對非合作目標逼近的非奇異終端滑?？刂?/h1>
2016-07-16 03:01:02劉海龍史小平
電機與控制學報 2016年6期
劉海龍， 史小平
(哈爾濱工業(yè)大學 控制與仿真中心，黑龍江 哈爾濱 150001)
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對非合作目標逼近的非奇異終端滑?？刂?/p>
劉海龍，史小平
(哈爾濱工業(yè)大學 控制與仿真中心，黑龍江 哈爾濱 150001)
摘要:針對失控慢速翻滾非合作目標終端逼近過程的六自由度控制問題進行研究。首先，建立適用于任意偏心率的相對軌道和姿態(tài)動力學模型。其次，將系統(tǒng)的外部擾動、模型不確定性及系統(tǒng)非線性項統(tǒng)一表示為“總擾動項”，并基于擴張狀態(tài)觀測器的相關(guān)理論，設(shè)計用以獲得“總擾動項”估計值的擴張狀態(tài)觀測器。在此基礎(chǔ)上，利用非奇異終端滑?？刂评碚?，設(shè)計僅需相對位置和姿態(tài)測量信息的非奇異終端滑模輸出反饋控制器?；贚yapunov理論證明了系統(tǒng)穩(wěn)定性。所設(shè)計控制器具有模型獨立的特點，克服了航天器動力學參數(shù)的不確定性，并且可在有限時間內(nèi)跟蹤期望軌跡。最后，通過數(shù)值仿真驗證了控制器的正確性和有效性。
關(guān)鍵詞:非合作目標；相對運動；輸出反饋；非奇異終端滑模；擴張狀態(tài)觀測器
0引言
隨著空間技術(shù)及應用的不斷發(fā)展，對非合作目標的在軌服務技術(shù)引起了學界的廣泛關(guān)注。空間非合作目標泛指一類不能提供有效合作信息的空間物體，包括故障或失效衛(wèi)星、空間碎片以及對方航天器等。國內(nèi)外對此投入大量經(jīng)費進行研究，例如日本在1997年成功發(fā)射的無人自主交會對接試驗衛(wèi)星(ETS-VII項目)，美國于2007年進行的“軌道快車(orbital express, OE)”試驗[1-2]，以及由DLR與軌道恢復(orbital recovery, OR)公司合作，用以研制壽命10～15年的在軌服務衛(wèi)星軌道壽命延長飛行器(orbital life extension vehicle, OLEV)[3-4]。
航天器近距離運動的六自由度控制是控制領(lǐng)域的重要問題，由于在近距離操作中，姿態(tài)和軌道的相互耦合作用，使得空間操作的安全性受到威脅，從而加大了控制的難度。Xu在文獻[5]中建立了六自由度位置姿態(tài)耦合動力學模型，針對自由旋轉(zhuǎn)目標設(shè)計了全局穩(wěn)定的滑?？刂破?，并將遺傳算法應用到對控制器參數(shù)的選取中。Kristiansen[6]針對“l(fā)eader-follower”飛行器的協(xié)同控制問題，分別應用積分反步法、PD+以及滑?？刂品椒ㄟM行控制器的設(shè)計，并通過仿真對三種控制器的控制效果進行了比較。Shan[7]在考慮周期攝動和參數(shù)不確定性的情況下，通過設(shè)計滑?？刂破鳎沟蔑w行器能夠以同步飛行模式對期望姿態(tài)和位置進行跟蹤，并通過仿真驗證了所設(shè)計控制器的有效性。Chung[8]等通過拉格朗日形式的動力學模型對飛行器的姿軌同步控制問題進行了研究，設(shè)計了全局指數(shù)穩(wěn)定的分散跟蹤控制律。Lv[9]等在考慮輸入約束與參數(shù)不確定性的情況下，針對飛行器的編隊飛行問題設(shè)計了反步控制器，利用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Welsh[10]對非合作目標的同步逼近問題進行了研究，設(shè)計了PID制導律以及自適應姿態(tài)控制律，通過仿真驗證了控制器的有效性。Matsumoto[11]針對旋轉(zhuǎn)目標的終端交會過程，提出了飛越逼近和瞬間捕獲的策略，并通過仿真驗證了這一方法。李九人[12]等通過設(shè)計參考軌跡及參考姿態(tài)，并利用滑?？刂品椒▽崿F(xiàn)了對無控旋轉(zhuǎn)目標的逼近。
馮勇等人在文獻[13]中提出了一種新型滑?？刂品椒ā瞧娈惤K端滑模控制，該方法在繼承終端滑?？刂朴邢迺r間收斂特性的同時，解決了現(xiàn)有終端滑模存在的奇異性問題。擴張狀態(tài)觀測器作為自抗擾控制的核心技術(shù)，除能對系統(tǒng)的狀態(tài)進行估計之外，還能對系統(tǒng)的非線性項及外界干擾進行有效估計[14-15]，在航天器的控制研究中得到廣泛應用。袁國平[16]基于擴張狀態(tài)觀測器，提出了一種僅需要姿態(tài)角測量值的自適應輸出反饋控制策略，仿真結(jié)果表明，在多種任務模式下，航天器均可很好地完成姿態(tài)機動任務。
