基于模擬退火算法的旋轉(zhuǎn)梁壓電分流電路優(yōu)化*

周蘭偉，　陳國(guó)平，　孫東陽(yáng)，　何　成

(1.南京航空航天大學(xué)大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室　南京，210016) (2.重慶大學(xué)航空航天學(xué)院　重慶，400044) (3.南京航空航天大學(xué)無(wú)人機(jī)研究院　南京，210016)

?

基于模擬退火算法的旋轉(zhuǎn)梁壓電分流電路優(yōu)化*

周蘭偉1，陳國(guó)平1，孫東陽(yáng)2，何成3

(1.南京航空航天大學(xué)大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室南京，210016) (2.重慶大學(xué)航空航天學(xué)院重慶，400044) (3.南京航空航天大學(xué)無(wú)人機(jī)研究院南京，210016)

摘要采用壓電分流控制方法對(duì)旋轉(zhuǎn)柔性梁進(jìn)行振動(dòng)抑制，在分析旋轉(zhuǎn)梁壓電分流控制方程的基礎(chǔ)上采用模擬退火算法對(duì)電路中的電阻、電感原件進(jìn)行了優(yōu)化。首先，使用Hamilton原理建立了繞x軸旋轉(zhuǎn)柔性梁的壓電分流阻尼控制方程，推導(dǎo)了基于壓電分流控制的壓電分流系統(tǒng)傳遞函數(shù)；然后，基于模擬退火優(yōu)化算法思想，建立傳遞函數(shù)的優(yōu)化模型,并對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化；最后，針對(duì)旋轉(zhuǎn)梁壓電分流電路優(yōu)化進(jìn)行數(shù)值計(jì)算與分析。仿真結(jié)果表明：壓電分流阻尼可以很好地抑制柔性旋轉(zhuǎn)梁振動(dòng)；與遺傳算法相比，模擬退火優(yōu)化算法不僅可以取得很好的優(yōu)化效果，且優(yōu)化效率得到極大的提高。

關(guān)鍵詞旋轉(zhuǎn)梁； 壓電分流； 模擬退火； 優(yōu)化

1問(wèn)題的提出

繞x軸旋轉(zhuǎn)梁是工業(yè)中應(yīng)用極為廣泛的一種基本機(jī)械元件，在現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)、日常生活中用途廣泛，如機(jī)械中的微型旋轉(zhuǎn)部件，航空、航天等高科技領(lǐng)域內(nèi)的旋轉(zhuǎn)飛行器及衛(wèi)星支撐臂等都可以用旋轉(zhuǎn)梁來(lái)模擬其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及動(dòng)態(tài)特性。旋轉(zhuǎn)柔性梁通常具有結(jié)構(gòu)細(xì)長(zhǎng)且質(zhì)量輕等特點(diǎn)，在高速旋轉(zhuǎn)時(shí)易產(chǎn)生振動(dòng)、磨損及噪聲等問(wèn)題，為確保結(jié)構(gòu)正常工作，必須采取有效措施對(duì)其振動(dòng)進(jìn)行抑制[1-3]。

