超靜定結(jié)構(gòu)基本計算方法對比分析

劉曉江　馬俊濤

摘 要：超靜定結(jié)構(gòu)是在工程實際中大量采用的結(jié)構(gòu)形式。本文主要論述超靜定結(jié)構(gòu)的兩種基本計算方法--力法與位移法在基本思路、典型方程以及應(yīng)用等方面的對比。

關(guān)鍵詞：超靜定結(jié)構(gòu)；力法；位移法；對比

在實際工程中，大多數(shù)結(jié)構(gòu)都是超靜定結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)力學(xué)計算的內(nèi)容，通常包括內(nèi)力計算和位移計算兩個方面。在結(jié)構(gòu)的靜力問題中，內(nèi)力和位移必須滿足平衡條件和變形連續(xù)條件。對于靜定結(jié)構(gòu)來說，平衡條件是解結(jié)構(gòu)反力和內(nèi)力的唯一條件，而超靜定結(jié)構(gòu)必須同時滿足以上兩個條件，問題才能獲得全部解答。本文介紹的超靜定結(jié)構(gòu)計算的兩種基本計算方法都離不開這兩條件，只是在滿足這兩個條件的次序和方式上有所不同。

1 基本思路的對比

力法：用力法計算超靜定結(jié)構(gòu)，首先撤除多余約束，將超靜定結(jié)構(gòu)變?yōu)殪o定結(jié)構(gòu)，同時保留相應(yīng)的多余力（基本未知量），這就是力法的基本體系；其次，利用靜力平衡條件，求出基本結(jié)構(gòu)在荷載和單位多余力作用下的內(nèi)力；利用變形協(xié)調(diào)條件，建立力法的基本方程，進而求出基本未知量；最后，用疊加原理求出超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。

位移法：位移法以結(jié)點位移作為基本未知量，通過轉(zhuǎn)角位移方程求出各桿桿端彎矩，從而求出結(jié)構(gòu)的內(nèi)力、反力。用位移法解答問題時，首先需要明確結(jié)構(gòu)的基本未知量。選取的基本未知量將原來各部分相互關(guān)聯(lián)的結(jié)構(gòu)，分解成彼此可以獨立使用轉(zhuǎn)角位移方程的桿件。在此基礎(chǔ)上，就可以利用桿件的轉(zhuǎn)角位移方程，根據(jù)結(jié)構(gòu)的結(jié)點或局部平衡條件建立位移法方程。將求解位移法方程所得的基本未知量回代入各桿件的轉(zhuǎn)角位移方程，即可求得各桿件的桿端彎矩。

力法解題時轉(zhuǎn)化搭橋，采用過渡策略，把超靜定問題與靜定問題聯(lián)系起來，加以比較，從中找到由靜定問題求解過渡到超靜定問題求解的途徑。而位移法把結(jié)構(gòu)拆成桿件，進行桿件分拆，得出桿件的剛度方程，再把桿件綜合成結(jié)構(gòu)，進行整體分析，得出基本方程，從而求解，是“先化整為零，再集零成整”，即將一個復(fù)雜的問題化解為若干簡單問題的分析及組合的問題。

2典型方程的對比

力法：力法的基本方程是通過基本體系沿多余約束力方向的位移與原超靜定結(jié)構(gòu)相應(yīng)的位移相同。對于具有n個基本未知量的問題，力法的基本方程可寫為：

方程中，系數(shù)δij和自由項?ip代表基本結(jié)構(gòu)的位移。位移符號中，第一個下標表示位移的方向，第二個表示產(chǎn)生位移的原因。

位移法：位移法的基本方程是通過基本體系與原結(jié)構(gòu)受力一致，附加約束中的反力（反力距）應(yīng)等于零的條件建立的，其實質(zhì)上是原結(jié)構(gòu)應(yīng)滿足的平衡條件。

對于具有n個基本未知量的問題，位移法的基本方程可寫為：

系數(shù)kij是基本結(jié)構(gòu)在?j=1單獨作用時，在第i個附加約束中產(chǎn)生的約束力矩，是結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)，與外部作用無關(guān)。Fip稱為荷載項或自由項，是基本結(jié)構(gòu)在荷載單獨作用時，在第i個附加約束中產(chǎn)生的約束力矩（或約束力）。

建立基本方程時，兩者都同時考慮了平衡條件與變形協(xié)調(diào)條件，只是先后次序不同。力法中基本體系在荷載和多余未知力共同作用下保持平衡，先滿足了平衡條件，在建立基本方程時又滿足了變形協(xié)調(diào)條件。位移法在確定基本未知量時，認為匯交于剛結(jié)點處的各桿端轉(zhuǎn)角相同及受彎桿兩端間距不變，即先滿足變形協(xié)調(diào)條件，建立位移法基本方程時滿足平衡條件。

3 應(yīng)用的對比

力法的計算對象是超靜定結(jié)構(gòu)的多余未知力，對于沒有多余未知力的境地結(jié)構(gòu)就沒什么作用了。但位移法對靜定和超靜定結(jié)構(gòu)同樣有效，在應(yīng)用范圍上幾乎沒有什么限制。一般來說，力法適用于多余約束少而結(jié)點較多的剛架，而位移法適用于多余約束多而結(jié)點較少的剛架。

當單獨使用力法或者位移法但過程相對較為復(fù)雜時，可以考慮兩者的混合應(yīng)用與聯(lián)合應(yīng)用?；旌蠎?yīng)用即在結(jié)點位移多而多余約束少的結(jié)構(gòu)局部撤除多余約束，運用力法；在結(jié)點位移少而多余約束多的地結(jié)構(gòu)局部的結(jié)點附加約束，運用位移法。聯(lián)合運用是分別應(yīng)用力法與位移法求解，最后再進行疊加，從而得出所求內(nèi)力。

4 總結(jié)

超靜定結(jié)構(gòu)抵抗突然破壞的防護能力，內(nèi)力狀態(tài)以及結(jié)構(gòu)的剛度、穩(wěn)定性都要比靜定結(jié)構(gòu)有所改善和提高，所以超靜定結(jié)構(gòu)在實際土木工程中有著更加廣泛的應(yīng)用。

力法與位移法是分析超靜定結(jié)構(gòu)的兩種基本方法。力法的基本未知量是力，用位移條件建立平衡方程；而位移法的基本未知量是位移，用力的條件建立平衡方程。由此看出，力法與位移法，既有聯(lián)系，又有區(qū)別。在解決實際問題時，兩者應(yīng)靈活應(yīng)用，不可生搬硬套，必要時，也可兩者相互結(jié)合。

參考文獻

[1]樊友景、高洪波主編 結(jié)構(gòu)力學(xué)（上冊） 鄭州大學(xué)出版社

[2]孫俊、張長領(lǐng)主編 結(jié)構(gòu)力學(xué)Ⅰ 重慶大學(xué)出版社

[3]張系斌主編 結(jié)構(gòu)力學(xué)簡明教程 北京大學(xué)出版社

[4]單建、呂令毅編著 結(jié)構(gòu)力學(xué) 東南大學(xué)出版社