國(guó)外養(yǎng)老金優(yōu)化管理模式借鑒

■金 赟 吳 鵬 劉維迪/文

國(guó)外養(yǎng)老金優(yōu)化管理模式借鑒

■金 赟 吳 鵬 劉維迪/文

一、引言

伴隨著城市化進(jìn)程的加速推進(jìn)，人口老齡化和農(nóng)業(yè)轉(zhuǎn)移人口市民化等問(wèn)題導(dǎo)致社會(huì)養(yǎng)老局勢(shì)日趨嚴(yán)峻，在此背景下社會(huì)養(yǎng)老保險(xiǎn)制度在老年人的生活保障中承擔(dān)著越來(lái)越重要的職責(zé)。作為社會(huì)養(yǎng)老保險(xiǎn)制度的重要待遇形式，養(yǎng)老金是指在勞動(dòng)者退休或喪失勞動(dòng)能力后，國(guó)家依據(jù)他們對(duì)社會(huì)所作的貢獻(xiàn)及具備的養(yǎng)老保險(xiǎn)資格或退休條件而進(jìn)行的貨幣支付，因此其運(yùn)作管理至關(guān)重要，直接關(guān)系到所有勞動(dòng)者的養(yǎng)老保障程度與社會(huì)穩(wěn)定。

從國(guó)際通行的養(yǎng)老金運(yùn)作模式來(lái)看，主要包括兩類：一是固定受益計(jì)劃（DB），該計(jì)劃利用精算公式確定雇員在退休前應(yīng)繳納的款項(xiàng)，并保證雇員退休后能得到固定的養(yǎng)老金給付。然而經(jīng)濟(jì)環(huán)境不斷變化，為了能夠達(dá)到退休后的固定給付，雇員繳納的款項(xiàng)需隨實(shí)際環(huán)境調(diào)整。二是固定給付計(jì)劃（DC），該計(jì)劃確定了雇員每年固定應(yīng)繳納的款項(xiàng)，退休后的收益是到期繳款及其投資收益的函數(shù)。以美國(guó)為例，20世紀(jì)70年代以前美國(guó)政府單位和幾乎所有企業(yè)單位都選擇DB計(jì)劃，但隨著人口壽命不斷增長(zhǎng)和金融市場(chǎng)加劇動(dòng)蕩，承諾固定給付的DB計(jì)劃逐漸暴露出較大缺陷——繳費(fèi)率風(fēng)險(xiǎn)和償債風(fēng)險(xiǎn)不斷加大。在此之際，DC計(jì)劃的優(yōu)勢(shì)更加突顯：（1）風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移，金融風(fēng)險(xiǎn)由保險(xiǎn)人轉(zhuǎn)移至投保人；（2）靈活性強(qiáng)，參與者不受工作調(diào)換限制；（3）時(shí)效性強(qiáng)，投保人可即時(shí)獲取養(yǎng)老金賬戶價(jià)值；（4）自主性強(qiáng)，投保人可自主參與養(yǎng)老金投資組合選擇。目前DC計(jì)劃已成為美國(guó)最為主流的養(yǎng)老金運(yùn)作模式，著名的401k和403k就是DC計(jì)劃中最成功的項(xiàng)目，而政府單位的457k主要還采用DB計(jì)劃。反觀中國(guó)，現(xiàn)行的養(yǎng)老金運(yùn)作模式主要采用DC計(jì)劃，但在實(shí)際操作中會(huì)根據(jù)某些特殊情況作出調(diào)整。如企業(yè)普遍存在“中人”過(guò)渡問(wèn)題，即企業(yè)在初建養(yǎng)老金計(jì)劃時(shí)，部分員工已臨近退休，預(yù)計(jì)按照DC計(jì)劃正常參與會(huì)出現(xiàn)退休后賬戶金額不足的問(wèn)題。為保證該類員工退休前后待遇水平的平穩(wěn)銜接，我國(guó)多數(shù)企業(yè)在初建養(yǎng)老金計(jì)劃時(shí)就為“中人”確定未來(lái)的支付數(shù)額，以此鎖定其退休后的待遇水平，這種以DC計(jì)劃為基礎(chǔ)，同時(shí)結(jié)合DB計(jì)劃的混合模式在我國(guó)也有一定適用范圍。

