幾何直觀：促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解

孫文軍

[摘? 要] 培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀意識，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力，能促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要充分運用動作、畫圖、轉(zhuǎn)換等策略、方式和方法，孕育、發(fā)展、提升學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀能力。通過教師有意識的幾何直觀教學(xué)，幫助學(xué)生逐步形成一種“遇抽象畫形象”的思維意識、方式和習(xí)慣。幾何直觀能有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞] 幾何直觀;數(shù)學(xué)理解;小學(xué)數(shù)學(xué)

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主要矛盾是數(shù)學(xué)的抽象與學(xué)生思維的直觀形象之間的矛盾，幾何直觀是化解這一矛盾的有效措施。對于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說，幾何直觀不僅具有工具性意義，更具有本體性的價值。換言之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，運用幾何直觀不僅是為了解決問題，同時也是助推學(xué)生理解知識。直觀是學(xué)生的一種天然學(xué)習(xí)力，它通常以感知作為基礎(chǔ)。正如德國偉大的思想家康德所指出的：人類具有一種先驗直觀能力。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要充分發(fā)掘數(shù)學(xué)學(xué)科中的直觀資源，運用直觀化的手段、方法和策略，助推學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。借助幾何直觀，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、動作：孕育學(xué)生的幾何直觀

所謂“直觀”，是指“運用實物、圖形、符號等來描述、分析問題，從而讓問題變得簡明、形象的一種手段、方式和方法”。形象、簡明的數(shù)學(xué)直觀，能有效地啟發(fā)學(xué)生思考問題，幫助學(xué)生描述、分析、理解問題的本質(zhì)，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生找到問題解決思路、策略。哲學(xué)家通常認(rèn)為，直觀就是未經(jīng)充分地推理而對事物本質(zhì)的一種直接把握，帕斯卡爾的“敏感性精神”，胡塞爾的“現(xiàn)象學(xué)直觀”，其意義均在于此。而心理學(xué)家則認(rèn)為，直觀是從感覺到的具體對象背后，發(fā)現(xiàn)、抽象的一種能力。

從嚴(yán)格意義來說，動作、實物、符號等不能稱為幾何直觀，但這并不是說在應(yīng)用幾何直觀教學(xué)過程中動作、實物、符號等無意義。在小學(xué)低中學(xué)段教學(xué)中，有些學(xué)生還不能解讀幾何直觀圖形，因為這時候他們的思維還是以直觀動作為主。為此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助直觀動作來表征，逐步從實物、動作等直觀向圖形直觀過渡。比如教學(xué)《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（一）》（蘇教版三年級上冊），在引導(dǎo)學(xué)生將幾個物體、一個物體等平均分的操作中，在建立了分?jǐn)?shù)概念之后，筆者重點引導(dǎo)學(xué)生借助幾何圖形來進(jìn)行操作。如給學(xué)生提供大小不同以及大小相同的長方形紙、圓形紙、正方形紙等，讓學(xué)生折一折、畫一畫、比一比。在小組交流中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，盡管彼此折紙后的每一份的形狀、大小各不相同，但卻表示相同的分?jǐn)?shù)。在比較中，學(xué)生展開分類分析和聚類分析，對分?jǐn)?shù)的意義獲得了深刻的感悟，即“分?jǐn)?shù)的大小只與平均分的份數(shù)和表示的份數(shù)有關(guān)”“分?jǐn)?shù)都表示將單位‘1平均分成若干份，表示其中的一份的數(shù)”等。通過感知、操作，積累學(xué)生的感性活動經(jīng)驗，培育學(xué)生的幾何直觀能力。這種運用幾何圖形來對代數(shù)問題進(jìn)行研究的方式，是學(xué)生幾何直觀的重要方式。

小學(xué)低中年級學(xué)生的認(rèn)知水平處于“直觀動作”向“具體形象”過渡的階段。借助幾何圖形，引導(dǎo)學(xué)生動手操作，能幫助學(xué)生積累幾何直觀活動經(jīng)驗。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，有了對幾何形體的操作，學(xué)生就建立了數(shù)與形之間的初步關(guān)聯(lián)，這是學(xué)生幾何直觀意識的萌芽。

