基于波函數(shù)法的附加彈簧阻尼薄板的振動(dòng)研究

夏小均， 徐中明， 張志飛, 賀巖松

(1.重慶大學(xué) 機(jī)械傳動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,重慶　400030； 2.重慶大學(xué) 汽車工程學(xué)院,重慶　400030)

?

基于波函數(shù)法的附加彈簧阻尼薄板的振動(dòng)研究

夏小均1,2， 徐中明1,2， 張志飛1,2, 賀巖松1,2

(1.重慶大學(xué) 機(jī)械傳動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,重慶400030； 2.重慶大學(xué) 汽車工程學(xué)院,重慶400030)

摘要：基于Kirchhoff薄板彎曲振動(dòng)理論和波函數(shù)法Wave Based Method(WBM)理論，推導(dǎo)了運(yùn)用WBM將附加彈簧阻尼結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)激勵(lì)的方法，構(gòu)建了基于WBM計(jì)算含彈簧阻尼支承薄板振動(dòng)響應(yīng)的系統(tǒng)矩陣，得到了含彈簧阻尼支承的薄板彎曲振動(dòng)響應(yīng)。以四邊簡支矩形板為例，計(jì)算了50～ 600 Hz頻段內(nèi)參考點(diǎn)的振動(dòng)響應(yīng)，并與解析法和有限元法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對比。運(yùn)用該方法對比計(jì)算了添加不同彈簧阻尼結(jié)構(gòu)數(shù)與無彈簧阻尼結(jié)構(gòu)時(shí)薄板在120 Hz的彎曲振動(dòng)響應(yīng)。結(jié)果表明：通過將彈簧阻尼結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換成點(diǎn)激勵(lì)的方法,能有效的將WBM應(yīng)用于附加彈簧阻尼支承薄板彎曲振動(dòng)響應(yīng)的仿真計(jì)算，與有限元法相比，有著更高精度和收斂速度。

關(guān)鍵詞：波函數(shù)法；彈簧-阻尼；彎曲振動(dòng)；薄板

鑒于傳統(tǒng)的有限元、邊界元和統(tǒng)計(jì)能量法等現(xiàn)有數(shù)值分析手段在對中頻振動(dòng)噪聲的局限[1-4]，探尋能精準(zhǔn)高效的對中頻響應(yīng)的分析方法已成為當(dāng)前研究的熱點(diǎn)，業(yè)已獲得了一些解決手段與方法，如超弱變分公式(UWVF)[5]，混合FEA-SEA法[6]，波函數(shù)法(WBM)[7]，波邊界元方法(WBEM)[8]，復(fù)包絡(luò)向量法(CEV)[9]，自由單元Galerkin法(EFGM)[10]，復(fù)射線變分理論(VTCR)[11]等。其中WBM方法，作為一種確定性的Trefftz方法，相比于混合FEA-SEA方法，WBM能進(jìn)行全局的振動(dòng)響應(yīng)分析。WBM以其高效，自由度少和高精度，現(xiàn)已經(jīng)成功運(yùn)用于結(jié)構(gòu)-聲學(xué)耦合響應(yīng)等方面的預(yù)測[12-15]。何雪松等[16-17]運(yùn)用WBM對薄板的彎曲振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了研究，驗(yàn)證了該方法在分析薄板振動(dòng)響應(yīng)的巨大優(yōu)勢。在此基礎(chǔ)上，研究WBM在減振、降噪措施或結(jié)構(gòu)下的運(yùn)用就顯得十分有意義了。

對于如汽車車內(nèi)聲腔類的典型結(jié)構(gòu)聲學(xué)耦合系統(tǒng)的聲學(xué)優(yōu)化，多以結(jié)構(gòu)為對象。特別如薄板類的零件，其在各頻率下的振動(dòng)響應(yīng)將直接影響內(nèi)外部聲學(xué)分布和系統(tǒng)結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性，因此實(shí)際工程中通常運(yùn)用，如增加剛度、動(dòng)力吸振器、局部添加橡膠塊等方式改善板件振動(dòng)或聲學(xué)響應(yīng)。如黏彈性橡膠材料或吸振器的物理力學(xué)模型就是彈簧阻尼結(jié)構(gòu)，因此，作為研究WBM在減振、降噪中應(yīng)用的第一步，將探究運(yùn)用WBM分析添加彈簧阻尼結(jié)構(gòu)薄板的振動(dòng)響應(yīng)的方法。文章在WBM對薄板結(jié)構(gòu)進(jìn)行穩(wěn)態(tài)響應(yīng)預(yù)測的基礎(chǔ)上，引入彈簧阻尼支承力學(xué)模型，重構(gòu)了WBM數(shù)值系統(tǒng)矩陣，獲得了薄板在附加了彈簧阻尼結(jié)構(gòu)后的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。通過與理論方法、有限元方法的對比，驗(yàn)證了該方法的正確性與高效性。