壓電分流控制是一種新型振動(dòng)控制方法，通過(guò)將壓電材料嵌入原系統(tǒng)，增加原系統(tǒng)的阻尼，從而實(shí)現(xiàn)振動(dòng)的抑制。壓電分流控制的主要原理如圖1所示，壓電材料由于反壓電效應(yīng)而放出電荷，R分流電路或RL分流電路將與壓電材料形成諧振電路，由結(jié)構(gòu)振動(dòng)的機(jī)械能轉(zhuǎn)化而來(lái)的電能將存儲(chǔ)于電感中,并通過(guò)諧振電路中的電阻將電能轉(zhuǎn)化為熱能耗散掉,從而實(shí)現(xiàn)阻尼減振的目的。壓電分流阻尼系統(tǒng)可以很好地實(shí)現(xiàn)機(jī)械結(jié)構(gòu)的振動(dòng)抑制,不需要功率放大器、傳感器等附屬電子儀器。與其他振動(dòng)控制方法相比,這種控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、魯棒性好,易于實(shí)現(xiàn),而且控制系統(tǒng)本身的附加體積、附加質(zhì)量和附加剛度非常小,對(duì)主結(jié)構(gòu)的影響較小，適用于許多精密機(jī)械場(chǎng)合或柔性結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制[4]。壓電分流電路的特點(diǎn)吸引了眾多研究者的關(guān)注[5-8]，但目前尚未見(jiàn)到針對(duì)旋轉(zhuǎn)梁進(jìn)行壓電分流控制的文獻(xiàn)。此外，由于分流電路的諧振效果和品質(zhì)因數(shù)決定了壓電分流阻尼系統(tǒng)的抑振效果, 所以選擇合適的電感和電阻值對(duì)壓電分流阻尼抑振效能起著至關(guān)重要的作用，而對(duì)電感和電阻值的優(yōu)化主要基于諧振分流電路理論[9-10]針對(duì)某特定頻率進(jìn)行優(yōu)化，沒(méi)有考慮分流電路對(duì)結(jié)構(gòu)頻率變化的影響。

圖1　壓電分流示意圖Fig.1　A sketch of piezoelectric shunt damping system

現(xiàn)以繞x軸旋轉(zhuǎn)柔性梁為研究對(duì)象，筆者分析了壓電分流電路對(duì)旋轉(zhuǎn)梁頻率的影響，采用模擬退火算法對(duì)分流電路中的電感和電阻值進(jìn)行優(yōu)化，探索壓電分流電路在柔性旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。

2旋轉(zhuǎn)梁壓電分流分析

為了研究壓電分流電路在柔性結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制中的應(yīng)用，現(xiàn)選取繞x軸旋轉(zhuǎn)柔性梁的y方向位移響應(yīng)為抑制對(duì)象，柔性梁在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中主要受非對(duì)稱(chēng)的離心力等影響。如圖2所示，在梁的上表面y方向布置壓電分流電路。

圖2　旋轉(zhuǎn)柔性梁壓電分流控制Fig.2　Schematic diagram of spinning beam with piezoelectric shunt system

基于Rayleigh-Ritz假設(shè)，旋轉(zhuǎn)梁上任意一點(diǎn)軸向變形s及橫向位移v，w可以寫(xiě)為

(1)

(2)

(3)

其中

(4)

(5)

Φsj(x)，Φvj(x)及Φwj(x)[11-12]可以表示為

(6)

應(yīng)用Euler-Bernoulli梁假設(shè)原理，未安裝壓電片的梁y方向應(yīng)變?yōu)?/p>

(7)

安裝了壓電片的梁y方向應(yīng)變?yōu)?/p>

(8)

壓電作動(dòng)器應(yīng)變?yōu)?/p>

(9)

新的中性軸的計(jì)算可以通過(guò)使整個(gè)截面上x(chóng)方向的力之和為零，得到

(10)

將式(8)，(9)代入式(10)可以得到

(11)

假設(shè)電場(chǎng)均勻通過(guò)壓電作動(dòng)器，并且無(wú)電場(chǎng)作用于旋轉(zhuǎn)梁，則電場(chǎng)強(qiáng)度可以寫(xiě)為

(12)

旋轉(zhuǎn)柔性梁系統(tǒng)的總動(dòng)能可以表示為

(13)

其中：ΔH=H(x-l1)-H(x-l2)；H(x)為Heaviside階躍函數(shù)。

旋轉(zhuǎn)柔性梁勢(shì)能可以寫(xiě)為

(14)

其中

(15)

(16)

因此旋轉(zhuǎn)梁系統(tǒng)勢(shì)能為

(17)

外力對(duì)系統(tǒng)做功為

(18)

