一種考慮溫度影響的高效幾何非線性梁-柱單元

李國強(qiáng), 王　震

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一種考慮溫度影響的高效幾何非線性梁-柱單元

李國強(qiáng)1,2, 王震1,3

(1. 同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院, 上海 200092; 2. 同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 上海 200092;3. 中國二十冶集團(tuán)上海十三冶建設(shè)有限公司, 上海 201999)

摘要：在梁-柱單元位移函數(shù)中引入了軸力的影響，將傳統(tǒng)3次位移函數(shù)改進(jìn)為4次位移函數(shù)，并推導(dǎo)得到了考慮溫度影響的幾何非線性梁-柱單元.該單元的幾何非線性剛度矩陣中完整考慮了單元位形變化對平衡方程的影響、溫度變化對材性和單元應(yīng)變的影響以及單元位形變化對幾何方程的影響，進(jìn)而可以考慮二階效應(yīng)、弓形效應(yīng).采用該單元編制了有限元程序，算例分析表明，該梁-柱單元精度得到了顯著改善，可以極大減少非線性有限元模型的單元數(shù)量，在分析火災(zāi)下梁的懸鏈線效應(yīng)、火災(zāi)下桿系結(jié)構(gòu)連續(xù)性倒塌等問題上具有顯著優(yōu)勢.

關(guān)鍵詞：梁-柱單元; 幾何非線性; 單元剛度矩陣; 弓形效應(yīng); 溫度

近些年，隨著有限元理論的發(fā)展及相關(guān)數(shù)值軟件的推廣，工程師可以借助計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)快速解決涉及溫度、材料非線性、幾何非線性的復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)問題.然而，為得到足夠精確的數(shù)值解，往往需要將構(gòu)件劃分為大量的單元，對于工程結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)分析，如火災(zāi)下梁的懸鏈線效應(yīng)、火災(zāi)下連續(xù)性倒塌等問題尤其如此.單元數(shù)量的增加不僅極大增加計(jì)算代價，還極易產(chǎn)生數(shù)值計(jì)算的不收斂.

對幾何非線性梁-柱單元，其幾何非線性主要包括兩方面：①空間位形變化對平衡方程的影響，對梁-柱單元而言即二階效應(yīng)；②空間位形變化對幾何方程的影響，對梁-柱單元而言，即側(cè)向變形對軸力的影響及該軸力變化對彎矩的影響，亦即弓形效應(yīng).現(xiàn)有有限元方程均基于假定的位移函數(shù)建立，若位移函數(shù)選取適當(dāng)，并完整考慮這兩者，則單元精度可得到顯著改善，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)1個單元模擬1個構(gòu)件的目標(biāo).

溫度變化對梁-柱單元的影響體現(xiàn)在2個方面：①溫度對材料性能的影響，如彈性模量折減、強(qiáng)度折減等，可通過材料折減系數(shù)考慮；②因溫度變化而使梁、柱產(chǎn)生長度變化，對應(yīng)的應(yīng)變狀態(tài)為正應(yīng)變的改變，而剪應(yīng)變不變，當(dāng)梁、柱在伸長方向存在多余約束時，將產(chǎn)生溫度內(nèi)力.

因此，本文通過構(gòu)造考慮軸力對梁-柱單元側(cè)向變形影響的位移函數(shù)，考慮二階效應(yīng)和弓形效應(yīng)的幾何非線性，并進(jìn)一步引入溫度，推導(dǎo)一種考慮溫度影響的高效幾何非線性梁-柱單元.

1現(xiàn)有梁-柱單元的局限

溫度變化對梁-柱單元的影響可通過材料性能折減系數(shù)、溫度應(yīng)變予以考慮.

