緊性和正則性在遷移方程中的應(yīng)用

吳紅星，葉桂英，程國飛

（1.上饒師范學院數(shù)學與計算機科學學院，江西上饒334001；2.上饒縣第三小學，江西上饒334101）

，由于

緊性和正則性在遷移方程中的應(yīng)用

吳紅星1，葉桂英2，程國飛1

（1.上饒師范學院數(shù)學與計算機科學學院，江西上饒334001；2.上饒縣第三小學，江西上饒334101）

在L1空間中，利用算子理論、半群理論探討了具抽象邊界條件的非均勻介質(zhì)的中子遷移算子的譜分布情況。在考慮擾動算子是正則的和邊界算子是部分光滑的條件下，運用豫解算子等方法，論證了相應(yīng)的遷移算子所生成的C0半群所產(chǎn)生的余項R9（t）在L1空間中的弱緊性，獲得了該算子的點譜集僅由有限個具有限代數(shù)重數(shù)的離散本征值構(gòu)成。

抽象邊界條件；緊性；遷移方程；正則性；離散本征值

1955年，Lehner和Wing研究了無限平行板中的中子方程［1］，之后該遷移方程解的漸近行為研究以及該遷移算子譜分布情況研究成為許多數(shù)學愛好者感興趣的課題［2－10］。2001年，Latrach等討論了帶反射邊界條件的粒子單能遷移算子的譜分析［2］，論證了遷移算子生產(chǎn)C0半群，詳細證明了該半群所產(chǎn)生的Dyson－Phillips展開式的二階余項的緊性，得到了該遷移算子的譜分布形態(tài)。王勝華等在L1空間中討論了一類帶周期邊界條件的連續(xù)能量和均勻介質(zhì)的遷移算子的譜分析［3］，論證了相應(yīng)遷移算子產(chǎn)生C0群V（t）（t≥0）以及其余項的緊性，獲得了該遷移算子的譜分布等結(jié)果。文獻［4］把文獻［3］的結(jié)果推廣到帶反射邊界條件的情況。文獻［5］研究了種群細胞中的Rotenberg模型，運用構(gòu)造算子、比較算子等方法論證了相應(yīng)九階余項R9（t）的緊性，獲得譜的存在性等結(jié)果。受文獻［5］的啟發(fā)，本文探討了無限平行板中具抽象邊界條件的非均勻介質(zhì)的遷移算子的譜分布，論證了相應(yīng)的C0半群所產(chǎn)生的Dyson－Phillips展開式的余項R9（t）的弱緊性，獲得該遷移算子的點譜集僅由有限個具有限代數(shù)重數(shù)的離散本征值構(gòu)成。

1 預(yù)備知識

以下研究一類帶抽象邊界條件的連續(xù)能量和非均勻介質(zhì)的遷移方程的初邊值問題：

其中σ（x，v），k（x，v，μ，v＇，μ＇）分別表示G和D×D0上的有界可測函數(shù)。令X＝L1（D）表相域D上有界可測函數(shù)全體按范數(shù)構(gòu)成的Banach空間。相空間Di，D0，邊界空間Xi，X0，范數(shù)‖ψi‖Xi，‖ψ0‖X0和算子B及積分算子K的定義等見文獻［4］。

假設(shè)（O1）：其中H＝αJ＋N，H＝αJ＋N，121β1212β2α≥0，β≥0，J1和J2都是緊算子，考慮豫解方程（λI－B）ψ＝φ得到，

其中Pλ，Qλ，Dλ和Dλ的定義見文獻［7］。

假設(shè)（O2）：算子K在X上是正則算子.故可由有限秩算子逼近，從而得到：

其中θi（x）∈L∞（［－a，a］），fi（·，·）∈L1（D0），gi（·，·）∈L∞（D0），I為有限指標集.并令

2 主要結(jié)果

引理2.1［6］假設(shè)T（其型為ω）是巴拿哈空間X中一個強連續(xù)半群的生成元，算子K是有界的，且存在m∈N，η＞ω，滿足：

（1）對?，Reλ＞η，（λI－T）－1［K（λI－T）－1］m是緊算子；

定理2.1 若假設(shè)（O1）和（O2）滿足，則對任意r∈［0，1）有，

在Γ0＝｛λ∈C｜Reλ≥λ0＋ε｝（ε＞0）上一致成立。

證明 第一步：證明

在Γ0上成立。對φ∈X，令，t＝x－μ＇s，可以得到

在Γ0成立。對?n∈N，x∈（－2a，2a）固定，v∈E固定，并假設(shè)（si）1≤i≤m是其支撐集上的一個劃分，并且對?i∈｛1，2，···，m－1｝，當s∈［si，si＋1）時，可得Gx，v（s）＝Gx，v（si），故