1基本理論

1.1Kirchhoff薄板理論

根據(jù)Kirchhoff理論[18]進(jìn)行對薄板振動(dòng)進(jìn)行分析，對于各向同性薄板的法向穩(wěn)態(tài)位移wz滿足如下方程：

(1)

其中

(2)

式中：kb為薄板彎曲波數(shù)，D為彎曲剛度

(3)

式中：h為薄板厚度，E為彈性模量，ν為泊松比，ρ為材料密度。

主要的邊界條件有：

(1) 運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界條件(已知位移和轉(zhuǎn)角，如固支邊界)

(4)

(2) 力學(xué)邊界條件(已知彎矩、剪力，如自由邊界)

(5)

(3) 混合邊界(已知位移、彎矩，如簡支邊界)

(6)

式中

γn,γs分別為薄板邊界的法線和切線方向。

1.2WBM薄板彎曲振動(dòng)

WBM是一種間接Trefftz方法，利用精確滿足控制方程的波函數(shù)來表示位移響應(yīng)，再通過邊界殘值最小的方法求取各波函數(shù)系數(shù)。其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的波函數(shù)展開表示為：

其中

W={w1,w2,…,wnb}為各波函數(shù)貢獻(xiàn)值(權(quán)系數(shù))，也即為所求的未知量。Ψ為嚴(yán)格滿足控制方程齊次解的波函數(shù)，Desmet提出了以下波函數(shù)：

(8)

(9)

(10)

式中：Lx,Ly分別為薄板外輪廓尺寸,s1=0,1,2，…，ns1,s2=0,1,2,…,ns2s2=0,1,2,…,ns2，nb=4(ns1+1)+4(ns2+1)波函數(shù)數(shù)量也即為模型的自由度。

(11)

(12)

對于各波函數(shù)權(quán)系數(shù)的計(jì)算，采取類似有限元中加遼金邊界加權(quán)余量法，將邊界誤差最小化為零,即

(13)

式中

(14)

將式(8)，(12)，(15)代入邊界余量公式(14)，化簡后便可以得到求解各波函數(shù)權(quán)值系數(shù)的系統(tǒng)矩陣式(16)其中包含了nb個(gè)未知量。

[A]{W}={f}

(15)

式中：

(16)

(17)

2彈簧阻尼結(jié)構(gòu)薄板的WBM

如圖1所示，在薄板內(nèi)一位置添加彈簧阻尼支承，其彈簧剛度為k，阻尼系數(shù)為cd，因此，在支承安裝點(diǎn)產(chǎn)生的作用反力

Fs_d=-kΔl-cdv

(18)

由于只考慮板的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，則支反力可表示為：

Fs_d=-(k+jωcd)wdejωt

(19)

得出

Fd=-(k+jωcd)wd

(20)

Fd,wd分別為彈簧-阻尼結(jié)構(gòu)力幅值和安裝點(diǎn)位移幅值,wd即為引入的未知量。

圖1　附加彈簧阻尼結(jié)構(gòu)的薄板Fig.1 Thin plate with a spring-damper

(21)

類似于式(14)對點(diǎn)激勵(lì)的定義方法，定義

令

ζ(x,y)=

(23)

則有

(24)

同時(shí)，彈簧阻尼結(jié)構(gòu)布置點(diǎn)(xd,yd)的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)位移也滿足式(22)，即有

(25)

同樣運(yùn)用邊界加權(quán)余量法，將式(14),(21),(22)，(25)代入邊界余量式(13)，得到含nb+1個(gè)變量新的系統(tǒng)矩陣

(26)

式中

(27)

Ad=Ψ(xd,yd)+(ζ(xd,yd)-1)

(28)

(29)

求出權(quán)系數(shù)W和彈簧阻尼結(jié)構(gòu)安裝處的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)值wd后，便獲得薄板的全局振動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)wz(x,y)。同理，可以得到有多個(gè)彈簧阻尼結(jié)構(gòu)時(shí)的位移展開式為

(30)

