（x0）<0，則f（x0）是函數(shù)f（x）的極大值；若f″（x0）>0，則f（x0）是函數(shù)f（x）的極小值.

一般而言，如果函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間I上連續(xù)，則函數(shù)y=f（x）在I上必定能取得它的最大值和最小值.在實(shí)際問(wèn)題中，如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I內(nèi)最大值（或最小值）一定存在，而f（x）在I內(nèi)只有唯一駐點(diǎn)，那么該駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上的最大值（或最小值）.

（二）多元函數(shù)的最值問(wèn)題

與經(jīng)濟(jì)問(wèn)題有關(guān)的函數(shù)很少是單一變量函數(shù).例如，廠商的生產(chǎn)量取決于投入生產(chǎn)過(guò)程的勞動(dòng)、資本以及土地的數(shù)量等等.下面我們以二元函數(shù)為例.

若函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)P0（x0，y0）處有極值，且在點(diǎn)P0（x0，y0）處的偏導(dǎo)數(shù)存在，則函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)P0（x0，y0）處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)必為零，即f′x（x0，y0）=0，且f′y（x0，y0）=0.凡是滿足方程組f′x（x0，y0）=0，f′y（x0，y0）=0的點(diǎn)P0（x0，y0）稱為函數(shù)z=f（x，y）的駐點(diǎn).

設(shè)函數(shù)z=f（x，y）在其駐點(diǎn)P0（x0，y0）處具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，令f″xx（x0，y0）=A，f″xy（x0，y0）=B，f″yy（x0，y0）=C，Δ=B2-AC，則當(dāng)Δ<0時(shí)，函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)P0（x0，y0）處有極值，并且若A>0，f（x0，y0）是函數(shù)z=f（x，y）的極小值；若A<0，f（x0，y0）是函數(shù)z=f（x，y）的極大值.

一般而言，如果函數(shù)z=f（x，y）在閉區(qū)域D上連續(xù)，則函數(shù)z=f（x，y）在D上必定能取得最大值和最小值.在實(shí)際問(wèn)題中，如果函數(shù)z=f（x，y）在區(qū)域D內(nèi)一定能取得最大值（或最小值），而f（x，y）在D內(nèi)只有唯一駐點(diǎn)，那么該駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是函數(shù)z=f（x，y）在區(qū)域D上的最大值（或最小值）.

三、最優(yōu)化經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型分析

經(jīng)濟(jì)效益最優(yōu)化問(wèn)題是經(jīng)濟(jì)管理的核心，也是企業(yè)的最終目標(biāo).對(duì)于決策者來(lái)說(shuō)，要求從“客觀的理性”出發(fā)，尋求在一定條件下目標(biāo)函數(shù)唯一的“最優(yōu)解”.

（一）最低成本問(wèn)題模型

微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)理論認(rèn)為，邊際成本和平均成本都是隨產(chǎn)量的增加而由遞減轉(zhuǎn)為遞增，只是平均成本轉(zhuǎn)為遞增比邊際成本要遲一些.當(dāng)平均成本與邊際成本相等時(shí)，平均成本最低.如圖1所示，F(xiàn)點(diǎn)是平均成本曲線AC由遞減轉(zhuǎn)為遞增的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，在F點(diǎn)處，MC=AC.在邊際成本曲線上升到F點(diǎn)之前，邊際成本小于平均成本，平均成本曲線AC是下降的，當(dāng)MC越過(guò)F點(diǎn)后再上升，邊際成本就大于平均成本，平均成本曲線AC也就轉(zhuǎn)為上升了，因此，MC與AC必定在AC的最低點(diǎn)F處相交.平均成本的最低點(diǎn)F就是通常所說(shuō)的“經(jīng)濟(jì)能量點(diǎn)”或“經(jīng)濟(jì)有效點(diǎn)”.企業(yè)應(yīng)該把生產(chǎn)規(guī)模調(diào)整到平均成本的最低點(diǎn)，才能使生產(chǎn)資源得到最有效的利用.

圖 1

設(shè)產(chǎn)量為q，總成本函數(shù)為C（q），平均成本函數(shù)為AC（q），邊際成本函數(shù)為MC（q），則AC（q）=C（q）q，MC=C′（q）=dC（q）dq.