1.1梁-柱理論法

在梁-柱理論中[1]，通過直接求解梁-柱單元的平衡微分方程得到精確的節(jié)點(diǎn)力、節(jié)點(diǎn)位移關(guān)系進(jìn)而得到無剛體位移的非線性梁-柱單元切線剛度矩陣，其中，梁-柱單元的二階效應(yīng)由穩(wěn)定函數(shù)表示.由于該穩(wěn)定函數(shù)中沒有考慮弓形效應(yīng)(包括梁-柱側(cè)向變形對軸向伸長的影響及該軸向變形引起的彎曲影響)[2]，因此Oran[3]改進(jìn)并推導(dǎo)得到了考慮弓形效應(yīng)的梁-柱單元.

經(jīng)典的梁-柱理論方法基于能夠直接求解的平衡微分方程，當(dāng)考慮扭轉(zhuǎn)、剪切等變形時，直接求解十分困難，因此該經(jīng)典理論應(yīng)用于復(fù)雜受力狀態(tài)時較為困難.

此外，梁-柱理論法考慮弓形效應(yīng)也是十分困難的，因此多數(shù)情況下會忽略弓形效應(yīng)的影響[4].這種近似在常見的幾何非線性問題中不會引起顯著誤差，但是在諸如梁的懸鏈線效應(yīng)的倒塌分析中，忽略弓形效應(yīng)將無法計(jì)算梁中軸力，進(jìn)而出現(xiàn)錯誤的倒塌分析結(jié)果.

1.2有限單元法

現(xiàn)有有限元理論[5]中通常以位移元作為基本未知量，即首先假定單元的變形曲線，基于此變形曲線建立單元的有限元平衡方程.由此可以看出，位移函數(shù)的選取對于計(jì)算結(jié)果的精度起決定性作用，如果選取的位移函數(shù)與真實(shí)位移函數(shù)相差較大，需要劃分較多的單元以減小誤差.

對于梁單元[5]，通常假定撓度位移函數(shù)為結(jié)點(diǎn)位移的三次Hermite插值函數(shù)，相鄰單元結(jié)點(diǎn)處的位移、轉(zhuǎn)角均保持連續(xù)；軸向變形為結(jié)點(diǎn)的一次Lagrange插值函數(shù)，僅相鄰單元結(jié)點(diǎn)處的位移保持連續(xù).

不難看出，Hermite位移函數(shù)是彈性狀態(tài)下不考慮軸力和剪切變形而僅受結(jié)點(diǎn)彎矩的梁精確撓曲變形函數(shù)[6].因此，基于此位移函數(shù)推導(dǎo)得到的梁單元，用1個單元即可精確模擬不考慮剪切而僅受結(jié)點(diǎn)荷載的簡支梁小變形分析.但是，當(dāng)問題涉及幾何非線性、材料非線性、節(jié)間荷載時，梁撓曲線不再是Hermite插值函數(shù)，故需要將梁劃分為多個單元，以得到近似于精確解的數(shù)值解.

在考慮幾何非線性的梁單元剛度矩陣推導(dǎo)過程中，通常對由虛位移原理建立起來的平衡方程進(jìn)行線性化處理，略去了非線性項(xiàng)，文獻(xiàn)[7]通過考慮部分非線性項(xiàng)，即側(cè)向變形產(chǎn)生的軸向伸長項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)單元的精度得到了極大改善，用較少單元甚至1個單元就可以較為準(zhǔn)確地模擬1個構(gòu)件的力學(xué)行為.

有限元理論可以實(shí)現(xiàn)對梁-柱單元幾何方程中高階項(xiàng)的完整考慮，因此改進(jìn)單元位移函數(shù)成為提高單元精度的有效方法.研究人員嘗試提高位移階次并在單元內(nèi)增加內(nèi)結(jié)點(diǎn)[8]，雖然單元精度得到了改進(jìn)，但其計(jì)算過程復(fù)雜，且精度提高有限.

因此，Chan等[9]提出五次非線性梁-柱單元，該單元位移函數(shù)考慮軸力的影響，單元精度得到顯著改進(jìn)，計(jì)算也十分簡便.經(jīng)典算例表明，該單元可以實(shí)現(xiàn)1個或2個單元模擬1個構(gòu)件.但其推導(dǎo)過程僅考慮單元側(cè)向變形對軸力的影響，未能考慮該軸力變化對彎矩的影響，因此弓形效應(yīng)考慮不完整.