壓電分流控制電路中電能可以表示為

(19)

根據(jù)Hamilton原理，將式(13)，(17)和(19)代入拉格朗日方程，可得基于壓電分流控制旋轉(zhuǎn)Rayleigh梁動(dòng)力學(xué)方程。

x方向力關(guān)系

(20)

其中

y方向力關(guān)系

(21)

其中

管理者在看管施工團(tuán)隊(duì)的時(shí)候，一定要和設(shè)計(jì)部門(mén)做好交底，明確施工質(zhì)量和施工目標(biāo)。并且管理者要求施工人員嚴(yán)格按照施工圖紙和設(shè)計(jì)方案進(jìn)行，并且一定要跟上施工進(jìn)度（不可抗力原因除外）。對(duì)施工進(jìn)度進(jìn)行有效的考察和看管，確保實(shí)際進(jìn)度和原計(jì)劃能夠相互匹配。如果遇到不可抗力原因?qū)τ谠?jì)劃的方案受到影響，可以先將進(jìn)度放緩或者先停工，后期要進(jìn)行趕超。

同理可得z方向力關(guān)系

(22)

電路關(guān)系可表示為

(23)

將式(23)代入式(21)可得

(24)

由基爾霍夫電壓定律可得

(25)

(26)

經(jīng)過(guò)整理可得系統(tǒng)矩陣方程

(27)

其中

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

假設(shè)在x=l3處布置一個(gè)位移傳感器以測(cè)量該處的y方向位移響應(yīng)，則傳感器方程可以寫(xiě)為

(35)

(36)

其中：Tr反映了系統(tǒng)的被動(dòng)阻尼特性，Tr越小則表明系統(tǒng)的阻尼越大,旋轉(zhuǎn)梁位移響應(yīng)振幅衰減越快。

3優(yōu)化準(zhǔn)則及模擬退火算法

3.1優(yōu)化準(zhǔn)則及目標(biāo)函數(shù)

根據(jù)1.2中所得y方向位移響應(yīng)和外力之間的傳遞函數(shù)，考慮壓電分流電路對(duì)旋轉(zhuǎn)梁結(jié)構(gòu)頻率的影響，建立目標(biāo)函數(shù)，即以嵌入壓電材料的梁結(jié)構(gòu)的第n階頻率對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)值為目標(biāo)函數(shù)

(37)

相應(yīng)的多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)為

(38)

其中：i,j,…，n分別為需要優(yōu)化傳遞函數(shù)值。

約束條件為

(39)

其中：R為壓電分流電路中的電阻及電感值可以設(shè)定的區(qū)域。

3.2模擬退火算法優(yōu)化

模擬退火算法的思想最早是由Metropolis等提出的，其主要實(shí)現(xiàn)過(guò)程如圖3所示。

圖3　模擬退火算法求解流程圖Fig.3　Flow process of simulated annealing algorithm(SA)

1) 控制參數(shù)的設(shè)置：選取足夠大的初始溫度T0、降溫速率q、結(jié)束溫度Tend以及Metropolis鏈長(zhǎng)L。

2) 初始解：任取初始解S1。

3) 解變換生成新解:對(duì)當(dāng)前解S1隨機(jī)擾動(dòng)產(chǎn)生一個(gè)新解S2。

4) Metropolis準(zhǔn)則：計(jì)算S2的增量df=f(S2)-f(S1)，若df<0，則將S2視為新的當(dāng)前解；否則按照S2的接受概率exp(-df/T)接受S2；

5) 降溫:利用降溫速率q進(jìn)行降溫，即T=qT,若T小于結(jié)束溫度，則停止迭代輸出當(dāng)前狀態(tài)，否則繼續(xù)迭代，直至滿(mǎn)足結(jié)束準(zhǔn)則，求出最優(yōu)解。