本文首先建立了用以描述近距離相對運動且適用于任意偏心率的相對軌道和姿態(tài)動力學模型。其次為了獲取系統(tǒng)的非線性耦合項及外界干擾信息，設(shè)計了擴張狀態(tài)觀測器。在此基礎(chǔ)上，基于非奇異終端滑?？刂评碚撛O(shè)計了輸出反饋控制器。
1模型建立
1.1相對軌道動力學
將對旋轉(zhuǎn)非合作目標逼近所涉及到的兩個衛(wèi)星分別定義為目標星和追蹤星，且假設(shè)目標星自由運行于開普勒軌道，追蹤星具有軌道和姿態(tài)機動能力。首先對目標星軌道坐標系進行定義，如圖1所示，目標星軌道坐標系Oxyz，原點O位于目標星質(zhì)心，x軸沿軌道切線方向，z軸沿地球矢徑方向且指向地心，y軸與x軸和z軸構(gòu)成右手坐標系。 下文將通過二體運動方程推導出相對軌道動力學方程。
圖1 坐標系定義Fig.1 The definition of coordinate system
由二體運動方程可知[17]
(1)
式中：rc和rt分別為追蹤星和目標星質(zhì)心的地心矢量；μ為地球引力常數(shù)；fdc、fdt分別為追蹤星與目標星上的攝動力；Fc為作用在追蹤星上的控制力；mc、mt分別為追蹤星和目標星的質(zhì)量。
(2)
(3)
(4)
其中，n為目標器平均角速度，e為軌道偏心率。根據(jù)式(2)可得如下形式的非線性相對軌道動力學方程
(5)
其中
1.2相對姿態(tài)動力學方程
將分別建立追蹤星和目標星的姿態(tài)動力學方程，進而推導出兩衛(wèi)星之間的相對姿態(tài)動力學方程。假設(shè)兩衛(wèi)星均為剛體，則追蹤星和目標星的姿態(tài)動力學方程可分別表示為
(6)
(7)
其中，Ic和It為兩衛(wèi)星的轉(zhuǎn)動慣量；ωc和ωt為兩衛(wèi)星本體坐標系相對于慣性坐標系且表示在本體坐標系下的姿態(tài)角速度；Tc為追蹤星姿態(tài)控制力矩；Tgc，Tgt為重力梯度力矩；Tdc，Tdt為干擾力矩。
注1對Euclidean空間中任意n維向量x∈Rn，其范數(shù)均指2范數(shù)。
式(6)、式(7)中的重力梯度力矩可由下式給出：
(8)
(9)
(10)
Act=Aci(Ati)T=A(qc)A(qt)。
(11)
設(shè)qr為追蹤星相對于目標星的誤差四元數(shù)，則有
(12)
(13)
對式(13)求導，可以得到
(14)
設(shè)ωr為追蹤星相對于目標星的姿態(tài)角速度在追蹤星本體坐標系下的表示，則有
ωr=ωc-Actωt。
(15)
對式(15)求導有
(16)
式中
(17)
將式(16)代入式(14)中可得
(18)
由此便可得到非線性相對姿態(tài)動力學方程：
(19)
1.3六自由度耦合動力學模型
(20)
式中
2擴張狀態(tài)觀測器設(shè)計
在實際航天器任務中，由于研制過程中經(jīng)濟性和使用性的限制，有時將選擇不安裝姿態(tài)角速度敏感器，或者由于敏感器故障使得姿態(tài)角速度信息無法輸出，上述兩種情況都將無法實際獲得系統(tǒng)的全部狀態(tài)，從而使狀態(tài)反饋的物理實現(xiàn)難以進行。另外，考慮到存在外部干擾和轉(zhuǎn)動慣量不確定性，以及系統(tǒng)中存在著未建模動態(tài)，故在系統(tǒng)(20)中，f這樣的非線性耦合項往往很難精確獲得。為此，本文在只有相對位置和姿態(tài)測量信息的條件下，通過ESO估計出系統(tǒng)的其他狀態(tài)和未知的非線性耦合項。
(21)
對式(21)求導，可得誤差矢量的一次導數(shù)為
(22)
則系統(tǒng)的誤差狀態(tài)方程為
(23)
(24)
將誤差狀態(tài)方程(24)寫成分量形式為
(25)
式中，i=1,2,…,7。
(26)
按式(26)對這個被擴張的系統(tǒng)建立擴張狀態(tài)觀測器
(27)
式中，fal(e0i,αi,δi)為在原點附近有線性段的非線性函數(shù)
(28)
3非奇異終端滑?？刂破髟O(shè)計
非奇異終端滑模(nonsingularterminalslidingmode,NTSM)控制方法是近年來出現(xiàn)的一種新型滑?？刂品椒╗13],它通過有目的地改變切換函數(shù)，直接從滑模設(shè)計方面解決了現(xiàn)有終端滑模控制存在的奇異性問題，實現(xiàn)了系統(tǒng)的全局非奇異控制；同時它又繼承了終端滑模的有限時間收斂特性，與傳統(tǒng)的線性滑?？刂葡啾?，可令控制系統(tǒng)有限時間內(nèi)收斂到期望軌跡，且具有較高的穩(wěn)態(tài)精度，特別適用于高速、高精度控制。本文將基于NTSM控制方法，結(jié)合ESO對“總擾動項”的估計結(jié)果，對系統(tǒng)(20)進行控制器設(shè)計，控制目標為在有限時間內(nèi)實現(xiàn)對期望相對位置和相對姿態(tài)的精確跟蹤。