相應(yīng)的具有多個(gè)彈簧阻尼系統(tǒng)的求解數(shù)值矩陣為：

(31)

Aadn=[Aad1…Aadn]

(32)

(33)

(34)

(35)

3數(shù)值驗(yàn)證

此次以四邊簡支的長方形薄板為例對該方法進(jìn)行驗(yàn)證，并與解析解和有限元方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較。其幾何尺寸如圖2所示，該板厚度為1 mm，彈性模量E=2.1×1011N/m2,泊松比ν=0.3,材料的損耗因子為0，密度ρ=7 850 kg/m3,在F(0.2 m，0.2 m)點(diǎn)施加沿薄板法向的單位作用力，在d(0.8，0.35)點(diǎn)處布置一個(gè)一維彈簧阻尼結(jié)構(gòu)，彈簧剛度為k=150 N/m,阻尼系數(shù)cd=100 N/m。

圖2　矩形簡支板示意圖(F為單位力作用點(diǎn)，d為彈簧-阻尼安裝點(diǎn)，ref為參考響應(yīng)點(diǎn))Fig.2 Simply supported rectangular plate(F,d and ref is the located point of unit force, spring-damper installation and the reference point)

3.1對比驗(yàn)證

為研究該方法的有效性，引入了解析方法進(jìn)行對比。對于添加彈簧阻尼結(jié)構(gòu)后簡支薄板，利用模態(tài)疊加的方法計(jì)算薄板的振動(dòng)響應(yīng)[19]。

其固有頻率為

(36)

模態(tài)振型為

(37)

則以模態(tài)疊加方法得到薄板的位移響應(yīng)為

(38)

(39)

R=-(k+jωcd)F×

(40)

根據(jù)模型參數(shù)，在MatlabR2015a中建立了WBM模型，解析解也通過Matlab軟件實(shí)現(xiàn)。應(yīng)用Hyperwoks建立了有限元模型，模型單元尺寸為5 mm，全局節(jié)點(diǎn)數(shù)(自由度)為24 322。圖3，圖4分別為參考點(diǎn)ref(0.35 m,0.5 m) 在50～600 Hz范圍內(nèi)的振動(dòng)位移響應(yīng)的實(shí)部與虛部的對比情況。

圖3　參考點(diǎn)的頻響(實(shí)部)Fig.3 The frequency response of reference point(real part)

圖4　參考點(diǎn)的頻響(虛部)對比Fig.4 The frequency response of reference point(imaginary part)

通過對位移響應(yīng)計(jì)算結(jié)果的對比，可以看出在低頻(200 Hz以下)范圍，有限元結(jié)果與理論符合很好。隨著頻率增加，有限元計(jì)算結(jié)果在很多頻率上出現(xiàn)峰值偏移和數(shù)值偏差，而WBM計(jì)算結(jié)果與理論結(jié)果，不論是實(shí)部還是虛部上都十分吻合，說明了該方法在運(yùn)用于中頻段的振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算具有更高的精度。WBM是基于頻率的算法，因此對于隨頻率變化的彈簧剛度和阻尼系統(tǒng)，也能利用該方法得到各頻率下的彎曲振動(dòng)響應(yīng)。同時(shí)，相比于有限元法，以WBM仿真計(jì)算此類結(jié)構(gòu)時(shí)能十分方便的對彈簧阻尼結(jié)構(gòu)的布置位置或數(shù)量進(jìn)行更改，而不需要重新建立模型，這一特點(diǎn)也能很好的應(yīng)用到結(jié)構(gòu)的優(yōu)化中。

3.2收斂性

圖5　WBM與FEM收斂曲線Fig.5 The convergence curve of WBM and FEM

4計(jì)算分析

為研究彈簧阻尼支承的數(shù)量對薄板的振動(dòng)響應(yīng)的影響。在薄板上任意選取了如表1所示的5個(gè)位置依次添加相同參數(shù)的彈簧阻尼結(jié)構(gòu)，計(jì)算了這個(gè)5個(gè)方案在120 Hz激勵(lì)頻率時(shí)，薄板的彎曲振動(dòng)響應(yīng)，各個(gè)模型都取188個(gè)波函數(shù)。