基于此，本文提出了考慮軸力影響的四次位移函數(shù)，并推導(dǎo)了能完整考慮弓形效應(yīng)的新梁-柱單元.由于弓形效應(yīng)考慮完整，因此在處理鋼梁懸鏈線效應(yīng)等極限分析時具有顯著優(yōu)勢.

2現(xiàn)有梁-柱單元對溫度的考慮

在既有單元基礎(chǔ)上，通過考慮溫度對材料性能的影響、溫度應(yīng)變可以建立考慮溫度影響的梁-柱單元.

溫度對材料的物理、力學(xué)性能具有顯著的影響，主要包括：①溫度對材料物理性能的影響，主要包括熱膨脹系數(shù)、熱傳導(dǎo)系數(shù)、比熱容、密度等，用于計(jì)算結(jié)構(gòu)、構(gòu)件內(nèi)的溫度場；②溫度對力學(xué)性能的影響，如強(qiáng)度、彈性模量、松弛、徐變等，用于計(jì)算結(jié)構(gòu)、構(gòu)件的內(nèi)力和變形等.根據(jù)分析對象的不同，選擇采用考慮溫度影響的相應(yīng)材料性能，進(jìn)而在現(xiàn)有常溫梁-柱單元基礎(chǔ)上考慮溫度的影響.

當(dāng)單元溫度發(fā)生變化時，除了材性發(fā)生變化，還會產(chǎn)生溫度變形.如單元各部分的溫度變形不受約束，則該溫度變形部分不會引起應(yīng)力.但如果單元受到約束或溫度變化不均勻時，單元內(nèi)溫度變形不能自由進(jìn)行，則會在單元內(nèi)產(chǎn)生溫度內(nèi)力.通常，在現(xiàn)有常溫梁-柱單元中通過附加等效溫度節(jié)點(diǎn)荷載來考慮溫度內(nèi)力的影響.

3考慮溫度影響的新型梁-柱單元有限元平衡方程

3.1分析模型與假定

選取平面梁-柱單元為分析對象，其節(jié)點(diǎn)力向量P=[NiQiMiNjQjMj]T，節(jié)點(diǎn)位移向量a=[uiviθiujvjθj]T，即如圖1所示.式中，N為節(jié)點(diǎn)軸力；Q為節(jié)點(diǎn)剪力；M為節(jié)點(diǎn)彎矩；u為軸向位移；v為側(cè)向位移；θ為轉(zhuǎn)角；下標(biāo)i，j為節(jié)點(diǎn)編號.

假定梁-柱單元內(nèi)的溫度沿長度方向保持不變，但在截面內(nèi)可按線性變化.假定：①梁-柱單元為等截面直桿；②不考慮剪切變形；③大位移、小應(yīng)變；④作用荷載為保守力，且僅作用在節(jié)點(diǎn)處.

圖1　梁-柱單元節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移

3.2考慮溫度影響的位移函數(shù)

初始及當(dāng)前梁-柱單元位形變化如圖2所示，其中Oxy為單元坐標(biāo)系；O′XY為結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系；α為x與X的夾角.常溫下傳統(tǒng)梁-柱單元采用三次插值函數(shù)描述其側(cè)向變形，無法考慮軸力對其側(cè)向變形的影響，因此本文采用四次插值函數(shù)式(1)，在傳統(tǒng)位移邊界條件式(2)基礎(chǔ)上，通過附加平衡關(guān)系式(3)考慮軸力對側(cè)向變形的影響，由廣義坐標(biāo)法即可得到側(cè)向變形四次位移函數(shù).新單元軸向變形仍采用Lagrange一次插值函數(shù).新得到的全量和增量位移函數(shù)見式(4).

(1)

(2)

式中：a0～a4為待定系數(shù)；ξ為自然坐標(biāo)，ξ=x/l，l為單元長度.