4數(shù)值算例

高速旋轉(zhuǎn)柔性梁的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)主要由低階模態(tài)組成，假設(shè)其響應(yīng)由前3階模態(tài)組成，則式(27)中n=3，柔性梁和壓電分流電路具體參數(shù)如表1所示。

表1　旋轉(zhuǎn)梁壓電分流系統(tǒng)參數(shù)

Tab.1System parameters of spinning beam with piezoelectric shunt damping system

名稱(chēng)數(shù)值名稱(chēng)數(shù)值ρb/(kg·m-3)2600ρp/(kg·m-3)7500wb/mm2wp/mm2hb/mm2hp/mm0.8Eb/GPa70Ep/GPa60P/N0d31/(pm·V-1)-274Ω/(rad·s-1)150ξε/(nF·m-1)25.55lb/m1l1/m0.475lx1/m0.3l2/m0.525lx2/m0.3lx3/m0.3

設(shè)初始溫度T0=100 ℃，降溫函數(shù)用指數(shù)降溫T=0.95kT0，其中k為當(dāng)前迭代次數(shù)。模擬退火算法中接受新解的概率采用Boltzmann概率分布，即P(x?x′)=

(40)

以第1階頻率對(duì)應(yīng)y方向位移響應(yīng)和外力之間的傳遞函數(shù)值為優(yōu)化目標(biāo)，分別使用遺傳算法和模擬退火算法對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化。

圖4分別表示使用遺傳算法和模擬退火算法對(duì)迭代第1階頻率對(duì)應(yīng)y方向位移響應(yīng)和外力之間的傳遞函數(shù)值優(yōu)化歷程曲線(xiàn),其中圖(a)為遺傳算法優(yōu)化曲線(xiàn)，圖(b)為模擬退火優(yōu)化曲線(xiàn)。從圖中可以看出遺傳算法迭代240代可取得穩(wěn)定較優(yōu)解，所得的最優(yōu)電阻為9 150 kΩ，電感為51.6 H；模擬退火算法迭代100代即可獲得較優(yōu)解，所得的最優(yōu)電阻為9 138.65 kΩ，電感為102.4 H。在Intel Xeon CPU X5550, 2.66 GH主頻，12 GB內(nèi)存計(jì)算機(jī)上使用MATLAB 2012a對(duì)兩種優(yōu)化算法分別迭代400代，遺傳算法使用的時(shí)間約為172 800 s，而模擬退火算法僅需用28.433 s，約為遺傳算法所用時(shí)間的0.165‰，效率得到了極大的提高。

圖4　第1階傳遞函數(shù)迭代優(yōu)化Fig.4　Iterative optimization of the first order transfer function

將兩種優(yōu)化算法所得的電阻和電感值分別代入y方向位移響應(yīng)和外力之間的傳遞函數(shù)，并與原系統(tǒng)傳遞函數(shù)曲線(xiàn)進(jìn)行對(duì)比。從圖5看出，第1階對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)值在未控制狀態(tài)下為30.111 dB,加入壓電分流電路后第1階對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)值下降為-8.951 dB,系統(tǒng)響應(yīng)得到了很好地抑制，兩種優(yōu)化算法所得的壓電分流電路對(duì)于旋轉(zhuǎn)柔性梁的振動(dòng)效果幾乎一致。從圖5可以看出，無(wú)控制時(shí)系統(tǒng)y方向位移響應(yīng)第1階頻率為29.5 Hz，加入壓電分流電路后系統(tǒng)第1階頻率為34 Hz，若不考慮頻率的變化，所得的結(jié)果將偏離最優(yōu)解。

圖5　控制前后系統(tǒng)傳遞函數(shù)曲線(xiàn)Fig.5　System transfer function curves with and without control