針對姿軌耦合動力學系統(tǒng)(20)，首先給出下述合理假設(shè)
假設(shè)1：兩航天器的三軸相對位置、相對姿態(tài)角信息可測量、光滑且有界。
假設(shè)2：系統(tǒng)所受的外界干擾有界，即
式中，dm為已知函數(shù)，表示外部擾動上界。
假設(shè)3：主動航天器的未知質(zhì)量特性滿足
mmin≤m≤mmax,
Jijmin≤Jij≤Jijmax,i,j=1,2,3。
其中，mmin和mmax分別為航天器質(zhì)量m的最小值和最大值；Jijmin和Jijmax分別為對應的轉(zhuǎn)動慣量矩陣元素Jij的最小值和最大值。
目前，常用的滑?？刂坡稍O(shè)計方法是滑模等效控制方法，控制律通常包含等效控制項和切換控制項兩部分[17]。
(29)
式中，F(xiàn)為已知函數(shù)，用以表示“總擾動項”的估計誤差上界。
首先設(shè)計切換函數(shù)如下式所示
(30)
定理1對于跟蹤誤差系統(tǒng)(24)，選取非奇異終端滑模面(30)，如果采取如下控制策略，則跟蹤誤差系統(tǒng)將在有限時間內(nèi)收斂到零。
(31)
(32)
(33)
η=diag(η1,…,η7)，ηi>0，i=1,2,…,7
B-為B的廣義逆矩陣，根據(jù)廣義逆矩陣的基本理論可知B-的計算表達式為
B-=(BTB)-1BT。
(34)
(35)
故可以得到等效控制如式(32)所示。由式(32)可以看到，由于1
0，與終端滑模的等效控制項相比，可以從理論上保證非奇異終端滑?？刂破鞑粫嬖诳刂破娈悈^(qū)域。本文選取非線性控制項如式(33)所示。
(36)
因此，在控制律(31)作用下，含有系統(tǒng)不確定性的跟蹤誤差系統(tǒng)(24)將在有限時間內(nèi)收斂到零，即追蹤星將在有限時間內(nèi)到達期望的相對位置與相對姿態(tài)，且對系統(tǒng)不確定性具有強魯棒性。
由文獻[13]可知，若滑動模態(tài)s在tr時刻到達滑模面s=0，則e1和e2將在有限時間內(nèi)收斂至零，收斂時間為
(37)
證畢。
4仿真分析
設(shè)目標星的軌道六要素為a=6 900 000m，e=0.001，i=100°，Ω=70°，w=30°，f=125°考慮地球非球星攝動和大氣阻力的影響，對非合作目標的終端逼近過程進行了高精度數(shù)值仿真。假設(shè)在距離目標星約10 m處追蹤星開始進行對目標星地終端逼近，在距離目標星軌道面法線方向2 m處進行懸停，故可設(shè)初始相對位置和相對速度矢量為
設(shè)期望的相對位置和相對速度矢量為：
追蹤星的質(zhì)量為45 kg,目標星質(zhì)量為6 kg，由于逼近過程較短，本文在仿真過程中暫不考慮質(zhì)量變化及轉(zhuǎn)動慣量的不確定性，將其視為常值，并設(shè)轉(zhuǎn)動慣量的值為
初始時刻追蹤星和目標星的姿態(tài)四元數(shù)分別為
追蹤星和目標星的初始姿態(tài)角速度分別為
βi=0.05，i=(1,2,…,7)，
p=5，q=3。
假設(shè)未建模的相對攝動力和攝動力矩表達式為
如圖2和圖3所示分別為目標星軌道坐標系下的相對位置曲線和相對速度曲線，在非奇異終端滑?？刂破髯饔孟拢粉櫺茄貐⒖架壽E約在50s內(nèi)完成終端逼近過程，到達指定的懸停位置。
圖2 相對位置曲線Fig.2 Relative position versus time
圖3 目標星軌道坐標系下相對速度曲線Fig.3 Relative velocity versus time
如圖4所示為追蹤星姿態(tài)與目標星姿態(tài)之間的誤差四元數(shù)曲線，根據(jù)仿真計算結(jié)果，追蹤星在15 s內(nèi)完成了對目標星初始相對姿態(tài)的捕獲，而在接下來的逼近過程中對目標星姿態(tài)進行跟蹤。圖5和圖6為追蹤星在終端逼近過程中的控制力與控制力矩變化情況。由于初始階段追蹤星要盡快追蹤參考軌跡，所以控制力在初期較大，但隨著相對距離的減小，控制力呈減小趨勢。由控制力矩的變化過程可知，由于初期追蹤星要盡快進行姿態(tài)捕獲以實現(xiàn)對目標器的姿態(tài)跟蹤，所以控制力矩較大。后續(xù)只需要較小的力矩便可實現(xiàn)對期望姿態(tài)的追蹤。
