構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，提高高中學(xué)生解決實(shí)際問題的能力

謝寧

[摘 要] 在素質(zhì)教育背景下，要求數(shù)學(xué)教學(xué)與實(shí)際生活相結(jié)合，以培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力.而構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，能很有效地提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，這正好滿足了素質(zhì)教育的要求，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)學(xué)數(shù)學(xué)的意義的同時(shí)也提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 本文將深入探討如何構(gòu)建數(shù)學(xué)模型來解決一些數(shù)學(xué)實(shí)際問題.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)模型；構(gòu)建；解決實(shí)際問題

數(shù)學(xué)知識(shí)來源于生活，并最終應(yīng)用于生活. 在現(xiàn)實(shí)的生活中經(jīng)常會(huì)遇到一些需要數(shù)學(xué)知識(shí)來解決的問題. 但由于這些問題不能直接套用某種數(shù)學(xué)公式、某種定理或者某種解法，而需要將現(xiàn)實(shí)生活的實(shí)際情況進(jìn)行簡化、概括，并將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，進(jìn)而抽象表達(dá)成一個(gè)數(shù)學(xué)問題的過程，這就是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程. 利用構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的方法來解決實(shí)際問題，可以培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)的意識(shí)，使其創(chuàng)新精神在數(shù)學(xué)活動(dòng)中得到體現(xiàn)和落實(shí)，對(duì)于以后應(yīng)用于實(shí)踐奠定了基礎(chǔ).

數(shù)學(xué)模型及構(gòu)建程序

所謂數(shù)學(xué)模型，就是利用數(shù)學(xué)語言模擬現(xiàn)實(shí)的模型. 即把實(shí)際問題中的主要特征、主要關(guān)系抽象出來，用數(shù)學(xué)語言概括或近似地表述出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu). 這種解決問題的方法非常適用于某種特定的研究過程.對(duì)于高中數(shù)學(xué)來講，它也是一門從現(xiàn)實(shí)生活中提取問題，通過解決問題來概括和總結(jié)出相關(guān)的數(shù)學(xué)公式、定理的學(xué)科，而這些前人得出的結(jié)論就是已構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型. 因此，將構(gòu)建數(shù)學(xué)模型教學(xué)應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，實(shí)質(zhì)上是樹立學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的思維意識(shí)，讓學(xué)生掌握構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的方法，然后利用所學(xué)知識(shí)解決從實(shí)際生活中抽象出來的數(shù)學(xué)問題.

數(shù)學(xué)模型在構(gòu)建時(shí)，大致需要遵循四個(gè)步驟：一是觀察與分析實(shí)際生活中的問題；二是將其轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，并抽象出數(shù)學(xué)問題，即構(gòu)建數(shù)學(xué)模型；三是求得此數(shù)學(xué)模型的解；四是把模型的解返回到現(xiàn)實(shí)問題中去，檢驗(yàn)數(shù)學(xué)模型的符合程度或獲得現(xiàn)實(shí)問題的解.

構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，提高學(xué)生的轉(zhuǎn)換能力

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用數(shù)學(xué)模型策略，實(shí)質(zhì)上是一種思維方式的轉(zhuǎn)換，它是將抽象的實(shí)際問題轉(zhuǎn)換成邏輯思維，構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用模型這一杠桿幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的過程.

例：2014年北京時(shí)間7月14日，巴西世界杯決賽場上，德國隊(duì)和阿根廷隊(duì)為搶奪冠軍展開了激烈的角逐. 如果你是某隊(duì)的一位左邊鋒，那么你推進(jìn)到距底線多遠(yuǎn)處射門，才可以使得射門角最大？（標(biāo)準(zhǔn)足球場長105米，寬68米，球門長7.32米）

足球是大多數(shù)學(xué)生尤其是男生非常感興趣的一項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，他們中有一大批球迷，不但關(guān)心足球的輸贏，而且對(duì)足球球技、戰(zhàn)術(shù)也很有研究. 學(xué)生們雖然對(duì)此題很感興趣，但是，僅僅看著這些文字會(huì)覺得束手無策，無從下手. 那么，解決這個(gè)問題的關(guān)鍵在哪里？關(guān)鍵就是一種思維的轉(zhuǎn)換，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題. 但從何處入手呢？這時(shí)教師就需要引導(dǎo)學(xué)生分析，如：這是代數(shù)問題還是幾何問題？如何確定球員與球門的位量關(guān)系？首先得按題意畫出圖形（如圖1），于是很容易就構(gòu)建出下面的模型并確定了問題的解法.

構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力

由于構(gòu)建模型需要從實(shí)際案例中提取數(shù)學(xué)問題，因此，它兼具抽象性與實(shí)質(zhì)性，要求學(xué)生具備抽象思維能力、邏輯思維能力與創(chuàng)新能力. 這樣有助于規(guī)避傳統(tǒng)“填鴨式”教學(xué)模式的弊端，能夠有效促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新能力的提高.