(3)

式中：ET為考慮溫度影響的彈性模量；I為截面慣性矩.a(da)=

(4)

(5)

當(dāng)考慮溫度影響時，通常仍假定考慮溫度影響的單元位移函數(shù)與常溫下形式一致，仍為結(jié)點(diǎn)位移的四次函數(shù).

圖2　力學(xué)模型

從式(4)可以看出，當(dāng)ρ=0時，新位移函數(shù)與Hermite三次位移函數(shù)一致.參數(shù)ρ考慮了軸力對單元側(cè)向變形的影響.

3.3考慮溫度影響的幾何方程

考慮溫度的梁-柱單元的應(yīng)變ε由兩部分組成:①受力產(chǎn)生的變形，即機(jī)械應(yīng)變εM；②截面溫度變化產(chǎn)生的變形，即溫度應(yīng)變εT.即ε=εM+εT.

假定截面溫度T線性變化，并進(jìn)一步分解為軸向均勻溫度和軸向非均勻溫度，即式(6)；截面應(yīng)變εT分解為軸向均勻應(yīng)變和軸向非均勻應(yīng)變，即式(7).

(6)

(7)

式中：k為截面上邊緣點(diǎn)與下邊緣點(diǎn)的溫度比值；ΔTb為截面下邊緣點(diǎn)的溫度變化；η為截面高度自然坐標(biāo)，η=y/h，h為單元截面高度；αs為鋼材溫度線膨脹系數(shù).

3.4考慮溫度影響的材料本構(gòu)關(guān)系

本文推導(dǎo)的考慮溫度影響的梁-柱單元主要用于桿系結(jié)構(gòu)彈性力學(xué)分析，因此溫度對材料性能的影響主要體現(xiàn)在溫度對彈性模量的影響.

考慮溫度影響的材料本構(gòu)關(guān)系見式(8).

(8)

式中：σ為材料應(yīng)力；ε為材料應(yīng)變.

3.5考慮溫度影響的有限元平衡方程

基于新推導(dǎo)得到的位移函數(shù)可以建立考慮溫度影響的梁-柱單元虛功方程式(9).結(jié)合本構(gòu)關(guān)系，則可得到梁-柱單元全量平衡方程(10)、增量平衡方程式(11).

∫δεTσMdV-∫δuTfdV-∫δuTtdS=0

(9)

(10)

dP+dPT

(11)

式中：δε為虛應(yīng)變；σM為機(jī)械應(yīng)力；V為單元體積；δu為虛位移；f為作用于單元的體積力；t為作用于單元的邊界分布力；S為單元面積；B為應(yīng)變矩陣；DT為考慮溫度的本構(gòu)關(guān)系矩陣；P為常溫下等效節(jié)點(diǎn)荷載；PT為高溫下等效節(jié)點(diǎn)荷載；下標(biāo)L表示線性，N表示非線性，s表示割線，t表示切線.

需要指出的是，常溫下的傳統(tǒng)有限元理論中通常忽略幾何方程中的高階項(xiàng)，而此項(xiàng)恰恰反映了弓形效應(yīng)，即梁-柱單元側(cè)向變形對軸力的影響及該軸力變化對彎矩的影響.忽略高階項(xiàng)的影響后，本節(jié)所得有限元平衡方程與傳統(tǒng)有限元平衡方程及梁-柱理論法得到的平衡方程形式一致.

因此，為提高單元精度，本文在推導(dǎo)考慮溫度影響的有限元平衡方程過程中考慮了幾何方程高階項(xiàng)的影響.

4考慮溫度影響的割線剛度矩陣

4.1線性剛度矩陣

由全量有限元平衡方程可以得到線性割線剛度矩陣表達(dá)式(12)，該項(xiàng)反映了小變形條件下節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系.

(12)當(dāng)ρ=0時，該項(xiàng)即與傳統(tǒng)Hermite單元線性剛度矩陣一致.