圖4 誤差四元數(shù)曲線Fig.4 Error quaternion versus time
圖5 控制力變化曲線Fig.5 Control force versus time
圖6 控制力矩變化曲線Fig.6 Control torque versus time
如圖7所示為相對位置、相對速度及相對姿態(tài)跟蹤誤差估計情況，由此可以看出擴張狀態(tài)觀測器可以對相對位置、相對速度及相對姿態(tài)與控制指令之間的偏差可以進行很好的估計，此跟蹤誤差在20 s內(nèi)趨于零，這也反映了在控制器的作用下，相對位置、相對速度及相對姿態(tài)精確地跟蹤了參考指令。
圖7 相對位置、相對速度及相對姿態(tài)跟蹤誤差估計Fig.7 Estimation of relative position,relative velocity, relative attitude tracking error
5結(jié)論
1)建立了適用于任意偏心率的六自由度軌道姿態(tài)耦合動力學模型，對非合作目標終端逼近過程進行了描述；
2)設(shè)計了擴張狀態(tài)觀測器，從而對系統(tǒng)的“總擾動項”(包括系統(tǒng)狀態(tài)、非線性耦合項以及外界干擾)進行了估計，實現(xiàn)了在僅具有相對距離和相對姿態(tài)角測量值情況下的系統(tǒng)狀態(tài)估計，以及為后續(xù)設(shè)計非奇異終端滑模輸出反饋控制器打下基礎(chǔ)；
3)設(shè)計了基于擴張狀態(tài)觀測器的非奇異終端滑模輸出反饋控制器，從而實現(xiàn)了在僅有相對距離和相對姿態(tài)角情況下的姿軌一體化控制。利用Lyapunov直接法證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。仿真結(jié)果驗證了所設(shè)計控制器的有效性。
參 考 文 獻:
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(編輯：劉素菊)
Nonsingular terminal sliding mode control for approach to non-cooperative target
LIU Hai-long，SHI Xiao-ping
(Control and Simulation Center, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)
Abstract:The problem of final approach to a non-cooperative tumbling target was researched. The relative orbit and attitude dynamics model with arbitrary eccentrics was established. Then, the system’s external disturbance, model uncertainty and the system nonlinear term were expressed as total disturbance. Based on the theory of extended state observer (ESO), ESO was designed to estimate the total disturbance. Furthermore, by applying the nonsingular terminal sliding mode control method, the nonsingular terminal sliding mode control law was designed, which just needs the relative position and attitude measurement information. The stability of the control law was demonstrated via a Lyapunov analysis. The designed controller is model independent, which overcomes the problem of unknown dynamics parameters and can track the desired trajectory in finite time. The numerical simulation shows the effectiveness of the controller.