例：日本東京晴空塔，又名為東京天空樹，是全世界最高的自立式電波塔，高634米. 若把它的信號(hào)傳播到550千米外的大阪，行嗎？（地球半徑6371米）若用一座電波塔直接從東京傳輸?shù)酱筅妫毥ǜ叨葹槎嗌倜椎碾姴ㄋ?/p>

這樣一個(gè)既有常識(shí)性又帶科學(xué)性的問題，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)直覺思維和創(chuàng)新能力的好材料.如何通過建模來回答呢？

首先要將電波塔及電波信號(hào)的傳輸，擴(kuò)大想象到整個(gè)地球空間，展開空間想象，抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型. （如圖3所示）

這大約是3座珠穆朗瑪峰的高度，建造如此高的電波塔顯然是不現(xiàn)實(shí)的. 同時(shí)告訴學(xué)生，解決這類長距離信號(hào)傳輸問題，往往不去盲目地一味增高電波塔的高度，而是通過多個(gè)中繼站“接力”的方式或用通信衛(wèi)星的手段.

此數(shù)學(xué)模型很好地解決了一個(gè)實(shí)際問題，讓學(xué)生增加了數(shù)學(xué)直覺思維和用數(shù)學(xué)的意識(shí)，提高了學(xué)生用數(shù)學(xué)去解決實(shí)際問題的能力，觸類旁通，對(duì)知識(shí)的理解和應(yīng)用更加深刻.

從理論上來講，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程實(shí)質(zhì)上是一個(gè)創(chuàng)造的過程. 教師與學(xué)生一起分析已知的條件，從中提煉有效信息，而后抽象與創(chuàng)造出具體的數(shù)學(xué)問題，最后解決問題.這樣的創(chuàng)造過程體現(xiàn)了素質(zhì)教育對(duì)高中數(shù)學(xué)的要求，將高中數(shù)學(xué)與實(shí)際生活相結(jié)合，培養(yǎng)了學(xué)生從實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)問題進(jìn)而解決問題的能力.

引申：（2009·寧夏）為了測量兩山頂M，N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A，B兩點(diǎn)進(jìn)行測量，A，B，M，N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)（如示意圖），飛機(jī)能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離，請?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：①指出需要測量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標(biāo)出）；②用文字和公式寫出計(jì)算M，N間的距離的步驟. （本題考查的是解三角形的實(shí)際應(yīng)用及構(gòu)造函數(shù)模型解決實(shí)際問題的能力.）

構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的意識(shí)，激發(fā)主動(dòng)探索實(shí)際問題的欲望

一天放學(xué)時(shí)，突然傾盆大雨，同學(xué)們紛紛跑回家，唯獨(dú)某同學(xué)仍不慌不忙地漫步雨中. 大家都笑他怎么這么傻，他笑著答：“你們才傻呢，前面不也下著雨嗎？跑什么？反正我到家的路永遠(yuǎn)都是那么長，無論我跑多快，這段路程又不會(huì)減少？”那么，在下雨天，到底是快快跑淋雨多呢還是慢慢走淋雨多呢？

這個(gè)實(shí)際問題的提出肯定會(huì)引起很多學(xué)生的興趣.學(xué)生們也肯定一起笑話那個(gè)漫步雨中的同學(xué)是傻子，因?yàn)榭偟牧苡炅坎粫?huì)與行走的路程成正比，因?yàn)橛瓴皇庆o止在空中的，它是一個(gè)動(dòng)態(tài)的連續(xù)的過程，你哪怕一步不走，路程為零，你還是會(huì)被淋成落湯雞.那是不是總的淋雨量與淋雨時(shí)間成正比呢？然而生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，當(dāng)我們下雨天坐在車?yán)锏臅r(shí)候，車速越快，打落在車窗上的雨滴會(huì)越來越大，越密，感覺淋雨量也越大，所以我們還不能夠簡單地認(rèn)為跑得越快，總的淋雨量就越少.那到底下雨時(shí)候我們怎么走才能使淋雨量最少呢？

為了方便研究這個(gè)實(shí)際問題，我們將該人視作長方體，那么只需要考慮上底面和側(cè)面的受雨情況；其次，不妨設(shè)人以勻速直線運(yùn)動(dòng)的方式行走，雨速和降雨的角度也是不變的. 我們可將代表人體型的長方體，雨豎直向下的分速度、人運(yùn)動(dòng)的路程，這些與人體運(yùn)動(dòng)速度無關(guān)的量都看作是常量；將人運(yùn)動(dòng)的速度和總的淋雨量看成是變量；而將降雨水平方向的分速度看成影響總淋雨量的參量. 適當(dāng)對(duì)常量和參量賦值后，構(gòu)造出如下數(shù)學(xué)問題：

如圖5，長方形物體E在雨中沿面P（面積為S）的垂直方向做勻速移動(dòng)，速度為v（v>0），雨速沿E移動(dòng)方向的分速度為c（c∈R）. E移動(dòng)時(shí)單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量包括兩部分：（1）P或P的平行面（只有一個(gè)面淋雨）的淋雨量，假設(shè)其值與v-c×S成正比，比例系數(shù)為；（2）其他面的淋雨量之和，其值為則應(yīng)該保持與雨的水平分速度相同的速度行走，此時(shí)，并不是跑得越快，總淋雨量就越小.

可見，數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種新的創(chuàng)新的方式，它為學(xué)生們提供了自主學(xué)習(xí)的空間，有助于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的價(jià)值和作用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)與日常生活的聯(lián)系，體驗(yàn)運(yùn)用知識(shí)和方法解決實(shí)際問題的過程，增強(qiáng)了應(yīng)用意識(shí)，有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和探究數(shù)學(xué)問題的欲望，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力.