無(wú)論國(guó)外或是國(guó)內(nèi)，有關(guān)養(yǎng)老金優(yōu)化管理問(wèn)題的研究已成為當(dāng)今最具現(xiàn)實(shí)意義的課題，相關(guān)研究成果也越來(lái)越豐富。但由于國(guó)內(nèi)外養(yǎng)老金體系的成熟度不同以及養(yǎng)老金運(yùn)作模式的國(guó)別差異，國(guó)內(nèi)外關(guān)于養(yǎng)老金優(yōu)化管理的研究存在較大差異。目前國(guó)外對(duì)DC計(jì)劃和DB計(jì)劃優(yōu)化管理的研究成果均較為豐富，國(guó)內(nèi)的研究成果則相對(duì)稀缺，且由于國(guó)內(nèi)養(yǎng)老金運(yùn)作模式的適用范圍差異，國(guó)內(nèi)針對(duì)DB計(jì)劃優(yōu)化管理的研究比DC計(jì)劃更少。

二、國(guó)外養(yǎng)老金體系的優(yōu)化管理模式分析

（一）DB計(jì)劃的優(yōu)化管理

在DB計(jì)劃中，參與者在退休后所領(lǐng)取的養(yǎng)老金是提前確定的，根據(jù)其在退休前的工資水平和工作年限加以精算得來(lái)。而參與者在退休前的繳費(fèi)率則需通過(guò)估值調(diào)整，因?yàn)樯鐣?huì)經(jīng)濟(jì)環(huán)境始終都處于動(dòng)態(tài)變化之中，包括無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、通貨膨脹率和死亡率等因子都隨之改變，這就造成了早前DB計(jì)劃所基于的估值基礎(chǔ)很難再符合當(dāng)下的DB計(jì)劃。因此，養(yǎng)老金出現(xiàn)缺口或富余很難避免。在此情況下，最優(yōu)繳費(fèi)問(wèn)題成為DB計(jì)劃的重要研究方向。此外，除了參與者繳費(fèi)，養(yǎng)老基金總數(shù)額還來(lái)源于其投資收益，因此最優(yōu)資產(chǎn)配置問(wèn)題也成為DB計(jì)劃的重要研究方向。

1.DB計(jì)劃的繳費(fèi)管理

在對(duì)DB計(jì)劃繳費(fèi)管理的研究中，學(xué)術(shù)界主要從最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)和精算模型兩個(gè)方向展開。在目標(biāo)函數(shù)的文獻(xiàn)中，學(xué)術(shù)界普遍認(rèn)為養(yǎng)老金的管理以最小化繳費(fèi)率風(fēng)險(xiǎn)與償債風(fēng)險(xiǎn)為目的。Lee分別給予了這兩種風(fēng)險(xiǎn)相應(yīng)的定義：對(duì)于繳費(fèi)率風(fēng)險(xiǎn)，他認(rèn)為DB計(jì)劃的參與者為了讓繳費(fèi)率在未來(lái)仍保持穩(wěn)定，將會(huì)盡量尋求一種不會(huì)被巨大變故而干擾的繳費(fèi)計(jì)劃，因?yàn)楫?dāng)繳費(fèi)計(jì)劃和繳費(fèi)率變動(dòng)時(shí)，DB計(jì)劃將面臨參與者被迫終止繳費(fèi)的風(fēng)險(xiǎn)。對(duì)于償債風(fēng)險(xiǎn)，他解釋到由于參與者在退休后的養(yǎng)老金領(lǐng)取是提前確定的，而精算條件的改變可能造成養(yǎng)老金償債能力不足，因此參與者關(guān)心的是不斷積累的養(yǎng)老金資產(chǎn)對(duì)其養(yǎng)老金權(quán)利的保障程度，以及DB計(jì)劃是否和在何時(shí)點(diǎn)會(huì)被清盤。Haberman將養(yǎng)老金的管理目標(biāo)視為：最小化繳費(fèi)率風(fēng)險(xiǎn)（即保持繳費(fèi)的穩(wěn)定性）和最小化償債風(fēng)險(xiǎn)（即保持養(yǎng)老基金的安全性）。他以繳費(fèi)率與正常成本的偏差值作為衡量繳費(fèi)率風(fēng)險(xiǎn)的指標(biāo)，以無(wú)資金預(yù)留的債務(wù)償還值作為衡量?jī)攤L(fēng)險(xiǎn)的指標(biāo)，將兩種風(fēng)險(xiǎn)的最小化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性二次最優(yōu)問(wèn)題，通過(guò)最小化繳費(fèi)率風(fēng)險(xiǎn)與償債風(fēng)險(xiǎn)的凸組合來(lái)優(yōu)化繳費(fèi)的穩(wěn)定性和養(yǎng)老基金的安全性。與Habermann相似的是，Chang也將最小化繳費(fèi)率風(fēng)險(xiǎn)和償債風(fēng)險(xiǎn)作為養(yǎng)老金管理的目標(biāo)，不過(guò)他用繳費(fèi)率與正常成本的比值作為衡量繳費(fèi)率風(fēng)險(xiǎn)的指標(biāo)，以隨機(jī)積累的養(yǎng)老金資產(chǎn)與無(wú)資金預(yù)留的債務(wù)償還值的比值作為衡量?jī)攤L(fēng)險(xiǎn)的指標(biāo)，對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行了修正。后續(xù)學(xué)術(shù)界的很多關(guān)于DB計(jì)劃繳費(fèi)管理的研究都是基于以上最小化繳費(fèi)率風(fēng)險(xiǎn)和償債風(fēng)險(xiǎn)的雙目標(biāo)（Josa-Fombellida和Rincon-Zapatero）。此外，也有部分研究以其他目標(biāo)函數(shù)為基礎(chǔ)展開。Randall 和Satchell將養(yǎng)老金資產(chǎn)組合回報(bào)的均值和方差優(yōu)化控制作為養(yǎng)老金繳費(fèi)管理的目標(biāo)。Sundaresan 和Zapatero建立了使養(yǎng)老基金盈余最大化的目標(biāo)函數(shù)；Josa-Fombellida和Rincon-Zapatero假定養(yǎng)老金繳費(fèi)者預(yù)先設(shè)定了養(yǎng)老金資產(chǎn)的目標(biāo)規(guī)模和其所繳費(fèi)的折現(xiàn)收益，他們以增加滿足養(yǎng)老金繳費(fèi)者期望的概率為目標(biāo)展開研究。