Keywords:non-cooperative target; relative motion; output feedback; nonsingular terminal sliding mode; extended state observer
收稿日期:2015-09-12
基金項目：國家自然科學基金(61203191)；航空科學基金(20140177006)
作者簡介：劉海龍(1987—)，男，博士研究生，研究方向為飛行器控制、非線性控制等； 史小平(1965—)，男，博士，教授，研究方向為系統(tǒng)仿真、飛行器控制等。
通訊作者:劉海龍
DOI:10.15938/j.emc.2016.06.014
中圖分類號:V 448.2
文獻標志碼:A
文章編號:1007-449X(2016)06-0109-08
劉海龍， 史小平
(哈爾濱工業(yè)大學 控制與仿真中心，黑龍江 哈爾濱 150001)
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對非合作目標逼近的非奇異終端滑?？刂?/p>
劉海龍，史小平
(哈爾濱工業(yè)大學 控制與仿真中心，黑龍江 哈爾濱 150001)
摘要:針對失控慢速翻滾非合作目標終端逼近過程的六自由度控制問題進行研究。首先，建立適用于任意偏心率的相對軌道和姿態(tài)動力學模型。其次，將系統(tǒng)的外部擾動、模型不確定性及系統(tǒng)非線性項統(tǒng)一表示為“總擾動項”，并基于擴張狀態(tài)觀測器的相關(guān)理論，設(shè)計用以獲得“總擾動項”估計值的擴張狀態(tài)觀測器。在此基礎(chǔ)上，利用非奇異終端滑?？刂评碚?，設(shè)計僅需相對位置和姿態(tài)測量信息的非奇異終端滑模輸出反饋控制器?；贚yapunov理論證明了系統(tǒng)穩(wěn)定性。所設(shè)計控制器具有模型獨立的特點，克服了航天器動力學參數(shù)的不確定性，并且可在有限時間內(nèi)跟蹤期望軌跡。最后，通過數(shù)值仿真驗證了控制器的正確性和有效性。
關(guān)鍵詞:非合作目標；相對運動；輸出反饋；非奇異終端滑模；擴張狀態(tài)觀測器
0引言
隨著空間技術(shù)及應用的不斷發(fā)展，對非合作目標的在軌服務技術(shù)引起了學界的廣泛關(guān)注。空間非合作目標泛指一類不能提供有效合作信息的空間物體，包括故障或失效衛(wèi)星、空間碎片以及對方航天器等。國內(nèi)外對此投入大量經(jīng)費進行研究，例如日本在1997年成功發(fā)射的無人自主交會對接試驗衛(wèi)星(ETS-VII項目)，美國于2007年進行的“軌道快車(orbital express, OE)”試驗[1-2]，以及由DLR與軌道恢復(orbital recovery, OR)公司合作，用以研制壽命10～15年的在軌服務衛(wèi)星軌道壽命延長飛行器(orbital life extension vehicle, OLEV)[3-4]。
航天器近距離運動的六自由度控制是控制領(lǐng)域的重要問題，由于在近距離操作中，姿態(tài)和軌道的相互耦合作用，使得空間操作的安全性受到威脅，從而加大了控制的難度。Xu在文獻[5]中建立了六自由度位置姿態(tài)耦合動力學模型，針對自由旋轉(zhuǎn)目標設(shè)計了全局穩(wěn)定的滑?？刂破?，并將遺傳算法應用到對控制器參數(shù)的選取中。Kristiansen[6]針對“l(fā)eader-follower”飛行器的協(xié)同控制問題，分別應用積分反步法、PD+以及滑?？刂品椒ㄟM行控制器的設(shè)計，并通過仿真對三種控制器的控制效果進行了比較。Shan[7]在考慮周期攝動和參數(shù)不確定性的情況下，通過設(shè)計滑?？刂破鳎沟蔑w行器能夠以同步飛行模式對期望姿態(tài)和位置進行跟蹤，并通過仿真驗證了所設(shè)計控制器的有效性。Chung[8]等通過拉格朗日形式的動力學模型對飛行器的姿軌同步控制問題進行了研究，設(shè)計了全局指數(shù)穩(wěn)定的分散跟蹤控制律。Lv[9]等在考慮輸入約束與參數(shù)不確定性的情況下，針對飛行器的編隊飛行問題設(shè)計了反步控制器，利用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Welsh[10]對非合作目標的同步逼近問題進行了研究，設(shè)計了PID制導律以及自適應姿態(tài)控制律，通過仿真驗證了控制器的有效性。Matsumoto[11]針對旋轉(zhuǎn)目標的終端交會過程，提出了飛越逼近和瞬間捕獲的策略，并通過仿真驗證了這一方法。李九人[12]等通過設(shè)計參考軌跡及參考姿態(tài)，并利用滑?？刂品椒▽崿F(xiàn)了對無控旋轉(zhuǎn)目標的逼近。
