型A半群的Vagner－Preston表示

郭 茜，喻秉鈞

(1．成都師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，四川成都610041; 2．四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川成都610066; 3．成都文理學(xué)院數(shù)學(xué)教研室，四川成都610101)

型A半群的Vagner－Preston表示

郭 茜1，喻秉鈞2，3

(1．成都師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，四川成都610041; 2．四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川成都610066; 3．成都文理學(xué)院數(shù)學(xué)教研室，四川成都610101)

逆半群的著名的Vagner－Preston表示定理是群的經(jīng)典Cayley表示定理向逆半群的一個(gè)推廣．將這個(gè)結(jié)果進(jìn)一步推廣到了型A半群上，給出了型A半群的Vagner－Preston表示定理，證明了任一型A半群都是某對(duì)稱逆半群的型A子半群，此結(jié)論也體現(xiàn)了型A半群在富足半群中的地位正恰如逆半群在正則半群中的地位．通過(guò)2個(gè)例子說(shuō)明，既存在不是型A半群的恰當(dāng)半群S，使?是S的一個(gè)表示;也存在不是型A半群的恰當(dāng)半群S，使?不是一個(gè)表示．于是就富足半群類而言，該表示不能推廣．

恰當(dāng)半群;型A半群;同態(tài);Vagner－Preston表示

1 預(yù)備知識(shí)

俄國(guó)數(shù)學(xué)家V．V．Vagner［1］和英國(guó)數(shù)學(xué)家G．B．Preston［2］分別于1952和1954年獨(dú)立發(fā)現(xiàn)，任一非空集X上的1－1部分變換(即X中2個(gè)子集合之間的雙射)之全體所成集合I(X)在部分變換的乘積運(yùn)算下成為一個(gè)逆半群，稱為對(duì)稱逆半群．他們還證明了以下關(guān)于逆半群的著名的 Vagner－Preston表示定理，簡(jiǎn)稱為V－P表示．

Vagner－Preston表示定理［3］任一逆半群S都是某對(duì)稱逆半群的逆子半群．更準(zhǔn)確地說(shuō)，對(duì)任意a∈S定義?a滿足:，且對(duì)任意x∈Saa－1有，則，而是從S到I(S)的單同態(tài)．

它恰是關(guān)于群的Cayley表示定理(任一群G都是某集合上對(duì)稱群Sym G的子群)向逆半群的推廣．本文將這個(gè)結(jié)論進(jìn)一步推廣到型A半群上，自Green*等價(jià)關(guān)系的引入，富足半群、恰當(dāng)半群和型A半群等典型的廣義正則半群，成為了國(guó)內(nèi)外半群學(xué)者研究的熱點(diǎn)［4－6］．尤其是其中的型A半群，盡管它們一般不正則，但由于冪等元集構(gòu)成半格，且具有類似于正則半群中冪等元的連通性，使其成為推廣逆半群研究中豐碩成果的最好對(duì)象［7－10］．本文中一般定義及記號(hào)均參見(jiàn)文獻(xiàn)［11－14］．

設(shè)S為半群．下述二元關(guān)系稱為S上的Green*－關(guān)系:

在正則半群中，有K*=K，(K=L，R，H，D)．

若半群S的每個(gè)L*－和R*－類都含有冪等元，則稱S為富足半群．若富足半群S的冪等元集E(S)是半格(交換冪等元子半群)，則稱S是恰當(dāng)半群．恰當(dāng)半群S中每個(gè)L*－、R*－類恰含一個(gè)冪等元，約定把元素a∈S所在的L*－、R*－類中那個(gè)惟一的冪等元分別用a*、a+表示有

命題1．1［13］設(shè)S是恰當(dāng)半群，冪等元集E是半格，那么a，b∈S有:

2)(ab)*=(a*b)*，(ab)+=(ab+)+;

3)(ab)*≤b*，(ab)+≤a+．這里≤是E上通常意義下的偏序關(guān)系．

所謂型A半群是一類特殊的恰當(dāng)半群，定義如下:

定義1．2［14］恰當(dāng)半群S稱為型A半群，若有

2 型A半群的V－P表示

在文獻(xiàn)［15］中用非空集X上的所有部分變換(即從X的某子集到另一子集的滿射)所成對(duì)稱弱逆半群PJ(X)代替I(X)，對(duì)型A半群證明了類似的表示定理:

定理2．1［15］設(shè)S是型－A半群，記X=S作為集合，則存在S到PJ(X)的單同態(tài)映射．

發(fā)現(xiàn)這個(gè)表示，事實(shí)上是型A半群S嵌入對(duì)稱逆半群I(S)的表示，即有:

定理2．2 任一型A半群S都是某對(duì)稱逆半群的型A子半群．更準(zhǔn)確地說(shuō)，對(duì)任意a∈S定義滿足:，且對(duì)任意x∈Sa+有，則，而是從S到I(S)的單同態(tài)．對(duì)任意a∈S，(S的像集合)的充要條件是a∈Reg S(S的所有正則元之集);因而特別地，當(dāng)S是逆半群時(shí)，恰為V－P表示．

顯然，?是集合S上的一個(gè)部分映射．證明對(duì)任意a∈S有?a∈I(S)．事實(shí)上，對(duì)任意

有s，t∈S使

若有

即

由aR*a+，有sa+=ta+，即x=y．

為證明?單，設(shè)?a=?b，a，b∈S，那么

由E(S)是半格立得a+=b+．于是有

由于R*是左同余和每個(gè)R*－類只有一個(gè)冪等元，有下述推理

于是，由R*的性質(zhì)和S是型A的，又有如下推理

另一方面，由a+a=a有a+ab=ab，故

這說(shuō)明

從而

即

由此立得

反之，對(duì)任意

有t，u∈S使得

由aa*=a和E(S)是半格有

(E(S)是半格)

(由aR*a+)

(由(ab+)+=(ab)+=(ab)+a+)．

因而

故

顯然，2個(gè)有相同定義域的部分變換只要對(duì)其定義域中每個(gè)元素的作用也相同，則兩者必相等．而

注意到此時(shí)有

有

因而得到?ab=?a?b．這就證明了?是同態(tài)，從而是S的一個(gè)忠實(shí)表示．

進(jìn)而，每個(gè)?a是從Sa+到Sa上的雙射．事實(shí)上，對(duì)任意xa∈Sa，x∈S，由于a+a=a有

由?是單同態(tài)，立得aa'=a+．從而

故a∈Reg S．反之，若a∈Reg S，則由Reg S是一個(gè)逆半群，有a－1∈S使得aa－1=a+，且(a－1)+= a*La，故得

這就得到

注2．3 以上定理的證明說(shuō)明，若a是型A半群S的非正則元，盡管也是雙射(因而是I(S)的正則元)，但它不是的正則元．

例2．5 設(shè)N是自然數(shù)集，I=N×N．在S= N∪I上定義運(yùn)算·如下:

可以驗(yàn)證S是一個(gè)半群．E(S)={0，(0，0)}，R*－類為N和I，記J={(m，0):m∈N}，則L*－類為J和SJ．可以看出，每個(gè)L*－類和每個(gè)R*－類都分別含冪等元0和(0，0);且冪等元集E(S)是二元半格．因此S是一個(gè)恰當(dāng)半群．但是對(duì)任一非0正整數(shù)m有

因而S不是型A半群．

該半群“蛋盒圖”如下:

可以驗(yàn)證?是S的一個(gè)表示．

例2．6 設(shè)A是生成元為a的無(wú)限單演半群，B是生成元為b的無(wú)限單演幺半群，其單位元為e．令

定義S上的乘法使1是S上單位元，這個(gè)乘法在A和B上的限制就是A和B自身的乘法，而A中元素與B中元素的乘法由下式定義:

其中，m ＞0，n≥0，b0=e．

可以驗(yàn)證S是一個(gè)半群．

E(S)={1，e}，L*－類為A∪{1}和B，R*－類為A∪B和{1}，H*－類為{1}、A、B．可以看出每個(gè)L*－類和每個(gè)R*－類含冪等元，且冪等元交換，因此S是一個(gè)恰當(dāng)半群，其D*－類的“蛋盒圖”如下:

因?yàn)閎=ab0=ae≠(ae)+a=b+a= ea=b0a=a．

所以S不是型A半群．

因此

即?不是一個(gè)表示．

［1］VAGNER V V．Generalized groups［J］．Doklady Akademii Nauk SSSR，1952，84:1119－1122．

［2］PRESTON G B．Inverse semi－groups［J］．J London Mathematical Society，1954，29:396－403．

［3］HOWIE J M．Fundamentals of Semigroup Theory［M］．London:Calrendox Press，1995:186－186．

［4］MEDGHALCHI A R，POURMAHMOOD－AGHABABA H．Figa－Talamanca－Herz algebras for restricted inverse semigroups and Clifford semigroups［J］．J Math Anal Appl，2012，395(2):473－485．

［5］孫燕，任學(xué)明，宮春梅．具有左中心冪等元的U－富足半群［J］．?dāng)?shù)學(xué)雜志，2015，35(4):833－840．

［6］王春茹，喻秉鈞．強(qiáng)右C－wlpp半群［J］．四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015，38(2):164－168．

［7］商宇，汪立民．型A ω2－半群［J］．?dāng)?shù)學(xué)進(jìn)展，2015，44(4):519－529．

［8］李勇華，樂(lè)文．* －雙單型A半群［J］．?dāng)?shù)學(xué)進(jìn)展，2014，43(3):341－354．

［9］郭茜，喻秉鈞．型A半群在其*－閉子半群的右ω－陪集上的表示［J］．四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2009，32(2): 176－178．

［10］SHANG Y，WANG L M．The isomorphism theorem of* －bisimple type A ω2－semigroups［J］．J Math Res Appl，2013，33(2):231－240．

［11］PASTIJN F．A representation of a semigroup by a semigroup of matrices over a group with zero［J］．Semigroup Forum，1975，10: 238－249．

［12］FOUNTAIN J B．Aundant semigroups［J］．Proc London Math Soc，1982，44:103－129．

［13］FOUNTAIN J B．Adequate semigroups［J］．Proc Edinburgh Math Soc，1979，22:113－125．

［14］LAWSON M V．The structure of type－A semigroups［J］．Quart J Math Oxford，1986，37(2):279－298．

［15］盧占化，馮秀峰．Type－A半群的表示［J］．河南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2007，35(1):40－41．

The Vagner-Preston Representation of a Type-A Semigroup

GUO Qian1，YU Bingjun2，3

(1．College of Mathematics，Chengdu Normal College，Chengdu 610041，Sichuan; 2．College of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，Sichuan; 3．Office of Mathematics and Researching，Chengdu College of Arts and Sciences，Chengdu 610101，Sichuan)

The famous Vagner-Preston representation theorem of inverse semigroups is a generalization of the classical Cayley representation of groups to inverse semigroups．In this paper we generalize further it to type-A semigroups and give the Vagner-Preston representation of type-A semigroups．We prove that any type-A semigroup is a type-A sub-semigroup of the symmetric inverse semigroup．This conclusion also reflects the fact that type-A semigroup in abundant semigroups is as inverse semigroups in regular semigroups．And then，we also give examples to show that，there exist adequate semigroups which are not type-A semigroups，make the mapping a representations;and there also exist adequate semigroups which are not type-A semigroups，do not make the mapping representation．So in the class of abundant semigroups it can not be generalized any more．

adequate semigroup;type-A semigroup;homomorphism;the Vagner-Preston representation

O152．7

A

1001－8395(2016)04－0518－04

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．04．010

(編輯 余 毅)

2015－04－21

國(guó)家自然科學(xué)基金(11371205)

郭 茜(1982—)，女，講師，主要從事半群代數(shù)理論的研究，E－mail:634672198@qq．com

2010 MSC:20M30