在精算模型的文獻(xiàn)中，學(xué)術(shù)界主要從精算負(fù)債與養(yǎng)老基金現(xiàn)值的差額（即“未納精算負(fù)債”）的角度來(lái)探討?zhàn)B老金的風(fēng)險(xiǎn)，主要有三種精算模型：確定模型、隨機(jī)模型和動(dòng)態(tài)隨機(jī)控制模型。確定模型假設(shè)所有精算假設(shè)基礎(chǔ)都是確定的，包括人口變動(dòng)（死亡率、新加入者、新退出者）、利率、投資收益率等，即將這些因素視作常量，進(jìn)而計(jì)算出未納精算負(fù)債及其分?jǐn)傤~，早前的研究多運(yùn)用確定模型。然而，對(duì)于養(yǎng)老金計(jì)劃通常存在的參與者數(shù)量的隨機(jī)變動(dòng)和利率隨機(jī)變化的現(xiàn)象，確定模型中的人口穩(wěn)定性和利率平穩(wěn)性假設(shè)顯然不符合實(shí)際。在此情況下隨機(jī)模型應(yīng)運(yùn)而生，隨機(jī)模型假設(shè)利率、投資收益率、人口變動(dòng)等因素是隨機(jī)變動(dòng)的，并以此為基礎(chǔ)對(duì)未納精算負(fù)債進(jìn)行了測(cè)算。Boyle在壽險(xiǎn)和年金的精算中用隨機(jī)模型對(duì)人口生死的偶然性和利率的變化（即“雙隨機(jī)”）進(jìn)行了模擬。Giaccotto運(yùn)用了遞歸算法和Vasicek模型分析了利率隨機(jī)變動(dòng)的保險(xiǎn)制度。Mandl和Mazurova假設(shè)養(yǎng)老金計(jì)劃的新加入者是隨機(jī)波動(dòng)的，他們用隨機(jī)序列來(lái)模擬這種波動(dòng)性。Hainaut和Devolder在養(yǎng)老金精算模型中添加了隨機(jī)死亡模型，假定人口的死亡概率服從松柏分布。還有部分學(xué)者認(rèn)為BD計(jì)劃的繳費(fèi)過(guò)程服從布朗隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，這是基于利率和參與養(yǎng)老金計(jì)劃的人口數(shù)量服從布朗隨機(jī)運(yùn)動(dòng)得來(lái)的（Josa-Fombellida和Rincon-Zapatero）。在隨機(jī)模型的基礎(chǔ)上，后續(xù)學(xué)術(shù)界又延伸發(fā)展了動(dòng)態(tài)隨機(jī)控制模型，這種模型除了與隨機(jī)模型一樣考慮人口變動(dòng)、利率變化等因素的隨機(jī)性外，還引進(jìn)控制變量以達(dá)到平滑養(yǎng)老金風(fēng)險(xiǎn)和確定最優(yōu)繳費(fèi)率的目的。Cairns將資產(chǎn)組合視為一個(gè)控制變量，在最小化繳費(fèi)率風(fēng)險(xiǎn)和償債風(fēng)險(xiǎn)的目標(biāo)函數(shù)下，尋求動(dòng)態(tài)隨機(jī)控制模型下的最優(yōu)繳費(fèi)策略。Josa-Fombellida和Rincon-Zapatero將繳費(fèi)人口和利率作為控制變量，同樣以最小化繳費(fèi)率風(fēng)險(xiǎn)和償債風(fēng)險(xiǎn)為目標(biāo)，分別得出了在未納精算負(fù)債大于零或小于零兩種狀態(tài)下DB計(jì)劃的最優(yōu)融資行為。