馮勇等人在文獻[13]中提出了一種新型滑?？刂品椒ā瞧娈惤K端滑模控制，該方法在繼承終端滑?？刂朴邢迺r間收斂特性的同時，解決了現(xiàn)有終端滑模存在的奇異性問題。擴張狀態(tài)觀測器作為自抗擾控制的核心技術(shù)，除能對系統(tǒng)的狀態(tài)進行估計之外，還能對系統(tǒng)的非線性項及外界干擾進行有效估計[14-15]，在航天器的控制研究中得到廣泛應用。袁國平[16]基于擴張狀態(tài)觀測器，提出了一種僅需要姿態(tài)角測量值的自適應輸出反饋控制策略，仿真結(jié)果表明，在多種任務模式下，航天器均可很好地完成姿態(tài)機動任務。
本文首先建立了用以描述近距離相對運動且適用于任意偏心率的相對軌道和姿態(tài)動力學模型。其次為了獲取系統(tǒng)的非線性耦合項及外界干擾信息，設(shè)計了擴張狀態(tài)觀測器。在此基礎(chǔ)上，基于非奇異終端滑?？刂评碚撛O(shè)計了輸出反饋控制器。
1模型建立
1.1相對軌道動力學
將對旋轉(zhuǎn)非合作目標逼近所涉及到的兩個衛(wèi)星分別定義為目標星和追蹤星，且假設(shè)目標星自由運行于開普勒軌道，追蹤星具有軌道和姿態(tài)機動能力。首先對目標星軌道坐標系進行定義，如圖1所示，目標星軌道坐標系Oxyz，原點O位于目標星質(zhì)心，x軸沿軌道切線方向，z軸沿地球矢徑方向且指向地心，y軸與x軸和z軸構(gòu)成右手坐標系。 下文將通過二體運動方程推導出相對軌道動力學方程。
圖1 坐標系定義Fig.1 The definition of coordinate system
由二體運動方程可知[17]
(1)
式中：rc和rt分別為追蹤星和目標星質(zhì)心的地心矢量；μ為地球引力常數(shù)；fdc、fdt分別為追蹤星與目標星上的攝動力；Fc為作用在追蹤星上的控制力；mc、mt分別為追蹤星和目標星的質(zhì)量。
(2)
(3)
(4)
其中，n為目標器平均角速度，e為軌道偏心率。根據(jù)式(2)可得如下形式的非線性相對軌道動力學方程
(5)
其中
1.2相對姿態(tài)動力學方程
將分別建立追蹤星和目標星的姿態(tài)動力學方程，進而推導出兩衛(wèi)星之間的相對姿態(tài)動力學方程。假設(shè)兩衛(wèi)星均為剛體，則追蹤星和目標星的姿態(tài)動力學方程可分別表示為
(6)
(7)
其中，Ic和It為兩衛(wèi)星的轉(zhuǎn)動慣量；ωc和ωt為兩衛(wèi)星本體坐標系相對于慣性坐標系且表示在本體坐標系下的姿態(tài)角速度；Tc為追蹤星姿態(tài)控制力矩；Tgc，Tgt為重力梯度力矩；Tdc，Tdt為干擾力矩。
注1對Euclidean空間中任意n維向量x∈Rn，其范數(shù)均指2范數(shù)。
式(6)、式(7)中的重力梯度力矩可由下式給出：
(8)
(9)
(10)
Act=Aci(Ati)T=A(qc)A(qt)。
(11)
設(shè)qr為追蹤星相對于目標星的誤差四元數(shù)，則有
(12)
(13)
對式(13)求導，可以得到
(14)
設(shè)ωr為追蹤星相對于目標星的姿態(tài)角速度在追蹤星本體坐標系下的表示，則有
ωr=ωc-Actωt。
(15)
對式(15)求導有
(16)
式中
(17)
將式(16)代入式(14)中可得
(18)
由此便可得到非線性相對姿態(tài)動力學方程：
(19)
1.3六自由度耦合動力學模型
(20)
式中
2擴張狀態(tài)觀測器設(shè)計
在實際航天器任務中，由于研制過程中經(jīng)濟性和使用性的限制，有時將選擇不安裝姿態(tài)角速度敏感器，或者由于敏感器故障使得姿態(tài)角速度信息無法輸出，上述兩種情況都將無法實際獲得系統(tǒng)的全部狀態(tài)，從而使狀態(tài)反饋的物理實現(xiàn)難以進行。另外，考慮到存在外部干擾和轉(zhuǎn)動慣量不確定性，以及系統(tǒng)中存在著未建模動態(tài)，故在系統(tǒng)(20)中，f這樣的非線性耦合項往往很難精確獲得。為此，本文在只有相對位置和姿態(tài)測量信息的條件下，通過ESO估計出系統(tǒng)的其他狀態(tài)和未知的非線性耦合項。
(21)
對式(21)求導，可得誤差矢量的一次導數(shù)為
(22)
則系統(tǒng)的誤差狀態(tài)方程為
(23)
(24)
將誤差狀態(tài)方程(24)寫成分量形式為
(25)
式中，i=1,2,…,7。
(26)
按式(26)對這個被擴張的系統(tǒng)建立擴張狀態(tài)觀測器
(27)
式中，fal(e0i,αi,δi)為在原點附近有線性段的非線性函數(shù)
(28)
3非奇異終端滑?？刂破髟O(shè)計
非奇異終端滑模(nonsingularterminalslidingmode,NTSM)控制方法是近年來出現(xiàn)的一種新型滑?？刂品椒╗13],它通過有目的地改變切換函數(shù)，直接從滑模設(shè)計方面解決了現(xiàn)有終端滑模控制存在的奇異性問題，實現(xiàn)了系統(tǒng)的全局非奇異控制；同時它又繼承了終端滑模的有限時間收斂特性，與傳統(tǒng)的線性滑?？刂葡啾?，可令控制系統(tǒng)有限時間內(nèi)收斂到期望軌跡，且具有較高的穩(wěn)態(tài)精度，特別適用于高速、高精度控制。本文將基于NTSM控制方法，結(jié)合ESO對“總擾動項”的估計結(jié)果，對系統(tǒng)(20)進行控制器設(shè)計，控制目標為在有限時間內(nèi)實現(xiàn)對期望相對位置和相對姿態(tài)的精確跟蹤。