二、畫圖：發(fā)展學(xué)生的幾何直觀

幾何直觀是一種學(xué)習(xí)意識，也是一種學(xué)習(xí)能力。幾何直觀是一個學(xué)習(xí)過程，也是一個學(xué)習(xí)結(jié)果。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生看圖、讀圖、想圖、畫圖，這是發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的重要環(huán)節(jié)。借助直觀圖形，能將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀圖形有機(jī)結(jié)合。作為教師，要培養(yǎng)學(xué)生的畫圖意識，提升學(xué)生的畫圖能力;要激發(fā)學(xué)生的畫圖興趣，教給學(xué)生畫圖方法，幫助學(xué)生積累畫圖經(jīng)驗。通過畫圖，讓復(fù)雜的問題簡單化，讓隱蔽的問題明朗化，讓抽象的問題直觀化。

比如教學(xué)《乘法分配律》（蘇教版四年級下冊）這一部分內(nèi)容，從學(xué)生的生活經(jīng)驗出發(fā)，教師可以創(chuàng)編出很多蘊含“乘法分配律”算法的實際問題，引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的過程中，形成關(guān)于“乘法分配律”的積極猜想。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行驗證。教師的通常教法是：出示一個“乘法分配律”的算式，讓學(xué)生對之賦予意義，然后對之進(jìn)行計算。這樣，既從意義上又從計算結(jié)果上讓學(xué)生對“乘法分配律”形成深刻的理解。但筆者發(fā)現(xiàn)，盡管許多學(xué)生經(jīng)歷了這一過程，但對“乘法分配律”的形式認(rèn)識依然膚淺。筆者在教學(xué)中，借助幾何直觀，讓學(xué)生形成鮮明、直觀的“乘法分配律”的表象。教學(xué)中，筆者引導(dǎo)學(xué)生先畫出一個長方形，標(biāo)注長方形的長和寬;然后引導(dǎo)學(xué)生以畫出的長方形的寬為寬，畫出不同長度的長方形。由此，兩個等寬的長方形組合成了一個大長方形。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生計算大長方形的面積。通過畫圖、計算，學(xué)生有效地建立了“乘法分配律”的數(shù)學(xué)模型。通過實實在在地畫圖，豐富了學(xué)生的“乘法分配律”的數(shù)學(xué)模型表象。不僅引導(dǎo)了學(xué)生用圖形來思考，更培育了學(xué)生的空間觀念。

蘇聯(lián)著名的數(shù)學(xué)家A.N.柯爾莫戈洛夫說過：“只要有可能，數(shù)學(xué)家總是盡力把他們正在研究的問題從幾何上視覺化?！痹谛W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要給學(xué)生提供豐富的畫圖素材，明確畫圖的內(nèi)容，豐富畫圖的形式，引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)與形結(jié)合起來。如此，學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形語言有機(jī)地結(jié)合起來，就能科學(xué)、合理、快捷地解決問題。從這個意義上說，“幾何直觀”是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要載體、媒介、抓手。

三、轉(zhuǎn)換：提升學(xué)生的幾何直觀

學(xué)生的幾何直觀能力的主要標(biāo)識是學(xué)生能進(jìn)行數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)換。所謂“數(shù)形轉(zhuǎn)換”，是指“學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中能從數(shù)、式想到圖、形，又能通過圖、形想到數(shù)、式”。作為教師，一方面要加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的教學(xué)，突出數(shù)形轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練;另一方面要開展綜合實踐活動，讓數(shù)與形有效地融通、融合。通過數(shù)形轉(zhuǎn)換，培養(yǎng)學(xué)生“從數(shù)看形”“從形看數(shù)”的能力，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)形互換的能力。

幾何直觀整合了學(xué)生的抽象思維與形象思維，是一種高效的思維方式。培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力是一個潛移默化、逐漸滲透的過程。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生主動地認(rèn)識幾何直觀、構(gòu)造幾何直觀、運用幾何直觀。要有意識地培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀意識、能力，幫助學(xué)生逐步形成一種“遇抽象畫形象”的思維意識、方式和習(xí)慣。幾何直觀降低了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難度，幫助學(xué)生輕松開啟了數(shù)學(xué)探究之旅。