大尺寸拋物線形超聲變幅桿頻率的瑞利修正

張寧寧

(渭南師范學(xué)院 物理與電氣工程學(xué)院,陜西 渭南 714000)

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大尺寸拋物線形超聲變幅桿頻率的瑞利修正

張寧寧

(渭南師范學(xué)院 物理與電氣工程學(xué)院,陜西 渭南 714000)

摘要:利用瑞利能量法對大尺寸拋物線形超聲變幅桿的共振頻率進(jìn)行修正,得到了修正頻率表達(dá)式．通過數(shù)值計算得出大尺寸拋物線形超聲變幅桿頻率修正結(jié)果,并利用有限元軟件對一組大尺寸拋物線形變幅桿進(jìn)行模態(tài)分析．將修正結(jié)果與一維的理論值進(jìn)行對比分析,可得修正后的頻率值更接近于有限元模擬仿真值．

關(guān)鍵詞:大尺寸拋物線形超聲變幅桿;共振頻率;瑞利修正;有限元模擬

0引言

超聲變幅桿在功率超聲振動系統(tǒng)中非常重要,其主要作用是放大質(zhì)點機械振動的位移或速度,或?qū)⒊暷芰考性谳^小的面積上．在超聲變幅桿領(lǐng)域中，指數(shù)形變幅桿、圓錐形變幅桿、懸鏈線形變幅桿、階梯形變幅桿等單一及各種復(fù)合振動變幅桿的特性得到眾多學(xué)者的研究[1-5]．單一變幅桿中,圓錐變幅桿的因數(shù)最大,但放大系數(shù)最?。墨I(xiàn)[6]研究了一種拋物線形變幅桿,與圓錐形變幅桿相比較,拋物線形變幅桿具有放大系數(shù)較大,形狀因數(shù)可比的優(yōu)點．傳統(tǒng)變幅桿設(shè)計一般按照一維理論,當(dāng)變幅桿橫向尺寸小于1/4波長時,可以忽略橫向振動對縱向頻率造成的影響．但在許多需要大功率、高聲強的功率超聲應(yīng)用領(lǐng)域中,通常需要一種橫截面積大的變幅桿來獲得較大的功率和聲強．而此時,由于泊松效應(yīng)的影響,橫向的振動不可忽略,傳統(tǒng)設(shè)計理論的結(jié)果將會出現(xiàn)較大的誤差．文獻(xiàn)[7-10]分別修正了大尺寸的指數(shù)形、懸鏈型和有孔圓錐變幅桿的頻率,理論計算與模擬結(jié)果較符合.文獻(xiàn)[11]分析了大尺寸矩形截面拋物線型變幅桿,對固有頻率進(jìn)行修正,但是局限在矩形截面的塊狀振動體上,對于大截面的回轉(zhuǎn)體變幅桿很難用解析法來分析,特別是對圓截面拋物線型變幅桿未見研究．本文利用瑞利能量法推導(dǎo)出圓截面大尺寸拋物線形變幅桿的頻率修正結(jié)果,通過有限元軟件Ansys進(jìn)行模態(tài)分析．結(jié)果表明,利用瑞利能量法修正得到的頻率,與一維理論值相比較,更接近于有限元模擬仿真值．

1頻率方程

對于均勻各向同性材料構(gòu)成的變截面變幅桿,不考慮機械損耗,并設(shè)橫截面上應(yīng)力分布均勻[1],則所求動力學(xué)方程為

(1)

(2)

(3)

由式(3)可得其應(yīng)變分布的函數(shù)為

(4)

(5)

根據(jù)式(5)可計算變幅桿一維縱振動頻率．

2共振頻率的瑞利修正

在大尺寸勻質(zhì)超聲變幅桿做縱向振動時,由于泊松效應(yīng)的影響,必然存在橫向振動,且橫向振動較為強烈不可忽略,并對縱向振動有明顯的影響,而且橫向尺寸越大對縱向振動的影響越大．從振動能量角度進(jìn)行分析,傳統(tǒng)的一維設(shè)計理論只考慮了縱向振動下變幅桿的勢能和動能,而在大尺寸變幅桿中,較強的橫向振動會引起振動系統(tǒng)動能增加,從而增加系統(tǒng)的慣性,使變幅桿的等效分布參數(shù)發(fā)生變化,最終引起縱向振動的波速減慢,共振頻率降低．采用瑞利能量法的近似理論假設(shè),可認(rèn)為形變前后在同一截面的質(zhì)點仍舊處在同一平面上,即縱向位移ξx和半徑r關(guān);徑向形變是均勻的,即徑向位移與半徑成正比,且兩種振動是同相位的．因此可以得到,變幅桿在徑向上的應(yīng)變方程為

(6)

其中σ是泊松系數(shù),εr是徑向應(yīng)變,εx是縱向應(yīng)變,且ξx是縱向位移.又由于其應(yīng)變均勻,即徑向的位移ξr=rεr,則其徑向位移的函數(shù)為

(7)

其徑向振速的函數(shù)為

(8)

由于圓截面上變幅桿質(zhì)點振動位移關(guān)于中心軸是對稱的,因此軸對稱上環(huán)帶微元的質(zhì)量可表示為

dm=ρdrds=2πρrdrdz.

