任意空間位置線圈的互感計(jì)算方法

謝岳，　潘偉玲

(中國(guó)計(jì)量大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，浙江 杭州 310018)

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任意空間位置線圈的互感計(jì)算方法

謝岳，潘偉玲

(中國(guó)計(jì)量大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，浙江 杭州 310018)

摘要:磁耦合諧振式無(wú)線電能傳輸技術(shù)通過(guò)空間分離線圈之間的電磁耦合實(shí)現(xiàn)電能的無(wú)線傳遞，耦合線圈尺寸的不同和相對(duì)位置的變化會(huì)引起線圈間的互感變化，繼而影響無(wú)線電能傳輸系統(tǒng)的特性。以常見(jiàn)的矩形截面空心線圈為分析對(duì)象，對(duì)任意空間位置線圈間互感的計(jì)算方法進(jìn)行研究，通過(guò)紐曼公式和細(xì)分求和法推導(dǎo)了互感的理論計(jì)算公式，為靜態(tài)和動(dòng)態(tài)無(wú)線電能傳輸系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供支持。在耦合線圈具有不同軸向距離、徑向偏距及旋轉(zhuǎn)角度等空間位置情況下，公式編程計(jì)算和實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果都具有一致性，證明了計(jì)算方法的正確性。

關(guān)鍵詞:無(wú)線電能傳輸；線圈互感；任意空間相對(duì)位置；矩形截面；細(xì)分求和；計(jì)算方法

0引言

磁耦合諧振式無(wú)線電能傳輸系統(tǒng)利用空間分離線圈之間的電磁耦合實(shí)現(xiàn)電能的傳遞，與傳統(tǒng)的接觸式電能傳輸方式相比，這種非接觸方式在空間位置應(yīng)用上具有更為靈活方便的特點(diǎn)。線圈間互感的大小和變化直接影響無(wú)線電能傳輸系統(tǒng)的傳輸功率及傳輸效率等特性[1-4]，研究任意空間位置線圈間的互感隨線圈相對(duì)位置變動(dòng)而變化的規(guī)律，對(duì)發(fā)射端初級(jí)線圈及接收端次級(jí)線圈的設(shè)計(jì)以及動(dòng)態(tài)和靜態(tài)無(wú)線電能傳輸有效范圍的確定等具有重要的意義。線圈間的互感可以采用手冊(cè)查表方式或有限元法等純數(shù)值算法來(lái)計(jì)算，但這些方法首先需要確定模型參數(shù)，因此難以分析空間位置變化時(shí)互感的變化規(guī)律，并且會(huì)耗費(fèi)大量的人力及計(jì)算機(jī)資源[5]。目前國(guó)內(nèi)外關(guān)于不同條件下空心線圈間互感的解析公式主要是在磁矢勢(shì)基礎(chǔ)上推導(dǎo)得到或者直接利用紐曼公式進(jìn)行分析，文獻(xiàn)[6-8]分析了同軸條件下單匝圓環(huán)線圈之間、薄盤(pán)形線圈之間、薄壁螺線管之間以及這3種線圈之間互感的計(jì)算公式，文獻(xiàn)[9-11]討論了平行非同軸線圈之間互感的計(jì)算公式,文獻(xiàn)[12-13]給出了軸線相交情況下單匝圓環(huán)線圈、薄盤(pán)形線圈、薄壁螺線管之間互感的計(jì)算方法，文獻(xiàn)[14]推導(dǎo)了任意空間位置情況下單匝圓環(huán)線圈互感的計(jì)算公式。然而，以上這些研究對(duì)于任意空間位置具有一定截面的線圈之間的互感計(jì)算方法缺乏討論。文獻(xiàn)[15]給出了一種任意空間位置線圈互感的計(jì)算方法，該方法采用等效圓環(huán)回路法進(jìn)行近似處理，即用兩個(gè)分離的同軸圓環(huán)線圈模擬單個(gè)矩形截面線圈，但這種方法在兩個(gè)任意空間位置線圈距離較近時(shí)會(huì)產(chǎn)生較大誤差，并且當(dāng)兩個(gè)線圈相對(duì)位置發(fā)生變化時(shí)，互感計(jì)算所采用的坐標(biāo)系需要重新確定，所以不利于編程計(jì)算，也不利于直接表達(dá)互感與空間位置的變化規(guī)律。

本文采用矩形截面圓環(huán)空心線圈為分析對(duì)象，對(duì)任意空間位置線圈互感的計(jì)算方法進(jìn)行研究。通過(guò)紐曼公式可以推出任意空間位置的單匝圓環(huán)間互感的計(jì)算公式[14]，在此基礎(chǔ)上采用細(xì)分求和法得到了任意空間位置矩形截面線圈互感的計(jì)算公式，同時(shí)搭建了基于ARM Cortex-M3內(nèi)核的STM32F103主控制器及半橋逆變電路的任意空間位置線圈互感實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，實(shí)驗(yàn)和公式編程計(jì)算結(jié)果的一致性證明了計(jì)算方法的正確性。