以q為自變量，對(duì)平均成本函數(shù)AC（q）求導(dǎo)，則有

AC′（q）=dACdq=d（C（q）q）dq=C′（q）q-C（q）q2=1q（C′（q）-C（q）q）=1q[MC（q）-AC（q）].

因此，當(dāng)MC（q）AC（q）時(shí)，曲線AC的切線斜率為正，曲線AC呈上升趨勢(shì)；當(dāng)MC（q）=AC（q）時(shí)，曲線AC的切線斜率為0，曲線到達(dá)極小值點(diǎn)F，函數(shù)AC（q）的二階導(dǎo)數(shù)大于0.又因?yàn)樗俏ㄒ坏鸟v點(diǎn)，所以平均成本函數(shù)AC（q）在MC（q）=AC（q）處取得最小值.

因此，最低成本的數(shù)學(xué)模型為：

MC（q）=AC（q），dACdq=0（函數(shù)AC（q）的二階導(dǎo)數(shù)大于0）.

例1 已知某廠生產(chǎn)q件產(chǎn)品的總成本為C（q）=2500+200q+14q2（元），問(wèn)該廠生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時(shí)，平均成本最?。?/p>

解 （1）設(shè)平均成本函數(shù)為AC（q），邊際成本函數(shù)為MC（q），則

AC（q）=C（q）q=2500q+200+q4，

MC（q）=C′（q）=200+q2.

由AC（q）=MC（q）得2500q+200+q4=200+q2，

解得q1=100，q2=-100（舍去）.

此時(shí)d（AC）dq=2500q+200+q4′=14-2500q2=14-14=0.

所以，q1=100時(shí)，平均成本函數(shù)AC（q）取得唯一的極小值，也就是最小值.因此，要使平均成本最小，應(yīng)生產(chǎn)100件產(chǎn)品.

（二）最大利潤(rùn)問(wèn)題模型

微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)理論認(rèn)為，當(dāng)商品產(chǎn)量無(wú)限增大時(shí)，價(jià)格極低，得不到最大利潤(rùn)；當(dāng)商品價(jià)格無(wú)限增大時(shí)，銷售量極少，也得不到最大利潤(rùn).只有當(dāng)產(chǎn)量增至邊際成本等于邊際收入，即邊際利潤(rùn)為0時(shí)，企業(yè)才能獲得最大利潤(rùn).如圖2所示，只有當(dāng)總收入和總成本兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相等，即兩條切線平行時(shí)，總收入和總成本兩條曲線上切點(diǎn)間的距離最大，此時(shí)，總成本與總收入的差值最大，也即企業(yè)獲得最大利潤(rùn).此外，為了使利潤(rùn)函數(shù)的極大值存在，利潤(rùn)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)還必須小于零.

圖 2

設(shè)產(chǎn)量為q，總成本函數(shù)為C（q），總收入函數(shù)為R（q），總利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)（q），邊際利潤(rùn)函數(shù)為ML（q），則L（q）=R（q）-C（q），ML（q）=L′（q）.

令ML（q）=L′（q）=R′（q）-C′（q）=0，則可得到R′（q）=C′（q）.這就是獲得最大利潤(rùn)的必要條件.

邊際利潤(rùn)函數(shù)ML（q）=L′（q）=0，總利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)（q）取得極值，為了使函數(shù)L（q）取得極大值，必須L″（q）=ML′（q）=[R′（q）-C′（q）]′=R″（q）-C″（q）<0，

即R″（q）

因此，利潤(rùn)最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為：

R′（q）=C′（q）（即L′（q）=0），R″（q）

若利潤(rùn)函數(shù)為二元函數(shù)z=L（q1，q2），則利潤(rùn)最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為：L′q1（q1，q2）=0，L′q2（q1，q2）=0， （1）

且[L″q1q2（q1，q2）]2-L″q1q1（q1，q2）·L″q2q2（q1，q2）<0，L″q1q1（q1，q2）<0.（2）

在實(shí)際問(wèn)題中，若由（1）式解出利潤(rùn)函數(shù)z=L（q1，q2）的極值點(diǎn)只有一個(gè)，則可驗(yàn)證此點(diǎn)滿足充分條件（2），就是利潤(rùn)最大的點(diǎn).