(13)

4.2大位移剛度矩陣

經(jīng)典梁-柱理論法通常難以考慮弓形效應(yīng)的影響，而經(jīng)典有限元理論亦通常忽略單元位移函數(shù)中高階項(xiàng)的影響.此高階項(xiàng)考慮了側(cè)向變形對軸力的影響及該軸力變化對彎矩的影響，即弓形效應(yīng)，這種效應(yīng)在單元大位移條件下并不能忽略.

考慮單元位移函數(shù)中的高階項(xiàng)得到的大位移剛度矩陣式如(14)，該式由三部分組成，分別表示側(cè)向變形對軸力的影響(式(15))以及該軸力變化對剪力、彎矩的影響(式(16)和(17)).Chan等[9]提出的單元僅考慮了式(15)的影響，推導(dǎo)過程中未能考慮式(16)和(17)的影響.

kD,s=kD1,s+kD2,s+kD3,s

(14)

(15)

(16)

(17)

5考慮溫度影響的切線剛度矩陣

5.1線性剛度矩陣

同理可以得到線性切線剛度矩陣式(18).

(18)

5.2幾何剛度矩陣

由增量有限元平衡方程可以得到幾何切線剛度矩陣式(19)，該項(xiàng)考慮了單元內(nèi)力對單元變形的影響，即“二階效應(yīng)”.

(19)

5.3大位移剛度矩陣

同樣，如考慮高階項(xiàng)的影響，可以得到大位移切線剛度矩陣式(20)，通過該項(xiàng)的引入可以考慮單元側(cè)向變形引起的軸力變化；如忽略此項(xiàng)，則無法計(jì)算極限分析中鋼梁的懸鏈線效應(yīng)，即無法計(jì)算由于側(cè)向變形產(chǎn)生的軸力.

(20)

6等效溫度節(jié)點(diǎn)荷載

同樣，可以推導(dǎo)得到等效溫度節(jié)點(diǎn)荷載式(21)，即溫度變化引起的載荷項(xiàng).

(21)

7算例分析

利用本文方法(新單元)編制了非線性有限元程序，采用弧長法確定常溫下的增量步長[10]，采用線性升溫速度確定高溫下的增量步長，每一增量步內(nèi)采用Modified Newton-Raphson方法迭代求解.通過本程序與通用商業(yè)有限元軟件ABAQUS計(jì)算結(jié)果的對比分析來驗(yàn)證新單元的精度和效率.

采用ABAQUS提供的B23單元進(jìn)行模擬，B23單元為歐拉-伯努利單元[11]，其側(cè)向位移采用Hermite三次插值函數(shù)，軸向位移采用Lagrange一次插值函數(shù).該單元不能考慮剪切變形，但可以考慮剪力對平衡方程的影響.

為簡化計(jì)算，2個算例中第1個升溫步均設(shè)定為常溫，并施加預(yù)定荷載.在后續(xù)升溫步中線性升溫至設(shè)定溫度，同時保持荷載不變，各升溫步設(shè)定溫度見表1.各個溫度下鋼材彈性模量折減系數(shù)采用規(guī)范EC3的建議值[12]，見表2.

表1　升溫步的設(shè)計(jì)

表2　高溫下鋼材彈性模量折減系數(shù)

7.1兩端固定梁

以兩端固定梁為分析對象，如圖3，圖中梁截面面積A為1.8×105mm2，截面慣性矩I為5.4×109mm4，梁長度L為6 000 mm，跨中集中荷載P為5×108N.首先常溫下在跨中施加集中荷載，之后對梁進(jìn)行恒載升溫，升溫速度見表1.本算例可以考察梁內(nèi)軸力產(chǎn)生過程及軸力對撓度的影響，即火災(zāi)下鋼梁的懸鏈線效應(yīng).

