用向量法解決立體幾何中的探索性問題

付冬雪

在直角坐標(biāo)系中引入空間向量，為解決立體幾何問題提供了一個(gè)有效的代數(shù)工具.

立體幾何中的探索性問題一般描述的是動(dòng)態(tài)過程，需要一定的空間想象能力，而向量可以使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，降低思維難度，可操作性強(qiáng)，能有效提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率.

下面列舉幾種常見的用向量法解決立體幾何中探索性問題的類型與方法.

一、與平行有關(guān)的探索性問題

問題1：如圖1，四棱錐S-ABCD 的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn).若SD⊥平面PAC，問：側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面PAC？若存在，求線段CE：ES的值.若不存在，說明理由.

因?yàn)锽E不在平面PAC內(nèi)，故BE ∥平面PAC .

點(diǎn)評(píng)：假設(shè)點(diǎn) E 是線段SC上的點(diǎn)， 一般可設(shè)=λ（0≤λ≤1）求出λ值，通過建立坐標(biāo)系，向量的坐標(biāo)是通過已知可求的，即可用λ表示向量.根據(jù)BE∥平面 PAC，由與面PAC的法向量垂直解出λ.立體幾何中的點(diǎn)的位置的探求經(jīng)常借助于空間向量，設(shè)比值引入?yún)?shù)， 根據(jù)題中已知和所求結(jié)論轉(zhuǎn)化成向量問題， 解出參數(shù).這是立體幾何中的點(diǎn)的位置的探求的常用方法.

二、與垂直有關(guān)的探索性問題

問題2：如圖2，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，MD⊥面ABCD，NB⊥面ABCD，且MD=NB=1，E為BC中點(diǎn)，問：在線段AN上是否存在一點(diǎn)S，使ES⊥平面AMN？若存在，求線段AS的長；若不存在，說明理由.

點(diǎn)評(píng)：空間中的線線、線面、面面垂直都可轉(zhuǎn)化為兩向量的垂直來解決，本問題也可以利用向量與平面 AMN 的一個(gè)法向量共線來求得 S 的位置.

三、與角有關(guān)的探索性問題

問題3：已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分別是PA、PB、BC的中點(diǎn). 問：線段 PD上是否存在一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，使得直線GM與平面EFG所成角為，若存在，求線段PM的長度，若不存在，說明理由.

從以上問題可以看出，向量是“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)化的橋梁和紐帶，既能體現(xiàn)“數(shù)”的運(yùn)算性質(zhì)，又具有“形”的直觀特征，能融數(shù)形于一體.因此，向量是解決立體幾何中平行、垂直、角和距離的有效工具. 用向量法解決立體幾何中的探索性問題時(shí)，要恰當(dāng)?shù)亟⒖臻g直角坐標(biāo)系，合理地等價(jià)轉(zhuǎn)化所求問題，就能將幾何問題代數(shù)化，將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，將邏輯推理運(yùn)算化.