1線圈互感空間計(jì)算模型

圖1所示為矩形截面圓環(huán)空心線圈互感的空間計(jì)算模型，該模型由初級(jí)線圈和次級(jí)線圈組成。初次級(jí)線圈的線圈匝數(shù)、外徑、內(nèi)徑和軸向厚度分別為Nx、rxo、rxi和hx，其中x=p表示初級(jí)線圈，x=s表示次級(jí)線圈。初級(jí)線圈的幾何中心及中心軸分別與坐標(biāo)系Oxyz的原點(diǎn)O及z軸重合，次級(jí)線圈的幾何中心及中心軸分別與坐標(biāo)系O′x′y′z′的原點(diǎn)O′及z′軸重合，坐標(biāo)系O′x′y′z′的原點(diǎn)O′及z′軸的單位向量在坐標(biāo)系Oxyz中分別表示為(Xs,Ys,Zs)及z′=ax+by+cz。分析矩形截面圓環(huán)空心線圈模型具有一般代表性，當(dāng)rxo-rxi相對(duì)hx可忽略時(shí)，可等效為薄壁螺線管[8]；當(dāng)hx相對(duì)rxo-rxi可忽略時(shí),可等效為薄盤(pán)形線圈[7-8]；當(dāng)線圈的軸向和徑向尺寸相對(duì)半徑都可忽略時(shí)，可等效為圓環(huán)線圈[8]。

圖1　矩形截面圓環(huán)空心線圈互感空間模型Fig.1　　　　Spatial mutual inductance model of rectangular　　　cross section air-core circular coils

2線圈互感計(jì)算公式

當(dāng)電流通過(guò)具有一定截面的線圈時(shí)，電流是分布在整個(gè)截面上的。當(dāng)電流頻率較高時(shí)，會(huì)產(chǎn)生趨膚效應(yīng)，這在很大程度上加大了互感計(jì)算的難度。因此為方便計(jì)算，有必要假定電流均勻地分布在線圈的截面上，并且采用細(xì)分求和法，即將電流細(xì)分為許多大小相等且集中流過(guò)面積可忽略的細(xì)分截面的電流元素的方法，該方法可以很好地減小或消除電流分布帶來(lái)的互感計(jì)算誤差影響[5]。

(1)

Pmn的等效線圈匝數(shù)為

(2)

(3)

Sm′n′的等效線圈匝數(shù)為

(4)

Mmnm′n′=

(5)

當(dāng)l=0，即次級(jí)線圈中心軸單位向量z′與y軸平行時(shí)積分函數(shù)出現(xiàn)奇點(diǎn)，經(jīng)處理后的互感計(jì)算公式為

(6)

通過(guò)計(jì)算初級(jí)線圈元素與次級(jí)線圈元素間互感的總和便可求出兩個(gè)線圈間的互感，即

Mps(Np,rpo,rpi,hp,Ns,rso,rsi,hs;

(7)

因此，線圈間的互感Mps取決于線圈的匝數(shù)和幾何尺寸Np、rpo、rpi、hp、Ns、rso、rsi和hs，以及線圈間任意空間位置的6個(gè)自由度參數(shù)Xs、Ys、Zs、a、b和c。

3實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證上述互感計(jì)算公式的正確性，搭建了如圖2所示的任意空間位置線圈互感測(cè)量實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，該系統(tǒng)主要包括初級(jí)線圈Np、次級(jí)線圈Ns、基于ARM Cortex-M3內(nèi)核的STM32F103主控制器、由MOSFET功率開(kāi)關(guān)管IRF840(VT1和VT2)及穩(wěn)壓電容(C1和C2)構(gòu)成的半橋逆變電路、IR2110驅(qū)動(dòng)電路、諧振電容C、高精密采樣電阻R0以及同步數(shù)據(jù)采集與信號(hào)處理系統(tǒng)組成。系統(tǒng)中初級(jí)線圈由半橋逆變電路供電，主控制器通過(guò)IR2110驅(qū)動(dòng)電路控制半橋逆變電路輸出電壓方波，諧振電容與初級(jí)線圈自感L匹配，使得初級(jí)線圈電路諧振并得到正弦波電流。同步數(shù)據(jù)采集與信號(hào)處理系統(tǒng)通過(guò)測(cè)量初級(jí)線圈電流ip(t)和次級(jí)線圈開(kāi)路電壓us(t)計(jì)算線圈間的互感，此時(shí)該系統(tǒng)處在無(wú)線電能傳輸?shù)目蛰d狀態(tài)。

搭建任意空間位置線圈互感測(cè)量實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖3所示，其中初級(jí)及次級(jí)矩形截面圓環(huán)空心線圈均采用150×φ0.1利茲線繞制而成。初級(jí)及次級(jí)線圈的匝數(shù)和幾何尺寸分別為Np=25匝、rpo=178 mm、rpi=159 mm、hp=10 mm、Ns=25匝、rso=141 mm、rsi=160 mm和hs=10mm。初級(jí)線圈自感L=206 μH，采樣電阻R0=0.5±0.02% Ω，半橋逆變電路的輸出電壓頻率為50kHz。實(shí)驗(yàn)中首先固定初級(jí)線圈，然后分別改變初級(jí)線圈與次級(jí)線圈同軸時(shí)的軸向距離Zs、Zs保持固定時(shí)改變徑向偏移Xs以及Zs和Xs均固定時(shí)改變次級(jí)線圈平面相對(duì)初級(jí)線圈平面的旋轉(zhuǎn)角度θ(a,b,c)，然后進(jìn)行互感值的測(cè)量，同時(shí)利用Matlab軟件對(duì)上述不同空間位置下的互感計(jì)算公式進(jìn)行編程計(jì)算，并對(duì)實(shí)驗(yàn)及計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較分析。編程計(jì)算時(shí)分別將初級(jí)和次級(jí)線圈的軸向和徑向距離分為5等分。