例2 設(shè)某企業(yè)生產(chǎn)某種商品q單位的費(fèi)用為C（q）=5q+200（元），獲得的收益為R（q）=10q-0.01q2（元），問(wèn)生產(chǎn)這種商品多R（q）=10q-0.01q2少單位時(shí)利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

解 由產(chǎn)品的費(fèi)用函數(shù)C（q）=5q+200，收益函數(shù)，可得利潤(rùn)函數(shù)L（q）=R（q）-C（q）=-0.01q2+5q-200.

因?yàn)長(zhǎng)′（q）=-0.02q+5，令L′（q）=0得q=250.

此時(shí)L″（q）=-0.02<0，所以q=250時(shí)利潤(rùn)最大，L（250）=425元.

所以生產(chǎn)250個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為425元.

（三）最優(yōu)批量問(wèn)題模型

在一定原材料年需求量的前提下，如果每次定貨量增加，訂貨次數(shù)就減少，這樣，雖然采購(gòu)成本減少，但倉(cāng)儲(chǔ)保管成本卻會(huì)增加；反之，如每次定貨量減少，訂貨次數(shù)就會(huì)增加，因而采購(gòu)成本增加，倉(cāng)儲(chǔ)保管成本減少.最優(yōu)訂貨批量問(wèn)題就是通過(guò)確定最佳的訂貨數(shù)量來(lái)平衡采購(gòu)成本和倉(cāng)儲(chǔ)保管成本，從而保持存貨的最優(yōu)水平，減少儲(chǔ)備資金的占用量，使總成本最低.

設(shè)TC為總庫(kù)存成本，PC為采購(gòu)進(jìn)貨成本（包括購(gòu)置價(jià)格），HC為倉(cāng)儲(chǔ)保管成本，D為材料的年需求量，h為材料的單價(jià)，q為每次訂貨的數(shù)量，k為每次訂貨的成本，m為單位貨物的倉(cāng)儲(chǔ)保管成本，n為年訂貨次數(shù)，F(xiàn)1為采購(gòu)成本中的固定成本，F(xiàn)2為保管成本中的固定成本，那么

TC=PC+HC=F1+Dh+Dqk+F2+q2m=（hD+F1+F2）+kDq+mq2.

其中，hD+F1+F2為固定成本，設(shè)TC（q）為每次訂貨量為q時(shí)的變動(dòng)成本，則TC（q）=kDq+mq2，以q為自變量求TC（q）的一階導(dǎo)數(shù)TC′（q）=-kDq2+m2.

令TC′（q）=-kDq2+m2=0，解得q2=2kDm，即q=2kDm.

又因?yàn)門(mén)C（q）的二階導(dǎo)數(shù)TC″（q）=2kDq3>0.

所以，當(dāng)q=2kDm時(shí)，TC（q）取得最小值，即如果按照這個(gè)定貨量訂貨，可以使采購(gòu)成本和保管成本中的變動(dòng)成本的總和最低.

因此，最優(yōu)批量問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：

最優(yōu)定貨量q=2kDm，

最優(yōu)批量成本TC*（q）=kD2kDm+m22kDm=2kDm.

最后需要說(shuō)明的是，經(jīng)濟(jì)學(xué)是一個(gè)復(fù)雜的科學(xué)體系，經(jīng)濟(jì)研究中必須綜合應(yīng)用各種方法，才能使經(jīng)濟(jì)理論科學(xué)有效，數(shù)學(xué)只是經(jīng)濟(jì)研究的方法之一.在經(jīng)濟(jì)研究中應(yīng)用數(shù)學(xué)方法時(shí)，要力求數(shù)學(xué)條件的設(shè)定與真實(shí)的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)實(shí)最大限度地接近，不可設(shè)定脫離現(xiàn)實(shí)的經(jīng)濟(jì)模型.另一方面，隨著經(jīng)濟(jì)學(xué)和數(shù)學(xué)的共同發(fā)展，在經(jīng)濟(jì)研究中將會(huì)更進(jìn)一步地運(yùn)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的理論知識(shí)和思想方法，建立更多、更科學(xué)實(shí)用的經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型.數(shù)學(xué)作為輔助工具將會(huì)在經(jīng)濟(jì)研究中得到更成功、更廣泛地運(yùn)用.

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