采用模擬退火算法，分別以第1階、第2階頻率對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)值及前兩階頻率對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行單目標(biāo)和多目標(biāo)優(yōu)化，得到系統(tǒng)在控制前后的傳遞函數(shù)曲線(xiàn)如圖6所示，圖7表示局部放大圖。從圖7可以看出，某1階頻率對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為目標(biāo)函數(shù)的提高往往需要以另1階頻率對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的降低為代價(jià)。當(dāng)以第2階頻率對(duì)應(yīng)的函數(shù)值進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，第1階與第2階頻率對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)值分別降為-2.538 dB和-6.086 dB。與以第1階頻率對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為目標(biāo)函數(shù)相比，第2階頻率對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)值下降了1.813 dB，但第1階頻率對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)值卻上升了6.413 dB。當(dāng)以前兩階頻率對(duì)應(yīng)的函數(shù)值進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化時(shí)，兩個(gè)頻率對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)值分別降至-6.325 dB和-5.348 dB。

圖6　不同優(yōu)化目標(biāo)控制系統(tǒng)前后傳遞函數(shù)曲線(xiàn)Fig.6　System transfer function curves with different optimization goals

圖7　局部放大圖Fig.7　Partial enlarged figure

經(jīng)過(guò)對(duì)比分析，采用模擬退火算法對(duì)前兩階頻率對(duì)應(yīng)的函數(shù)值進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化所得的最優(yōu)壓電分流電路，可以對(duì)旋轉(zhuǎn)梁系統(tǒng)振動(dòng)進(jìn)行較好地抑制。表2給出了不同轉(zhuǎn)速下采用模擬退火多目標(biāo)優(yōu)化算法獲得的最優(yōu)電感值、電阻值及第1，2階頻率對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)值變化情況。

表2不同轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)梁壓電分流電路優(yōu)化

Tab.2Optimization of piezoelectric shunt damping system at different spinning speeds

轉(zhuǎn)速/(rad·s-1)L/HR/kΩ(Tr0-Tr)/dB第1階第2階50149.323417436.61315.254100339.212432536.43815.297200159.078416136.2415.31125084.424026.336.07815.34300404.2214328.436.53515.31350374.3534309.336.50215.31

Tr表示基于壓電分流控制的某1階頻率對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)傳遞函數(shù)值；Tr0表示對(duì)應(yīng)無(wú)控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)值。

5結(jié)束語(yǔ)

基于壓電分流阻尼控制的旋轉(zhuǎn)柔性梁的動(dòng)力學(xué)方程，建立了壓電分流控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)?？紤]壓電分流電路對(duì)系統(tǒng)頻率的影響，分別使用遺傳算法和模擬退火算法對(duì)壓電分流電路中的電阻及電感值進(jìn)行優(yōu)化，得到最優(yōu)解。研究表明，兩種優(yōu)化算法優(yōu)化后的壓電分流電路都可以很好地抑制旋轉(zhuǎn)梁的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，但模擬退火算法的優(yōu)化效率遠(yuǎn)高于遺傳算法。但在實(shí)際應(yīng)用中，相同的壓電分流電路，在結(jié)構(gòu)上的不同布置位置，將對(duì)振動(dòng)抑制效果產(chǎn)生較大影響，因此下一步將研究壓電分流電路布置對(duì)振動(dòng)控制作用的影響。

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E-mail：zhoulanwei@nuaa.edu.cn

doi:10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.02.017

收稿日期：2014-04-25；修回日期：2014-07-17

中圖分類(lèi)號(hào)O327； O322; TH85

第一作者簡(jiǎn)介：周蘭偉，男，1988年2月生，博士生。主要研究方向?yàn)閺?fù)雜結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析與控制、智能結(jié)構(gòu)控制。曾發(fā)表《Finite element modeling and active vibration control of high-speed spinning flexible beam》 (《Journal of Vibroengineering》2015,Vol.17,No.6)等論文。

*江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計(jì)劃資助項(xiàng)目(CXZZ13_0148);江蘇高校優(yōu)勢(shì)學(xué)科建設(shè)工程資助項(xiàng)目