圖3　兩端固定梁

由圖4、圖5可以看出：1個、2個新單元與20個B23單元計(jì)算得到的荷載-撓度關(guān)系稍有偏差，但軸力-撓度、撓度-升溫步、軸力-升溫步關(guān)系基本一致.說明本文方法得到的梁-柱單元可以準(zhǔn)確描述高溫下兩端固定梁內(nèi)的懸鏈線效應(yīng)，精確計(jì)算出升溫過程中由于懸鏈線效應(yīng)產(chǎn)生的軸力.

圖4 軸力撓度關(guān)系Fig.4 Relationshipofaxialforceanddeflectiona撓度-升溫步關(guān)系b軸力-升溫步關(guān)系圖5 兩端固定梁計(jì)算結(jié)果對比 Fig.5 ResultcomparisonoffixedbeammodelingwithnewelementandB23element

7.2Г形鋼架

以Г形鋼架為研究對象，如圖6，圖中梁截面面積A為6.25×104mm2，截面慣性矩I為3.25×108mm4，梁長度L為3 000 mm，角點(diǎn)集中荷載P為4×106N，荷載作用點(diǎn)距角點(diǎn)偏心距e為30 mm.首先在角點(diǎn)施加豎向集中荷載和彎矩，之后保持荷載不變，對Г形鋼架線性升溫，升溫步設(shè)計(jì)見表1.本算例考察鋼架內(nèi)的懸鏈線效應(yīng)及該效應(yīng)對轉(zhuǎn)角的影響.

圖6　Г形鋼架

由圖7、圖8可以看出：本文提出的1個、2個新單元計(jì)算結(jié)果與20個B23單元計(jì)算結(jié)果基本一致，可以準(zhǔn)確反映柱的失穩(wěn)及高溫下梁內(nèi)懸鏈線效應(yīng)，具有較高的計(jì)算效率和精度.

圖7　軸力-轉(zhuǎn)角關(guān)系

a 轉(zhuǎn)角-升溫步關(guān)系

b 軸力-升溫步關(guān)系

c 豎向位移-升溫步關(guān)系

8結(jié)語

傳統(tǒng)梁柱理論難以考慮側(cè)向變形對軸力的影響及該軸力變化對彎矩的影響，傳統(tǒng)有限元理論通常忽略幾何方程高階項(xiàng)的弓形效應(yīng)影響.雖有相關(guān)文獻(xiàn)考慮高階項(xiàng)，但由于其位移函數(shù)采用三次插值函數(shù)，所以無法考慮軸力對單元位移函數(shù)的影響，需將構(gòu)件劃分為多個單元以實(shí)現(xiàn)極限分析，如火災(zāi)下鋼梁懸鏈線效應(yīng)、火災(zāi)下倒塌分析等.本文依據(jù)現(xiàn)有理論建立了考慮溫度和軸力影響的高效梁-柱單元，并通過完整考慮幾何非線性的影響實(shí)現(xiàn)了1個單元模擬1個構(gòu)件的目的.

與軟件ABAQUS中B23單元的經(jīng)典算例對比分析表明：本文提出的梁-柱單元具有較高的精度，可實(shí)現(xiàn)火災(zāi)下極限分析時用1個單元模擬1個構(gòu)件，為火災(zāi)下桿系結(jié)構(gòu)梁懸鏈線效應(yīng)、非線性連續(xù)性倒塌等火災(zāi)極限狀態(tài)的數(shù)值分析提供高效梁-柱單元.

本文雖以平面梁-柱單元為分析對象，但其理論也可推廣至空間梁-柱單元.但本梁-柱單元由目前研究知僅適用于彈性材料階段，暫未拓展到塑性階段，是否適用于塑性階段，需進(jìn)一步深入研究.

參考文獻(xiàn):

[1]李國強(qiáng), 劉玉姝, 趙欣. 鋼結(jié)構(gòu)框架體系高等分析與系統(tǒng)可靠度設(shè)計(jì)[M]. 北京: 中國建筑工業(yè)出版社, 2006.

LI Guoqiang, LIU Yushu, ZHAO Xin. Advanced analysis and reliability design of steel frame system [M]. Beijing: China Architecture & Building Press, 2006.