2.DB計(jì)劃的投資管理

學(xué)術(shù)界對(duì)于DB計(jì)劃投資管理的研究相對(duì)較少，部分學(xué)者主要將養(yǎng)老金的投資視為整體來(lái)研究，假設(shè)養(yǎng)老金的投資回報(bào)率是隨機(jī)變化的。例如，有假設(shè)養(yǎng)老金的投資回報(bào)率服從AR和ARMA過(guò)程的（Bellhouse和Panjer；Wilkie）；有將養(yǎng)老金的投資收益率假設(shè)為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量的（Dufresne；Haberman；Owadally）；有將養(yǎng)老金的投資收益率假設(shè)服從一階自回歸過(guò)程的（Gerrard 和Haberman）；還有以移動(dòng)平均收益率為基礎(chǔ)研究養(yǎng)老金投資管理的（Bedard和Dufresne）。顯然，養(yǎng)老金投資組合千變?nèi)f化，各組合間的投資回報(bào)率也大相徑庭，故將養(yǎng)老金的投資視為整體來(lái)研究，假設(shè)其投資回報(bào)率隨機(jī)變化是不符合實(shí)際的。因此后續(xù)有許多學(xué)者側(cè)重對(duì)養(yǎng)老金投資組合的研究，假設(shè)養(yǎng)老金分別投資于不同風(fēng)險(xiǎn)級(jí)別的資產(chǎn)。Harrison和Sharpe選擇了單周期、雙資產(chǎn)（債券和股票）的模型對(duì)養(yǎng)老金的資產(chǎn)配置進(jìn)行了研究，他們基于不同資產(chǎn)間稅收待遇和風(fēng)險(xiǎn)程度不同的假設(shè)，得出了養(yǎng)老金的最優(yōu)投資組合。Sundaresan和Zapatero針對(duì)資本市場(chǎng)中的兩種資產(chǎn)：風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)進(jìn)行了養(yǎng)老金投資的研究。Cairns假設(shè)養(yǎng)老金投資于n種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，在目標(biāo)函數(shù)為最小化繳費(fèi)率風(fēng)險(xiǎn)和償債風(fēng)險(xiǎn)的條件下求得養(yǎng)老金的最優(yōu)投資組合。Josa-Fombellida和Rincon-Zzapatero假設(shè)DB計(jì)劃參與者可以選擇將養(yǎng)老金投資于規(guī)定數(shù)量的幾種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一種持續(xù)穩(wěn)定收益的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，以盡量使養(yǎng)老基金資產(chǎn)接近于精算負(fù)債為目標(biāo)，最終得出養(yǎng)老金投資的最優(yōu)組合。Xu和Zhang等人根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的不同分別探討了養(yǎng)老金的最優(yōu)投資問(wèn)題。他們研究了最小化繳費(fèi)率風(fēng)險(xiǎn)和最小化償債風(fēng)險(xiǎn)兩種情況下的養(yǎng)老金最優(yōu)投資問(wèn)題，在第一種情況下，他們假設(shè)養(yǎng)老金只投資于一種持續(xù)穩(wěn)定收益的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)；在第二種情況下，他們假設(shè)養(yǎng)老金同時(shí)投資于一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券。最終他們得出兩種情況下養(yǎng)老金的最優(yōu)投資策略。

通過(guò)以上整理發(fā)現(xiàn)，在DB計(jì)劃優(yōu)化管理的文獻(xiàn)中，學(xué)術(shù)界主要在最優(yōu)繳費(fèi)問(wèn)題和最優(yōu)投資問(wèn)題兩個(gè)領(lǐng)域進(jìn)行了研究。在對(duì)DB計(jì)劃最優(yōu)繳費(fèi)的研究中，最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)建以最小化繳費(fèi)風(fēng)險(xiǎn)和償債風(fēng)險(xiǎn)為主；精算模型大致經(jīng)歷了從確定模型到隨機(jī)模型再到動(dòng)態(tài)隨機(jī)控制模型的演進(jìn)。在對(duì)DB計(jì)劃最優(yōu)投資的研究中，學(xué)術(shù)界起初將養(yǎng)老金的投資視為整體來(lái)研究，假設(shè)投資回報(bào)率是隨機(jī)變化的；后續(xù)部分學(xué)者逐漸改變了這種看法，假設(shè)養(yǎng)老金投資于多種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資組合。在所有的DB計(jì)劃優(yōu)化管理的研究中，有關(guān)最優(yōu)繳費(fèi)問(wèn)題的研究較多，有關(guān)最優(yōu)投資問(wèn)題的研究較少。

