超靜定結(jié)構(gòu)基本計(jì)算方法對(duì)比分析

劉曉江　馬俊濤

摘 要：超靜定結(jié)構(gòu)是在工程實(shí)際中大量采用的結(jié)構(gòu)形式。本文主要論述超靜定結(jié)構(gòu)的兩種基本計(jì)算方法--力法與位移法在基本思路、典型方程以及應(yīng)用等方面的對(duì)比。

關(guān)鍵詞：超靜定結(jié)構(gòu)；力法；位移法；對(duì)比

在實(shí)際工程中，大多數(shù)結(jié)構(gòu)都是超靜定結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)力學(xué)計(jì)算的內(nèi)容，通常包括內(nèi)力計(jì)算和位移計(jì)算兩個(gè)方面。在結(jié)構(gòu)的靜力問(wèn)題中，內(nèi)力和位移必須滿足平衡條件和變形連續(xù)條件。對(duì)于靜定結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，平衡條件是解結(jié)構(gòu)反力和內(nèi)力的唯一條件，而超靜定結(jié)構(gòu)必須同時(shí)滿足以上兩個(gè)條件，問(wèn)題才能獲得全部解答。本文介紹的超靜定結(jié)構(gòu)計(jì)算的兩種基本計(jì)算方法都離不開這兩條件，只是在滿足這兩個(gè)條件的次序和方式上有所不同。

1 基本思路的對(duì)比

力法：用力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)，首先撤除多余約束，將超靜定結(jié)構(gòu)變?yōu)殪o定結(jié)構(gòu)，同時(shí)保留相應(yīng)的多余力（基本未知量），這就是力法的基本體系；其次，利用靜力平衡條件，求出基本結(jié)構(gòu)在荷載和單位多余力作用下的內(nèi)力；利用變形協(xié)調(diào)條件，建立力法的基本方程，進(jìn)而求出基本未知量；最后，用疊加原理求出超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。

位移法：位移法以結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量，通過(guò)轉(zhuǎn)角位移方程求出各桿桿端彎矩，從而求出結(jié)構(gòu)的內(nèi)力、反力。用位移法解答問(wèn)題時(shí)，首先需要明確結(jié)構(gòu)的基本未知量。選取的基本未知量將原來(lái)各部分相互關(guān)聯(lián)的結(jié)構(gòu)，分解成彼此可以獨(dú)立使用轉(zhuǎn)角位移方程的桿件。在此基礎(chǔ)上，就可以利用桿件的轉(zhuǎn)角位移方程，根據(jù)結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)或局部平衡條件建立位移法方程。將求解位移法方程所得的基本未知量回代入各桿件的轉(zhuǎn)角位移方程，即可求得各桿件的桿端彎矩。

力法解題時(shí)轉(zhuǎn)化搭橋，采用過(guò)渡策略，把超靜定問(wèn)題與靜定問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，加以比較，從中找到由靜定問(wèn)題求解過(guò)渡到超靜定問(wèn)題求解的途徑。而位移法把結(jié)構(gòu)拆成桿件，進(jìn)行桿件分拆，得出桿件的剛度方程，再把桿件綜合成結(jié)構(gòu)，進(jìn)行整體分析，得出基本方程，從而求解，是“先化整為零，再集零成整”，即將一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題化解為若干簡(jiǎn)單問(wèn)題的分析及組合的問(wèn)題。

2典型方程的對(duì)比

力法：力法的基本方程是通過(guò)基本體系沿多余約束力方向的位移與原超靜定結(jié)構(gòu)相應(yīng)的位移相同。對(duì)于具有n個(gè)基本未知量的問(wèn)題，力法的基本方程可寫為：

方程中，系數(shù)δij和自由項(xiàng)?ip代表基本結(jié)構(gòu)的位移。位移符號(hào)中，第一個(gè)下標(biāo)表示位移的方向，第二個(gè)表示產(chǎn)生位移的原因。

位移法：位移法的基本方程是通過(guò)基本體系與原結(jié)構(gòu)受力一致，附加約束中的反力（反力距）應(yīng)等于零的條件建立的，其實(shí)質(zhì)上是原結(jié)構(gòu)應(yīng)滿足的平衡條件。

對(duì)于具有n個(gè)基本未知量的問(wèn)題，位移法的基本方程可寫為：

系數(shù)kij是基本結(jié)構(gòu)在?j=1單獨(dú)作用時(shí)，在第i個(gè)附加約束中產(chǎn)生的約束力矩，是結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)，與外部作用無(wú)關(guān)。Fip稱為荷載項(xiàng)或自由項(xiàng)，是基本結(jié)構(gòu)在荷載單獨(dú)作用時(shí)，在第i個(gè)附加約束中產(chǎn)生的約束力矩（或約束力）。

建立基本方程時(shí)，兩者都同時(shí)考慮了平衡條件與變形協(xié)調(diào)條件，只是先后次序不同。力法中基本體系在荷載和多余未知力共同作用下保持平衡，先滿足了平衡條件，在建立基本方程時(shí)又滿足了變形協(xié)調(diào)條件。位移法在確定基本未知量時(shí)，認(rèn)為匯交于剛結(jié)點(diǎn)處的各桿端轉(zhuǎn)角相同及受彎桿兩端間距不變，即先滿足變形協(xié)調(diào)條件，建立位移法基本方程時(shí)滿足平衡條件。

3 應(yīng)用的對(duì)比

力法的計(jì)算對(duì)象是超靜定結(jié)構(gòu)的多余未知力，對(duì)于沒有多余未知力的境地結(jié)構(gòu)就沒什么作用了。但位移法對(duì)靜定和超靜定結(jié)構(gòu)同樣有效，在應(yīng)用范圍上幾乎沒有什么限制。一般來(lái)說(shuō)，力法適用于多余約束少而結(jié)點(diǎn)較多的剛架，而位移法適用于多余約束多而結(jié)點(diǎn)較少的剛架。

當(dāng)單獨(dú)使用力法或者位移法但過(guò)程相對(duì)較為復(fù)雜時(shí)，可以考慮兩者的混合應(yīng)用與聯(lián)合應(yīng)用?；旌蠎?yīng)用即在結(jié)點(diǎn)位移多而多余約束少的結(jié)構(gòu)局部撤除多余約束，運(yùn)用力法；在結(jié)點(diǎn)位移少而多余約束多的地結(jié)構(gòu)局部的結(jié)點(diǎn)附加約束，運(yùn)用位移法。聯(lián)合運(yùn)用是分別應(yīng)用力法與位移法求解，最后再進(jìn)行疊加，從而得出所求內(nèi)力。

4 總結(jié)

超靜定結(jié)構(gòu)抵抗突然破壞的防護(hù)能力，內(nèi)力狀態(tài)以及結(jié)構(gòu)的剛度、穩(wěn)定性都要比靜定結(jié)構(gòu)有所改善和提高，所以超靜定結(jié)構(gòu)在實(shí)際土木工程中有著更加廣泛的應(yīng)用。

力法與位移法是分析超靜定結(jié)構(gòu)的兩種基本方法。力法的基本未知量是力，用位移條件建立平衡方程；而位移法的基本未知量是位移，用力的條件建立平衡方程。由此看出，力法與位移法，既有聯(lián)系，又有區(qū)別。在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，兩者應(yīng)靈活應(yīng)用，不可生搬硬套，必要時(shí)，也可兩者相互結(jié)合。

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