圖2　線圈互感測(cè)量實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)原理圖Fig.2　　　　Schematic diagram of coils′ mutual inductance　　　measurement experiment system

圖3　任意空間位置線圈互感測(cè)量實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.3　　　　Measurement experiment platform of mutual　　　inductance between arbitrarily positioned coils

圖4　線圈互感實(shí)驗(yàn)與計(jì)算結(jié)果圖Fig.4　　　　Drawings of coils′ mutual inductance experimental　　　and calculating results

本實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的誤差主要包括理論計(jì)算誤差和實(shí)驗(yàn)誤差兩個(gè)方面。Matlab軟件采用雙精確度數(shù)值計(jì)算，可減少計(jì)算過(guò)程中產(chǎn)生的誤差；采用細(xì)分求和法時(shí)，細(xì)分份數(shù)不足將不能很好地代表電流在線圈截面上的實(shí)際分布，因此會(huì)產(chǎn)生理論計(jì)算誤差，但是細(xì)分過(guò)度會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量的增加，因此需要折衷。實(shí)驗(yàn)中初級(jí)線圈電流ip(t)和次級(jí)線圈開(kāi)路電壓us(t)的采樣信號(hào)均采用屏蔽線傳輸，信號(hào)處理電路進(jìn)行了校準(zhǔn)。但是，線圈間任意空間位置的6個(gè)自由度參數(shù)Xs、Ys、Zs、a、b和c的實(shí)際測(cè)量誤差會(huì)給公式計(jì)算帶來(lái)較大的誤差。考慮了這些誤差因素后，從以上的實(shí)驗(yàn)、計(jì)算結(jié)果及誤差分析來(lái)看，所給出的互感計(jì)算公式能很好地計(jì)算任意空間位置線圈的互感值。

4結(jié)論

本文首先建立了任意空間位置下矩形截面空心圓環(huán)線圈的互感計(jì)算模型，然后分別將初級(jí)和次級(jí)線圈等分為多個(gè)具有不同空間位置的線圈元素，在利用紐曼公式推導(dǎo)出的初次級(jí)線圈元素間互感的計(jì)算公式基礎(chǔ)上，采用細(xì)分求和法得到具有矩形截面空心圓環(huán)線圈任意空間位置的互感計(jì)算公式，并且搭建了任意空間位置線圈互感測(cè)量實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，在多個(gè)不同線圈空間位置條件下對(duì)線圈互感值進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)量和編程計(jì)算，互感實(shí)驗(yàn)值和編程計(jì)算值的一致性表明了任意空間位置互感計(jì)算公式的正確性，這對(duì)于無(wú)線電能傳輸系統(tǒng)發(fā)射端初級(jí)線圈及接收端次級(jí)線圈等的設(shè)計(jì)具有重要的參考價(jià)值。

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(編輯：賈志超)

Mutual inductance calculation method of arbitrary space positioned coils

XIE Yue，PAN Wei-ling

(Department of Electrical and Mechanical Engineering,China Jiliang University,Hangzhou 310018,China)

Abstract:The magnetic coupling resonant wireless power transfer technology realizes the power transfer wirelessly by means of electromagnetic coupling between space-separated coils. The different sizes and relative position change of coupling coils may cause the mutual inductance magnitude variation,which can thereby influence the performance of wireless power transfer system. Taking the common rectangular cross section air-core coils as the analysis object,the calculation method of mutual inductance between arbitrary space positioned coils was researched and the relevant theoretical formula was derived based on Neumann equation and method of subdivision and superposition. The calculation formula can give the support to the design of both static and dynamic wireless power transfer systems. The correctness of the proposed calculation method was proved by the consistency of the experimental results and the formula programming calculation results under the condition of different space positions such as different axial distances,radial distances and rotation angles between the coupling coils.

Keywords:wireless power transfer; mutual inductance of coils; arbitrary relative space position; rectangular cross section; method of subdivision and superposition; calculation method

收稿日期:2015-03-25

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(51275499)

作者簡(jiǎn)介：謝岳(1964—)，男，博士，教授，研究方向?yàn)殡娏﹄娮蛹夹g(shù)、檢測(cè)技術(shù)與自動(dòng)化裝置; 潘偉玲(1991—)，女，碩士，研究方向?yàn)闄z測(cè)技術(shù)與自動(dòng)化裝置。

通訊作者:謝岳

DOI:10.15938/j.emc.2016.06.008

中圖分類號(hào):TM 153,TM 551

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):1007-449X(2016)06-0063-05