（二）DC計(jì)劃的資產(chǎn)配置

對(duì)于DC計(jì)劃，參與者每年繳費(fèi)的款項(xiàng)是固定的，退休后的年金領(lǐng)取由養(yǎng)老金資產(chǎn)的累積及其投資收益決定。因此相對(duì)于DB計(jì)劃而言，DC計(jì)劃的參與者承擔(dān)著更大投資風(fēng)險(xiǎn)，因此研究DC計(jì)劃的最優(yōu)投資問(wèn)題至關(guān)重要。從目前的文獻(xiàn)來(lái)看，學(xué)術(shù)界針對(duì)DC計(jì)劃最優(yōu)投資問(wèn)題的研究主要包括終端財(cái)富的效應(yīng)函數(shù)和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格過(guò)程兩個(gè)方面。

1.DC計(jì)劃終端財(cái)富的效應(yīng)函數(shù)

在對(duì)DC計(jì)劃最優(yōu)投資的研究中，學(xué)術(shù)界一般以養(yǎng)老金終端財(cái)富的期望效用最大化為最優(yōu)投資目標(biāo)，并在此基礎(chǔ)上得到最優(yōu)投資策略。就目前的文獻(xiàn)來(lái)看，通常的效應(yīng)函數(shù)包括兩大類：一類是常相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡效用函數(shù)（CRRA），這類效用函數(shù)主要包括冪效用函數(shù)和對(duì)數(shù)效用函數(shù)；另一類是常絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)（CARA），即指數(shù)效用函數(shù)。選取冪效用函數(shù)為目標(biāo)函數(shù)對(duì)DC計(jì)劃最優(yōu)投資問(wèn)題進(jìn)行研究的文獻(xiàn)不在少數(shù)。也有部分學(xué)者選取對(duì)數(shù)效用函數(shù)和指數(shù)效用函數(shù)為目標(biāo)函數(shù)。然而在現(xiàn)實(shí)的養(yǎng)老金投資中，由于參與者的風(fēng)險(xiǎn)偏好有較大個(gè)體差異，同時(shí)養(yǎng)老金管理者無(wú)法準(zhǔn)確得知參與者在風(fēng)險(xiǎn)與收益之間的權(quán)衡，因此很難挑選完全適用的效用函數(shù)用以求得最優(yōu)投資策略。而“均值-方差”模型可以在較大程度上彌補(bǔ)效用函數(shù)的不足，因此被學(xué)者廣泛用于研究DC計(jì)劃的最優(yōu)投資問(wèn)題。Markowitz首次提出“均值-方差”模型，最早將方差用以量化風(fēng)險(xiǎn)，開創(chuàng)了以風(fēng)險(xiǎn)與期望組合衡量最優(yōu)投資問(wèn)題的先河。但由于“均值-方差”模型的雙目標(biāo)難以分離，及其在連續(xù)時(shí)間和多周期的條件下難以求解，故很難將此模型運(yùn)用至連續(xù)時(shí)間和多周期的框架。后續(xù)有學(xué)者針對(duì)這種缺陷進(jìn)行探究，Zhou和Li較早地利用嵌入技術(shù)將“均值-方差”模型的雙目標(biāo)分離，將該模型轉(zhuǎn)化為一個(gè)輔助隨機(jī)線性二次控制（LQ）模型，結(jié)果證明隨機(jī)線性二次控制（LQ）模型是研究多周期情況下“均值-方差”雙目標(biāo)的有效框架。Xie也利用隨機(jī)線性二次控制（LQ）技術(shù)研究了“均值-方差”模型下的多周期DC計(jì)劃的最優(yōu)投資問(wèn)題。