針對姿軌耦合動力學系統(tǒng)(20)，首先給出下述合理假設(shè)
假設(shè)1：兩航天器的三軸相對位置、相對姿態(tài)角信息可測量、光滑且有界。
假設(shè)2：系統(tǒng)所受的外界干擾有界，即
式中，dm為已知函數(shù)，表示外部擾動上界。
假設(shè)3：主動航天器的未知質(zhì)量特性滿足
mmin≤m≤mmax,
Jijmin≤Jij≤Jijmax,i,j=1,2,3。
其中，mmin和mmax分別為航天器質(zhì)量m的最小值和最大值；Jijmin和Jijmax分別為對應的轉(zhuǎn)動慣量矩陣元素Jij的最小值和最大值。
目前，常用的滑?？刂坡稍O(shè)計方法是滑模等效控制方法，控制律通常包含等效控制項和切換控制項兩部分[17]。
(29)
式中，F(xiàn)為已知函數(shù)，用以表示“總擾動項”的估計誤差上界。
首先設(shè)計切換函數(shù)如下式所示
(30)
定理1對于跟蹤誤差系統(tǒng)(24)，選取非奇異終端滑模面(30)，如果采取如下控制策略，則跟蹤誤差系統(tǒng)將在有限時間內(nèi)收斂到零。
(31)
(32)
(33)
η=diag(η1,…,η7)，ηi>0，i=1,2,…,7
B-為B的廣義逆矩陣，根據(jù)廣義逆矩陣的基本理論可知B-的計算表達式為
B-=(BTB)-1BT。
(34)
(35)
故可以得到等效控制如式(32)所示。由式(32)可以看到，由于1
0，與終端滑模的等效控制項相比，可以從理論上保證非奇異終端滑?？刂破鞑粫嬖诳刂破娈悈^(qū)域。本文選取非線性控制項如式(33)所示。
(36)
因此，在控制律(31)作用下，含有系統(tǒng)不確定性的跟蹤誤差系統(tǒng)(24)將在有限時間內(nèi)收斂到零，即追蹤星將在有限時間內(nèi)到達期望的相對位置與相對姿態(tài)，且對系統(tǒng)不確定性具有強魯棒性。
由文獻[13]可知，若滑動模態(tài)s在tr時刻到達滑模面s=0，則e1和e2將在有限時間內(nèi)收斂至零，收斂時間為
(37)
證畢。
4仿真分析
設(shè)目標星的軌道六要素為a=6 900 000m，e=0.001，i=100°，Ω=70°，w=30°，f=125°考慮地球非球星攝動和大氣阻力的影響，對非合作目標的終端逼近過程進行了高精度數(shù)值仿真。假設(shè)在距離目標星約10 m處追蹤星開始進行對目標星地終端逼近，在距離目標星軌道面法線方向2 m處進行懸停，故可設(shè)初始相對位置和相對速度矢量為
設(shè)期望的相對位置和相對速度矢量為：
追蹤星的質(zhì)量為45 kg,目標星質(zhì)量為6 kg，由于逼近過程較短，本文在仿真過程中暫不考慮質(zhì)量變化及轉(zhuǎn)動慣量的不確定性，將其視為常值，并設(shè)轉(zhuǎn)動慣量的值為
初始時刻追蹤星和目標星的姿態(tài)四元數(shù)分別為
追蹤星和目標星的初始姿態(tài)角速度分別為
βi=0.05，i=(1,2,…,7)，
p=5，q=3。
假設(shè)未建模的相對攝動力和攝動力矩表達式為
如圖2和圖3所示分別為目標星軌道坐標系下的相對位置曲線和相對速度曲線，在非奇異終端滑?？刂破髯饔孟拢粉櫺茄貐⒖架壽E約在50s內(nèi)完成終端逼近過程，到達指定的懸停位置。
圖2 相對位置曲線Fig.2 Relative position versus time
圖3 目標星軌道坐標系下相對速度曲線Fig.3 Relative velocity versus time
如圖4所示為追蹤星姿態(tài)與目標星姿態(tài)之間的誤差四元數(shù)曲線，根據(jù)仿真計算結(jié)果，追蹤星在15 s內(nèi)完成了對目標星初始相對姿態(tài)的捕獲，而在接下來的逼近過程中對目標星姿態(tài)進行跟蹤。圖5和圖6為追蹤星在終端逼近過程中的控制力與控制力矩變化情況。由于初始階段追蹤星要盡快追蹤參考軌跡，所以控制力在初期較大，但隨著相對距離的減小，控制力呈減小趨勢。由控制力矩的變化過程可知，由于初期追蹤星要盡快進行姿態(tài)捕獲以實現(xiàn)對目標器的姿態(tài)跟蹤，所以控制力矩較大。后續(xù)只需要較小的力矩便可實現(xiàn)對期望姿態(tài)的追蹤。
圖4 誤差四元數(shù)曲線Fig.4 Error quaternion versus time
圖5 控制力變化曲線Fig.5 Control force versus time
圖6 控制力矩變化曲線Fig.6 Control torque versus time