[2]劉堅(jiān). 鋼結(jié)構(gòu)高等分析的二階非彈性理論與應(yīng)用[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2012.

LIU Jian. Second order inelastic theory and application for advanced analysis of steel structures [M]. Beijing: Science Press, 2012.

[3]Oran C. Tangent stiffness in space frames [J]. Journal of the Structural Division, ASCE, 1973, 99(6): 987.

[4]Goto Y, Chen W F. On the computer-based design analysis for the flexibly jointed frames [J]. Journal of Constructional Steel Research, 1987(8): 203.

[5]王勖成. 有限單元法[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2003.

WANG Xucheng. Finite element method [M]. Beijing: Tsinghua University Press, 2003.

[6]Chan S L, Zhou Z H. Second-order elastic analysis of frames using single imperfect element per member [J]. Journal of Structural Engineering, 1995, 121(6): 939.

[7]Al-Bermani F G A, Kitipornchai S. Nonlinear analysis of thin-walled structures using least element/member [J]. Journal of Structural Engineering, 1990, 116 (1): 215.

[8]So A K W, Chan S L. Buckling analysis of frames using 1 element/member [J]. Journal of Constructional Steel Research, 1991, 20(4): 271.

[9]Chan S L, Zhou Z H. Pointwise equilibrating polynomial element for nonlinear analysis of frames [J]. Journal of Structural Engineering, 1994, 120(6): 1703.

[10]Crisfield M A. A fast incremental/iterative solution procedure that handles ‘snap-through’ [J]. Computers & Structures, 1981, 13(1/3): 55.

[11]Dassault Systèmes Simulia Corp. ABAQUS 6.11 theory manual [M]. [S.l.]: Dassault Systemes Simulia Corp, 2011.

[12]李國強(qiáng),韓林海,樓國彪，等. 鋼-混凝土組合結(jié)構(gòu)抗火設(shè)計(jì)[M]. 北京: 中國建筑工業(yè)出版社, 2006.

LI Guoqiang, HAN Linhai, LOU Guobiao,etal. Fire resist design of steel structures and steel-concrete composite structures [M]. Beijing: China Architecture & Building Press, 2006.

收稿日期：2015-08-08

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金(51120185001)

通訊作者：王震(1986—)，男，博士生，主要研究方向?yàn)殇摻Y(jié)構(gòu)高等分析、鋼結(jié)構(gòu)抗火等.E-mail: 2011zwang@#edu.cn

中圖分類號：TU311

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

An Efficient Geometric Nonlinear Beam-Column Element Considering Temperature

LI Guoqiang1,2, WANG Zhen1,3

(1. College of Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092，China; 2. State Key Laboratory for Disaster Reduction in Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China; 3. MCC20 Shanghai Shisanye Construction Co. Ltd., Shanghai 201999, China)

Abstract：Instead of traditional cubic Hermitian interpolation function, axial force is considered in element deformation in this paper, and a fourth order interpolation function is employed to form a new beam-column element considering thermal effect. Influence of element deformation on equilibrium equation and geometric equation, and influence of temperature on material properties and strain formulation are considered in new element, known as second-order effect and bowing effect. A finite element program was written to verify the efficiency and accuracy of the new element against B23 in ABAQUS. It is concluded that the element number can be greatly reduced under the same accurate condition, and be superior in dealing with limit analysis, such as catenary effect of beam in fire and nonlinear progressive collapse analysis in fire.

Key words：beam-column element; geometric nonlinearity; element stiffness matrix; bowing effect; temperature

第一作者： 李國強(qiáng)(1963—)，男，教授，博士生導(dǎo)師，工學(xué)博士，主要研究方向?yàn)槎喔邔愉摻Y(jié)構(gòu)、鋼結(jié)構(gòu)抗震、鋼結(jié)構(gòu)抗火、鋼結(jié)構(gòu)抗爆.

E-mail: gqli@#edu.cn