2.DC計(jì)劃風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格形成過(guò)程

縱觀以上所列示的文獻(xiàn)，大多以幾何布朗（GBM）運(yùn)動(dòng)來(lái)描述風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格形成過(guò)程。然而幾何布朗運(yùn)動(dòng)中風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的波動(dòng)率和收益率通常為常數(shù)或確定的函數(shù)，這顯然不符合市場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。Cox和Ross首次提出CEV模型，該模型可視為GBM模型的自然推廣，其假設(shè)波動(dòng)彈性為常數(shù)，描述了隱含波動(dòng)率的斜度，與實(shí)際的波動(dòng)曲線更為接近，因此更加貼近現(xiàn)實(shí)的市場(chǎng)運(yùn)動(dòng)。隨后CEV模型被學(xué)者們廣泛運(yùn)用于描述風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格形成過(guò)程。Xiao等人運(yùn)用CEV模型研究了年金支付型DC計(jì)劃的最優(yōu)投資問(wèn)題，同時(shí)他提出利用Legendre變換技術(shù)和對(duì)偶理論探求DC計(jì)劃參與者一生最優(yōu)的投資策略。Gao專注于用CEV模型來(lái)描述股票的價(jià)格動(dòng)態(tài)，通過(guò)應(yīng)用隨機(jī)最優(yōu)控制、變量控制等技術(shù)推導(dǎo)出一個(gè)針對(duì)于CRRA效用函數(shù)的明確投資方案。Gu利用CEV模型對(duì)再保險(xiǎn)情況下風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格形成過(guò)程進(jìn)行模擬，同時(shí)運(yùn)用HJB方程推出在目標(biāo)函數(shù)分別為CRRA與CARA兩種情況下的最優(yōu)再保險(xiǎn)投資策略。與GBM模型一樣，CEV模型也存在一定弊端。在CEV模型中，隨著風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格不斷提升，價(jià)格波動(dòng)率會(huì)趨向于0，這顯然不符合實(shí)際。對(duì)此Gao發(fā)展了一個(gè)擴(kuò)展的E-CEV模型用以克服一般CEV模型的缺點(diǎn)，他運(yùn)用Legendre變換技術(shù)、對(duì)偶理論和一種漸進(jìn)展開的方法求得了分別基于CRRA和CARA兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)的漸進(jìn)策略。

根據(jù)以上梳理發(fā)現(xiàn)，在DC計(jì)劃最優(yōu)投資策略的文獻(xiàn)中，多數(shù)以養(yǎng)老金終端財(cái)富的期望效用最大化為最優(yōu)投資目標(biāo)，由此出現(xiàn)常相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡效用函數(shù)（CRRA）和常絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)（CARA）兩類目標(biāo)函數(shù)；此外“均值—方差”模型作為另一種目標(biāo)函數(shù)，彌補(bǔ)了終端財(cái)富效應(yīng)函數(shù)的缺陷，具有較強(qiáng)現(xiàn)實(shí)價(jià)值。在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格形成過(guò)程的研究中，多數(shù)文獻(xiàn)以幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型（GBM）描述風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格形成過(guò)程。但基于GBM模型改進(jìn)的CEV模型顯然更貼近實(shí)際的市場(chǎng)波動(dòng)，因此后續(xù)不斷有學(xué)者選用CEV模型來(lái)描述風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格形成過(guò)程。

三、國(guó)內(nèi)養(yǎng)老金優(yōu)化管理模式的拓展

在DB計(jì)劃優(yōu)化管理的研究方面：張波和代金假設(shè)養(yǎng)老金同時(shí)投資于一種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)和一種風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)的情形，以最小化繳費(fèi)率風(fēng)險(xiǎn)和償債風(fēng)險(xiǎn)為目的構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，并利用HJB方程求得最優(yōu)投資策略。王奕渲和陳迪紅系統(tǒng)分析與評(píng)價(jià)了確定模型、隨機(jī)模型和動(dòng)態(tài)隨機(jī)控制模型三大精算模型在估算與控制DB計(jì)劃養(yǎng)老金風(fēng)險(xiǎn)中的效用。溫利民和韓天雄利用期權(quán)對(duì)DB計(jì)劃進(jìn)行定價(jià)，并在一個(gè)給定的繳費(fèi)與給付標(biāo)準(zhǔn)下求得最優(yōu)繳費(fèi)率。房東東等人引用期權(quán)理論分析了DB計(jì)劃的期權(quán)構(gòu)成，并且運(yùn)用期權(quán)公式推出DB計(jì)劃中看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價(jià)值，最后求得最優(yōu)繳費(fèi)率。