如圖7所示為相對位置、相對速度及相對姿態(tài)跟蹤誤差估計情況，由此可以看出擴張狀態(tài)觀測器可以對相對位置、相對速度及相對姿態(tài)與控制指令之間的偏差可以進行很好的估計，此跟蹤誤差在20 s內(nèi)趨于零，這也反映了在控制器的作用下，相對位置、相對速度及相對姿態(tài)精確地跟蹤了參考指令。
圖7 相對位置、相對速度及相對姿態(tài)跟蹤誤差估計Fig.7 Estimation of relative position,relative velocity, relative attitude tracking error
5結(jié)論
1)建立了適用于任意偏心率的六自由度軌道姿態(tài)耦合動力學模型，對非合作目標終端逼近過程進行了描述；
2)設(shè)計了擴張狀態(tài)觀測器，從而對系統(tǒng)的“總擾動項”(包括系統(tǒng)狀態(tài)、非線性耦合項以及外界干擾)進行了估計，實現(xiàn)了在僅具有相對距離和相對姿態(tài)角測量值情況下的系統(tǒng)狀態(tài)估計，以及為后續(xù)設(shè)計非奇異終端滑模輸出反饋控制器打下基礎(chǔ)；
3)設(shè)計了基于擴張狀態(tài)觀測器的非奇異終端滑模輸出反饋控制器，從而實現(xiàn)了在僅有相對距離和相對姿態(tài)角情況下的姿軌一體化控制。利用Lyapunov直接法證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。仿真結(jié)果驗證了所設(shè)計控制器的有效性。
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(編輯：劉素菊)
Nonsingular terminal sliding mode control for approach to non-cooperative target
LIU Hai-long，SHI Xiao-ping
(Control and Simulation Center, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)
Abstract:The problem of final approach to a non-cooperative tumbling target was researched. The relative orbit and attitude dynamics model with arbitrary eccentrics was established. Then, the system’s external disturbance, model uncertainty and the system nonlinear term were expressed as total disturbance. Based on the theory of extended state observer (ESO), ESO was designed to estimate the total disturbance. Furthermore, by applying the nonsingular terminal sliding mode control method, the nonsingular terminal sliding mode control law was designed, which just needs the relative position and attitude measurement information. The stability of the control law was demonstrated via a Lyapunov analysis. The designed controller is model independent, which overcomes the problem of unknown dynamics parameters and can track the desired trajectory in finite time. The numerical simulation shows the effectiveness of the controller.
Keywords:non-cooperative target; relative motion; output feedback; nonsingular terminal sliding mode; extended state observer
收稿日期:2015-09-12
基金項目：國家自然科學基金(61203191)；航空科學基金(20140177006)
作者簡介：劉海龍(1987—)，男，博士研究生，研究方向為飛行器控制、非線性控制等； 史小平(1965—)，男，博士，教授，研究方向為系統(tǒng)仿真、飛行器控制等。
通訊作者:劉海龍
DOI:10.15938/j.emc.2016.06.014
中圖分類號:V 448.2
文獻標志碼:A
文章編號:1007-449X(2016)06-0109-08