第二步：證明

在Γ0上成立。對n∈N＼｛0｝，因為不可交換，而且具有下面的形式：，又由于，故即證：

同時Γ0上成立。下面不妨設(shè)J1是秩一算子，所以（2.4）式轉(zhuǎn)化為證：

在Γ0內(nèi)成立。設(shè)φ∈X，可得

定義如下算子：

，由于

在Γ0上成立。又假設(shè)φ∈L1（（－a，a）；dx），是φ在R上的平凡拓展，于是根據(jù)Young不等式，可得：｜Bkφ｜≤｜Fλ｜｜L∞（R）｜｜φ｜｜L1（－a，a）。從而有

得到（2.4）在Γ0上成立。下證（2.5）式成立。由于J1緊算子，則只需證：對任意的r∈［0，1），

在Γ0上成立。事實上，對φ∈X，令，其中

顯然E1，E2與λ無關(guān)，類似（2.6）式的證明，故（2.3）式成立。

第三步：證明

在Γ0上成立，又由于

故要證（2.7）式在Γ0上成立，即證（2.2）、（2.3）和

同時在Γ0上成立。由于（2.8）、（2.2）、（2.9）和（2.3）式具有完全相同的結(jié)構(gòu)，故同理可證明（2.8）、（2.9）式在Γ0上成立。故（2.7）在Γ0上成立。

第四步：證（2.1）式在Γ0上成立。顯然｜｜K（λI－B）－1K｜｜≤｜｜K（λI－）－1K｜｜，由第三步的證明可以得到在Γ0上成立。

令P（A）＝σ（A）∩Γ0是遷移算子A的譜點集。

定理2.2 若假設(shè)（O1）、（O2）被滿足，對任意的t＞0，則R9（t）是X上的弱緊算子，并且P（A）僅由有限個具有限代數(shù)重數(shù)的離散本征值組成。

證明 顯然，對任意的Reλ＞λ0，可得（λI－B）－1K是X上的弱緊算子，因為（λI－B）－1在Γ0上有界，故（λI－B）－1［K（λI－B）－1］m是X上的弱緊算子。

令W（λ）＝（λI－B）－1［K（λI－B）－1］4，又由于，所以

［1］Lehner J，Wing G M.On the spectrum of an unsymmetric operator arising in the transport theory of neutron［J］.Communications on Pure and Applied Mathematics，1955，8：217－234.

［2］Latrach K，Dehici A.Spectral properties and time asymptotic behaviour of linear transport equations in slab geometry［J］.Mathematical Methods in the Applied Sciences，2001，24：689－711.

［3］王勝華，賈善德.板幾何中一類具周期邊界條件遷移算子的譜［J］.西南師范大學學報，2005，30（6）：964－970.

［4］王勝華，吳紅星.板幾何中具反射邊界條件的遷移算子的譜分析［J］.數(shù)學的實踐與認識，2008，38（22）：197－203.

［5］Latrach K，Megdiche H.Time asymptotic behavior for Rotenberg’s model with Maxwell boundary conditions［J］.Discerte and continuous dynamical systems，2011，29：305－321.

［6］Latrach K，Megdiche H，Taoudi M A.Compactness properties for perturbed semigroups in Banach spaces and application to a transport model［J］.Journal of Mathematical analysis applications.，2009，359：88–94.

［7］王勝華，黃偉.板幾何中一類具抽象邊界條件遷移算子的譜［J］.應(yīng)用泛函分析學報，2011，13（3）：267－273.

［8］吳紅星，王勝華.板幾何中具廣義邊界條件的遷移算子的譜［J］.南昌大學學報（理科版），2009，33（5）：415－420.

［9］Amar A B，Jeribi A，Mnif M.Some applications of the regularity and irreducibility on transport theory［J］.Acta applicandae mathematicae，2010，110：431－448.

［10］Mokhtar－Kharroubi M.Time asymptotic behaviour an compactness in neutron transport theory［J］.European Journal of Mechanics B Fluids，1992，11：39－68.

Compactness and Regularity of Applications to Transport Equations

WU Hong－xing1，YE Gui－ying2，CHENG Guo－fei1

（1.School of Mathematics and Computer Science，Shangrao Normal University，Shangrao Jiangxi 334001，China；2.Third Primary Schools in Shangrao County，Shangrao Jiangxi 334101，China）

The objective of this paper is to research the transport equation of continuous energy and inhomogeneous medium with abstract boundary conditions in L1space.It is to prove that the transport operator generates C0semigroup and the remained termR9（t）of the Dyson－Phillips expansion of the semigroup is weakly compact in L1space with the boundary operator being partly compact and disturbance operator is regular，and it obtains that the spectrum of the transport operator only consists of finite isolated eigenvalues with finite algebraic multiplicity.The main metheods rely on the theory of linear operators，resolvent and comparison operator.

boundary condition；compactness；transport equation；regularity；discrete eigenvalues

O177.2

A

1004－2237（2016）03－0001－05

10.3969／j.issn.1004－2237.2016.03.001

2016－04－07

國家自然科學基金（11461055）；江西省自然科學基金（20151BAB201029）和江西省教育廳科技項目（151056）

吳紅星（1980－），男，江西余干人，副教授，碩士，主要從事遷移方程研究。E－mail：jxsruwhx＠163.com