在DC計(jì)劃優(yōu)化管理的研究方面：葉燕程和高隨詳以養(yǎng)老基金損失最小化為投資目標(biāo)構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)HJB方程求得了在固定繳費(fèi)和隨機(jī)繳費(fèi)兩種情形下的最優(yōu)投資策略，并對(duì)固定繳費(fèi)情形下的最優(yōu)投資策略進(jìn)行了蒙特卡洛仿真模擬。張初兵等人選取了最大化期望冪效用目標(biāo)函數(shù)，假設(shè)養(yǎng)老金可同時(shí)投資于債券和股票，并假設(shè)股票的收益率和波動(dòng)率均服從隨機(jī)的Heston模型，通過(guò)冪變換和變量替換在HJB方程下求得了最優(yōu)投資策略。張初兵等人假設(shè)養(yǎng)老基金投資于一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，用CEV模型模擬風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格形成過(guò)程，在對(duì)數(shù)效用函數(shù)為目標(biāo)函數(shù)的情況下，利用Legendre轉(zhuǎn)換和對(duì)偶理論對(duì)DC計(jì)劃的最優(yōu)投資問(wèn)題進(jìn)行了研究。殷俊和李媛媛以CRRA效用函數(shù)為目標(biāo)函數(shù)，用Cox-Ingersoll-Ross（CIR）模型來(lái)描述名義利率的動(dòng)態(tài)變化，用通貨膨脹指數(shù)化債券來(lái)對(duì)沖通貨膨脹風(fēng)險(xiǎn)，研究了在隨機(jī)利率和通貨膨脹條件下的最優(yōu)資產(chǎn)配置問(wèn)題。谷愛玲等人以CRRA效用函數(shù)為目標(biāo)函數(shù)，假設(shè)投資者可投資于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，且假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的瞬時(shí)收益率服從Ornstein-Uhlenbeck模型，運(yùn)用隨機(jī)控制理論，給出了HJB方程下的最優(yōu)投資策略。楊鵬以“均值—方差”模型為目標(biāo)函數(shù)，并將原先的“均值—方差”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為輔助問(wèn)題，利用線性二次控制理論解決該輔助問(wèn)題，得出了最優(yōu)的再保險(xiǎn)投資策略和有效邊界的顯式解。王力平和張?jiān)荚谇叭说幕A(chǔ)上，假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率可通過(guò)擴(kuò)散過(guò)程和死亡率函數(shù)擬合，并運(yùn)用隨機(jī)最優(yōu)控制理論，求得了滿足HJB方程的最優(yōu)資產(chǎn)配置比例。

通過(guò)以上梳理發(fā)現(xiàn)，國(guó)內(nèi)學(xué)者在養(yǎng)老金優(yōu)化管理領(lǐng)域的研究主要借鑒了國(guó)外的研究方法，并進(jìn)行了有限擴(kuò)展，如提出用Vasicek模型、Heston模型和Ornstein-Uhlenbeck模型等其他模型來(lái)描述風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格形成過(guò)程。

四、結(jié)論與展望

本文從國(guó)外和國(guó)內(nèi)兩方面對(duì)養(yǎng)老金優(yōu)化管理的研究進(jìn)行了文獻(xiàn)綜述，分別從DB計(jì)劃和DC計(jì)劃的優(yōu)化管理兩個(gè)角度進(jìn)行梳理。國(guó)外在養(yǎng)老金優(yōu)化管理領(lǐng)域的研究已經(jīng)相當(dāng)成熟系統(tǒng)，取得了較多研究成果。

第一，在DB計(jì)劃優(yōu)化管理方面的研究：（1）通常以最小化繳費(fèi)率風(fēng)險(xiǎn)和償債風(fēng)險(xiǎn)的雙目標(biāo)為目標(biāo)函數(shù)，也有其他目標(biāo)函數(shù)：以養(yǎng)老金資產(chǎn)組合回報(bào)的均值和方差優(yōu)化控制為目標(biāo)；假定養(yǎng)老金繳費(fèi)者預(yù)先設(shè)定了養(yǎng)老基金資產(chǎn)的目標(biāo)規(guī)模和其所繳費(fèi)的折現(xiàn)收益，以增加滿足養(yǎng)老金繳費(fèi)者期望的概率為目標(biāo)等；（2）以確定模型、隨機(jī)模型和動(dòng)態(tài)隨機(jī)控制模型為精算模型。早前研究多用確定模型，而后假定利率、投資收益率、人口變動(dòng)等因素隨機(jī)變動(dòng)，用遞歸算法和Casicek模型模擬利率變動(dòng)，用隨機(jī)序列或布朗運(yùn)動(dòng)模型模擬養(yǎng)老計(jì)劃參與人口的數(shù)量變動(dòng)，用松柏分布模擬死亡概率等，發(fā)展了隨機(jī)模型。此后在隨機(jī)模型基礎(chǔ)上，引進(jìn)控制變量，在隨機(jī)控制模型下求得最優(yōu)繳費(fèi)策略。（3）起初從整體的角度假定養(yǎng)老金投資回報(bào)率隨機(jī)變動(dòng)：假設(shè)投資回報(bào)率服從AR和ARMA過(guò)程，一階自回歸過(guò)程；假定投資回報(bào)率為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量；以移動(dòng)平均收益率描述養(yǎng)老金投資回報(bào)等。此后擴(kuò)展研究了養(yǎng)老金投資于多資產(chǎn)的最優(yōu)資產(chǎn)配置問(wèn)題。