表1　各彈簧阻尼結(jié)構(gòu)添加位置

限于篇幅，此處選取了只添加一號結(jié)構(gòu)和添加上述5個(gè)彈簧阻尼結(jié)構(gòu)兩種方案的響應(yīng)結(jié)果與無彈簧阻尼結(jié)構(gòu)時(shí)的振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行對比分析，如圖6～圖8所示。從對比結(jié)果可以看出，各等高線在邊界處的位移都為零，符合簡支邊界的要求。在附加彈簧阻尼支承后，薄板的振動(dòng)位移響應(yīng)將完全改變，且添加彈簧阻尼結(jié)構(gòu)數(shù)也決定著薄板的彎曲振動(dòng)。當(dāng)然不同的安裝位置，彈簧阻尼參數(shù)也將產(chǎn)生不同的振動(dòng)的響應(yīng)，也是后續(xù)優(yōu)化或改善結(jié)構(gòu)振動(dòng)要考慮的。

圖6 無彈簧阻尼結(jié)構(gòu)薄板位移等高線Fig.6Thedisplacementcontourofplatewithoutspring-damper圖7 附加一個(gè)彈簧阻尼薄板位移等高線Fig.7Thedisplacementcontourofplatewithaspring-damper圖8 附加5個(gè)彈簧阻尼薄板位移等高線Fig.8Thedisplacementcontourofplatewithfivespring-dampers

圖9為添加不同彈簧阻尼結(jié)構(gòu)數(shù)時(shí)計(jì)算的收斂情況，其中WBM-nsd為添加了n個(gè)彈簧阻尼結(jié)構(gòu)的收斂曲線。從對比結(jié)果可以看出，彈簧阻尼結(jié)構(gòu)數(shù)對該方法的精度收斂影響不大。如式(31) 所示，增加彈簧阻尼結(jié)構(gòu)會(huì)使系統(tǒng)矩陣的維度增加，相應(yīng)地其求解量也會(huì)增加，但該方法的數(shù)值收斂特性還是由波函數(shù)和邊界條件決定。

圖9　不同彈簧阻尼結(jié)構(gòu)數(shù)的收斂Fig.9 The convergence curve of WBM with different number of spring-damper

5結(jié)論

文章在基于WBM對薄板彎曲振動(dòng)分析的基礎(chǔ)上，通過將彈簧阻尼結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為隨頻率和位移變化的點(diǎn)激勵(lì)的方法，重構(gòu)了引入彈簧阻尼結(jié)構(gòu)后WBM的系統(tǒng)矩陣，實(shí)現(xiàn)了WBM在含彈簧阻尼結(jié)構(gòu)薄板振動(dòng)響應(yīng)預(yù)測中的應(yīng)用。并通過與解析法、有限元法的計(jì)算結(jié)果的對比，驗(yàn)證了該方法的有效性，更體現(xiàn)了WBM在中頻振動(dòng)分析自由度少，收斂快和精度高的特點(diǎn)。研究了彈簧阻尼結(jié)構(gòu)及其數(shù)量對薄板振動(dòng)的影響，后續(xù)將利用該方法靈活建模和高收斂的特點(diǎn)，以復(fù)雜結(jié)構(gòu)振動(dòng)輸入功率和結(jié)構(gòu)聲學(xué)耦合系統(tǒng)中聲學(xué)響應(yīng)為目標(biāo)，對相應(yīng)的安裝位置和彈簧阻尼參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

參 考 文 獻(xiàn)

[1] Deraemaeker A, Babuska I, Bouillard P. Dispersion and pollution of the FEM solution for the Helmholtz equation in one, two and threedimensions [J]. Int J Numer Methods Engrg,1999,46(2):471-499.

[2] Zienkiewicz O C, Taylor R L, Zhu J Z, et al.The finite element method—Vol. 1: Basic formulation and linear problems[M].Ox ford,UK: Butterworth-Heinemann, 2005.

[3] Zienkiewicz O C, Taylor R L.The finite element method—Vol. 2: Solid and structural mechanics[M].Oxford,UK: Butterworth-Heinemann, 2005.

[4] Lyon R, DeJong R. Theory and application of statistical energy analysis [M].2nd ed.Oxford,UK: Butterworth Heinemann,1995.

[5] Despres O C A B. Application of an ultra-weak variational formulation of elliptic PDEs to the two-dimensional Helmholtz problem [J]. In SIAM J Numer Anal,1998,35(1):255-299.

[6] Cotoni V, Shorter P J, Langley R S. Numerical and experimental validation of the hybrid finite element-statistical energy analysis method [J]. Journal of the Acoustical Society of America, 2007,122(1):259-270.

[7] Desmet W. A wave based prediction technique for coupled vibro-acousticanalysis [D]. Leuven, Belgium:Catholic University of Louvain,1998:2053-2063.