(9)

由動能定理環(huán)帶微元的縱向振動引起的能量為

(10)

由于橫向振動的影響,該振動系統(tǒng)所引起的橫向的能量為

(11)

設(shè)系統(tǒng)在一維縱振過程中的等效質(zhì)量為me,由于橫向振動的影響,動能增加后的等效質(zhì)量的增量為Δme,則有

(12)

由式(12)可得,當(dāng)考慮變幅桿在橫向振動時,該振動系統(tǒng)所對應(yīng)的等效的質(zhì)量就會增大．由于共振頻率和系統(tǒng)對應(yīng)的等效質(zhì)量平方根的大小成反比,則得

(13)

對于拋物線形變幅桿由式(3)及(4)可知,在兩端自由的條件下，縱向振速vx及其對x的一階偏導(dǎo)為

(14)

(15)

其中A是常數(shù),且φ是初相位．

將式(14)，(15)及R(x)=R1(l-ax)2帶入式(10)，(11),并令初相位φ=0，可得

(16)

(17)

將式(16)，(17)代入式(13)可得修正后頻率方程．若給定變幅桿的各項尺寸和材料參數(shù),可由式(5)計算出縱振動頻率,再由修正后的頻率方程計算可得修正后的頻率．

3有限元模擬

隨著計算機和數(shù)值計算方法的高速發(fā)展,應(yīng)用有限元法來預(yù)測復(fù)雜振動系統(tǒng)的振動特性變得越來越重要．有限元法能夠?qū)Τ曊駝酉到y(tǒng)進(jìn)行精確建模,利用Ansys有限元分析軟件可以簡化從建模到提取參數(shù)的一系列過程,不僅可以分析系統(tǒng)的振動模式和共振頻率,而且可以給出振動系統(tǒng)在任意位置及時刻的應(yīng)力和應(yīng)變狀態(tài)以及位移分布[12-15]．為了驗證本文中所得結(jié)論的精確性,取變幅桿材料為45號鋼,其楊氏模量E=2.06×1011,泊松系數(shù)σ=0.28,密度ρ=7.84×103kg·m-3．表1為拋物線形變幅桿的理論值與Ansys有限元模擬值的比較．其中N為變幅桿大小端面積比,R1,R2分別為大小端半徑,f1為一維縱振動頻率,f2為修正后的理論計算頻率,f3為有限元模擬頻率,Δf1，Δf2分別為縱振動頻率及修正后的理論頻率與有限元模擬結(jié)果的百分誤差．

表 1　拋物線形超聲變幅桿的理論值和模擬值的比較

由表1可以得出,當(dāng)徑長比R1/l較小時,其理論頻率值和有限元模擬值的差異較小,若其徑長比增大,則誤差也隨之增大．通過能量法修正后的值比一維理論值更接近于有限元模擬值,誤差比較可以看出,修正后的頻率誤差相對較小．但在其徑長比超出一定的范圍時,其修正后的值與模擬仿真值之間的誤差也比較大.所以當(dāng)徑長比超出一定值時,瑞利近似理論將不再適用．文中在有限元模態(tài)分析中發(fā)現(xiàn)當(dāng)R1>66.67mm，即徑長比大于0.5時, 得到的振動模態(tài)中伴隨有彎曲振動,當(dāng)R1再增大時,其彎曲振動及扭轉(zhuǎn)振動所呈現(xiàn)的效果將越明顯,此時瑞利能量法的近似理論不再適用．當(dāng)取R1=60 mm 時,沒有發(fā)現(xiàn)明顯的彎曲振動或者扭轉(zhuǎn)振動的現(xiàn)象,因此取徑長比R1/l<0.5．

4結(jié)束語

通過瑞利能量法對大尺寸拋物線形變幅桿的共振頻率進(jìn)行修正,得出了大尺寸拋物線形變幅桿的縱振頻率修正公式．對比分析可知,考慮橫向振動的影響，修正后的結(jié)果比一維理論值更接近有限元模擬值,且變幅桿的尺寸越大其修正的效果越明顯.但當(dāng)徑長大于0.5時瑞利近似理論不再適用.其結(jié)果為超聲加工振動系統(tǒng)的設(shè)計及頻率調(diào)節(jié)提供參考依據(jù)．

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編輯、校對：師瑯

文章編號:1006-8341(2016)02-0217-05

DOI：10.13338/j.issn.1006-8341.2016.02.014

收稿日期：2015-10-28

基金項目:陜西省教育廳自然科學(xué)專項基金資助項目(2013JK0615);渭南師范學(xué)院科研育苗項目(15YKP009)

作者簡介:張寧寧(1978—),女,陜西省西安市人,渭南師范學(xué)院講師,研究方向為功率超聲及應(yīng)用. E-mail:zhangning7892@163.com

中圖分類號：TB 556

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

Rayleigh correction of the frequency of large size parabolic ultrasonic horn

ZHANGNingning

(Physical and Electrical Engineering Institute, Weinan Teachers University,Weinan 714000,Shaanxi,China)

Abstract:The resonance frequency of large size parabolic ultrasonic horn was corrected by using the Rayleigh energy method, and the expression of modified frequency parabolic horn was obtained.By numerical calculation,large size parabolic horn frequency correction results was obtained,and by finite element analysis software, a group of large size parabolic horn was simulated. The modified results and one-dimensional theoretical values were compared and analyzed,it shows that and the frequency is adjusted close to the finite element simulation results.

Key words:large size parabolic ultrasanic horn; resonant frequency; Rayleigh correction; the finite element simulation

引文格式：張寧寧.大尺寸拋物線形超聲變幅桿頻率的瑞利修正[J].紡織高?；A(chǔ)科學(xué)學(xué)報,2016,29(2)：217-221.

ZHANG Ningning.Rayleigh correction of the frequency of large size parabolic ultrasonic horn[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2016,29(2):217-221.