第二，在DC計(jì)劃優(yōu)化管理方面的研究：（1）一般以養(yǎng)老金終端財(cái)富的期望效用最大化為目標(biāo)構(gòu)建效用函數(shù)，在此基礎(chǔ)上發(fā)展了常相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡效用函數(shù)（CRRA）和常絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡效用函數(shù)（CARA）。（2）后引用“均值—方差”模型作為目標(biāo)函數(shù)，彌補(bǔ)了效用函數(shù)的不足。并完善了“均值—方差”模型，利用隨機(jī)線性二次控制（LQ）技術(shù)將其擴(kuò)展至可滿足在連續(xù)時(shí)間和多周期條件下求解最優(yōu)投資問(wèn)題的模型。（3）大多以幾何布朗（GBM）運(yùn)動(dòng)描述風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格形成過(guò)程，后提出了更貼近市場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的CEV模型描述風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格形成過(guò)程，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，發(fā)展了擴(kuò)展的E-CEV模型。

國(guó)內(nèi)在養(yǎng)老金優(yōu)化管理領(lǐng)域的研究相對(duì)滯后，更多的是對(duì)國(guó)外研究成果的總結(jié)和有限擴(kuò)展。就國(guó)內(nèi)研究現(xiàn)狀來(lái)說(shuō)，針對(duì)DC計(jì)劃優(yōu)化管理的研究相對(duì)豐富，而對(duì)DB計(jì)劃優(yōu)化管理的研究相對(duì)欠缺。因此，國(guó)內(nèi)在DC計(jì)劃優(yōu)化管理方面的研究相對(duì)成熟系統(tǒng)，尤其在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格形成過(guò)程方面的研究，國(guó)內(nèi)學(xué)者在國(guó)外研究成果上添加了新的內(nèi)容：提出用Vasicek模型、Heston模型和Ornstein-Uhlenbeck模型等其他模型來(lái)描述風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格形成過(guò)程。綜合而言，國(guó)內(nèi)在養(yǎng)老金優(yōu)化管理方面的研究與國(guó)外尚有一定差距，但隨著國(guó)內(nèi)養(yǎng)老問(wèn)題日趨嚴(yán)峻，學(xué)術(shù)界已足夠重視，相應(yīng)的研究成果也將日益豐富。

基于前文對(duì)養(yǎng)老金優(yōu)化管理的研究綜述，結(jié)合城市化進(jìn)程中養(yǎng)老金體系衍生出的新問(wèn)題，提出未來(lái)可能需要拓展研究的方向：第一，城市化導(dǎo)致農(nóng)業(yè)轉(zhuǎn)移人口市民化，對(duì)參與養(yǎng)老金計(jì)劃的人口變動(dòng)影響較為顯著，同時(shí)城市化過(guò)程中人口的隨機(jī)死亡模型將發(fā)生較大變化，因此應(yīng)基于新的人口隨機(jī)變動(dòng)理論，研究人口演化模型的構(gòu)建。第二，城市化勢(shì)必導(dǎo)致養(yǎng)老保險(xiǎn)的覆蓋面增加，參與養(yǎng)老金計(jì)劃的人口基數(shù)隨之變大，這就造成養(yǎng)老金的支付壓力將不斷加重。因此可嘗試對(duì)養(yǎng)老金計(jì)劃的抗壓性進(jìn)行研究，如以破產(chǎn)概率為目標(biāo)函數(shù)研究DB計(jì)劃和DC計(jì)劃的優(yōu)化管理問(wèn)題。第三，城市化過(guò)程中新加入養(yǎng)老金計(jì)劃的群體的年齡結(jié)構(gòu)存在較大差異，可能導(dǎo)致不同參保人的繳費(fèi)義務(wù)與支取養(yǎng)老金的權(quán)利不對(duì)等（如可能存在50歲的新參保人的支取權(quán)利大于繳費(fèi)義務(wù)，而30歲的新參保人的支取權(quán)利小于繳費(fèi)義務(wù)的狀況），從而引發(fā)養(yǎng)老金的公平性問(wèn)題，因此可納入新參保人年齡結(jié)構(gòu)差異這一沖擊因素深入研究養(yǎng)老金精算模型的構(gòu)建。第四，我國(guó)普遍存在以DC計(jì)劃為基礎(chǔ)，同時(shí)結(jié)合DB計(jì)劃的混合養(yǎng)老金運(yùn)作模式，該種養(yǎng)老金運(yùn)作模式通常含有最低支付保障條款，因此可拓展研究最優(yōu)化最低保障的問(wèn)題。

（作者單位：浙江大學(xué)）