[8] Perrey-Debain E, Trevelyan J, Bettess P.Wave boundary elements: a theoretical overview presenting applications in scattering of shortwaves [J]. Eng Anal Bound Elem, 2004,28(2): 131-141.

[9] Carcaterra A,Sestieri A. Complex envelope displacement analysis: a quasi-static approach tovibrations [J]. Journal of Sound and Vibration, 1997,201(2):205-233.

[10] Bouillard P, Suleaub S.Element-free Galerkin solutions for Helmholtz problems: formulation and numerical assessment of the pollutioneffect [J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1998,162(1/2/3/4):317-335.

[11] Rouch P, Ladevèze P.The variational theory of complex rays: a predictive tool for medium frequency vibrations [J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2003,192(28/29/30): 3301-3315.

[12] Vergote K,Vanmaele C, Vandepitte D, et al. An efficient wave based approach for the time-harmonic vibration analysis of 3D plate assemblies [J]. Journal of Sound and Vibration, 2013,332(8): 1930-1946.

[13] Deckers E, Bergen B, Van Genechten B, et al. An efficient wave based method for 2D acoustic problems containing corner singularities [J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2012,241/242/243/244: 286-301.

[14] Van Genechten B, Atak O, Bergen B,et al. An efficient wave based method for solving Helmholtz problems in three-dimensional bounded domains [J]. Engineering Analysis with Boundary Elements, 2012,36(1): 63-75.

[15] 楊念, 陳爐云,張?jiān)７? 基于波函數(shù)法的結(jié)構(gòu)振動(dòng)功率流研究[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2014,33(2): 173-177.

YANG Nian，CHEN Lu-yun，ZHANG Yu-fang. Wave based method for steady-state power flow analysis [J].Journal of Vibration and Shock, 2014,33(2): 173-177.

[16] 何雪松,黃其柏,胡溧. WBM 法在薄板彎曲振動(dòng)分析中的應(yīng)用[J]. 華中科技大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2008,36(7):97-99.

HE Xue-song, HUANG Qi-bai, HU Li. Application of wave based method to plate bending vibration analysis [J].Huangzhong University of Science & Technology:Natural Science Edition, 2008, 36(7):97-99.

[17] Peng Wei-cai, He Zeng, Li Peng, et al. A prediction technique for dynamic analysis of flat plates in the mid-frequency range[J]. Acta Mechanica Solida Sinica, 2007, 20(4): 333-341.

[18] Leissa A. Vibration of plates[M]. Woodbury: Acoustical Society of America,1993.

[19] Gavric L, Pavic G.A finite element method for computation of structural intensity by the normal mode approach [J]. Journal of Sound and Vibration,1993, 164(1):29-43.

基金項(xiàng)目：中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)科研專項(xiàng)(CDJZR14115501);重慶市研究生科研創(chuàng)新項(xiàng)目(CYB14036);國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51275540)

收稿日期：2015-06-10修改稿收到日期：2015-07-24

通信作者徐中明 男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1963年生

中圖分類號:U461.40

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.14.023

Vibration analysis of plates with spring -damper by using wave based method

XIA Xiao-jun1,2, XU Zhong-ming1,2, ZHANG Zhi-fei1,2, HE Yan-song1,2

(1. State Key Laboratory of Mechanical Transmission, Chongqing University, Chongqing 400030, China;2. School of Automotive Engineering, Chongqing University, Chongqing 400030, China)

Abstract:A wave based prediction technique for spring-damper plates was proposed based on the theory of Kirchhoff and wave based method (WBM) via converting the additional spring-damper structure into a point force with modified frequency and amplitude of displacement. The system matrix of plates with spring-damper was constructed by using WBM to solve the bending vibration response of plates. Taking a four edges simply supported rectangular plate as an example, the method was verified via comparing the vibration response at a reference point in 50-600 Hz frequency band implemented by the method with those by the analytic method and finite element method respectively. The vibration responses of plates with different number of spring-damper were computed to find the effect of the adding structure. The analysis results indicates that WBM is valid in the prediction of vibration responses of spring-damper plates. Contrasting with the FEM, the WBM can achieve higher accuracy and converging rate in the calculation of mid-frequency bending vibration responses of spring-damper plates.

Key words:wave based method (WBM); spring-damper; bending vibration; plate

第一作者 夏小均 男，博士生，1988年生

E-mail: xuzm@cqu.edu.cn