數(shù)學(xué)建模三部曲
——以《植樹問題》教學(xué)為例

●李浩　程勁松

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數(shù)學(xué)建模三部曲
——以《植樹問題》教學(xué)為例

●李浩程勁松

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：要讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，倡導(dǎo)以“問題情景→建立模型→解釋、應(yīng)用與拓展”作為小學(xué)數(shù)學(xué)課程的一種基本敘述模式，明確要求教師在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題。那么，如何建構(gòu)數(shù)學(xué)模型呢？筆者以《植樹問題》教學(xué)為例，談幾點(diǎn)思考：

一、創(chuàng)設(shè)情境，感知數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模教學(xué)過程的重點(diǎn)是創(chuàng)設(shè)一種生動(dòng)活潑、輕松愉快的學(xué)習(xí)氣氛，通過引入與現(xiàn)實(shí)生活密切相關(guān)的實(shí)例來(lái)激發(fā)學(xué)生建模的興趣。因此，教師上課時(shí)，要多結(jié)合生活實(shí)際，把學(xué)生所熟悉的生活實(shí)例作為教學(xué)的問題情境，讓學(xué)生在形成一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型的過程中，感受數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程，并能用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的解釋與應(yīng)用。

師：每位同學(xué)都有一雙靈巧的小手，它不僅會(huì)寫字、畫畫、干活，而且在它里面還藏著有趣的數(shù)學(xué)知識(shí)，你想了解它嗎？請(qǐng)舉起你的右手，并將五指張開，數(shù)一數(shù)，張開后有幾個(gè)空格？

生1：4個(gè)。

師：在數(shù)學(xué)上，我們把這個(gè)空格叫“間隔”。（課件顯示）我們把五指張開，有4個(gè)空格，也就是4個(gè)間隔。每?jī)蓚€(gè)手指之間就有一個(gè)間隔。生活中，你見過這樣的間隔嗎？

生2：在馬路邊種樹，每?jī)煽脴渲g有一段距離，也是間隔。

生3：樓梯的臺(tái)階也有間隔。

師：看來(lái)生活中許多地方都有這樣的間隔?，F(xiàn)在我們學(xué)校為了進(jìn)一步美化校園環(huán)境，準(zhǔn)備從同學(xué)們當(dāng)中招聘幾名校園環(huán)境設(shè)計(jì)師，要求設(shè)計(jì)植樹方案一份，擇優(yōu)錄取。想成為我們校園的環(huán)境設(shè)計(jì)師嗎？我們一起來(lái)看看設(shè)計(jì)的具體要求吧！

教師從學(xué)生真實(shí)的生活中挖掘素材，讓學(xué)生了解間隔的含義，讓學(xué)生設(shè)計(jì)植樹方案，這樣創(chuàng)設(shè)情境，不僅拓展了學(xué)生思維的空間，給課堂注入了生機(jī)與活力，而且讓學(xué)生體會(huì)到只要處處留心，用數(shù)學(xué)的眼光去觀察生活，就能發(fā)現(xiàn)在生活中蘊(yùn)涵的許多數(shù)學(xué)規(guī)律。

二、自主探究，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

從心理學(xué)角度分析，知識(shí)的獲得是一種主動(dòng)的認(rèn)知活動(dòng)，學(xué)習(xí)者不應(yīng)是信息的被動(dòng)接受者，而應(yīng)該是知識(shí)獲取過程中的主動(dòng)參與者。因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)盡量多為學(xué)生提供探究的時(shí)間和空間，讓學(xué)生在動(dòng)手操作、親身體驗(yàn)、交流思考、解決問題中培養(yǎng)建模興趣、建模意識(shí)和初步的建模方法。

讀準(zhǔn)題意，找出相關(guān)數(shù)學(xué)信息。課件出示例1：在長(zhǎng)100米的小路上，每隔5米栽一棵樹，一共要栽多少棵（兩端都栽）？學(xué)生讀題后指出：“每隔5米栽一棵”就是指每?jī)煽弥g的距離都是5米，每?jī)煽脴渲g的距離也叫做間隔長(zhǎng)度，也可以說(shuō)成“兩棵樹之間的間隔是5米”。“兩端都栽”說(shuō)明不是一頭栽，一頭不栽。

動(dòng)手操作，發(fā)現(xiàn)存在問題。學(xué)生想到了用畫線段圖的這一直觀的方式來(lái)呈現(xiàn)，在線段起點(diǎn)處畫上一個(gè)樹的象征物，每隔五米再畫一棵，這樣畫下去，他們發(fā)現(xiàn)太麻煩、太浪費(fèi)時(shí)間了。

小段分解，找出植樹規(guī)律。一棵一棵種到100米確實(shí)太麻煩了。是不是可以先選取100米中的一小段來(lái)研究？如，先用20米來(lái)研究，用一條線段表示20米，每隔5米栽一棵，也就是說(shuō)樹有間隔是5米。20米共有4個(gè)這樣的間隔，兩端都栽，可以栽5棵樹（如下圖）。

5米　5米　5米　5米

如果這條路長(zhǎng)30米，35米……又應(yīng)栽幾棵樹呢？學(xué)生拿出學(xué)習(xí)紙，畫線段圖并填寫表格。

路長(zhǎng)（米）30 35 40 45……間隔長(zhǎng)5米5米5米5米……間隔數(shù)6 7 8 9……棵數(shù)7 8 9 1 0……

觀察表格，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：在一條線段上栽樹（兩端要栽），棵數(shù)=間隔數(shù)+1；間隔數(shù)=棵數(shù)－1。再利用這一規(guī)律，解決例1中的問題，間隔數(shù)是100÷5=20，兩端都栽，棵數(shù)=間隔數(shù)+1=20+1=21（棵）。

以上教學(xué)讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、探究、反思等活動(dòng)過程，并從中學(xué)習(xí)到一些解決問題的方法和策略。在解決問題時(shí)，我們可以先給出一個(gè)猜測(cè)，再驗(yàn)證這個(gè)猜測(cè)對(duì)不對(duì)，可以用比較簡(jiǎn)單的例子來(lái)檢驗(yàn)，并且可以從操作方便的“一小段”中發(fā)現(xiàn)棵數(shù)與間隔數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，建立植樹問題的數(shù)學(xué)模型，然后運(yùn)用模型解決實(shí)際問題。這樣，讓學(xué)生在親身經(jīng)歷中逐步體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生、形成與發(fā)展的過程，獲得積極的情感體驗(yàn)，感受數(shù)學(xué)的力量。

三、解決問題，應(yīng)用數(shù)學(xué)模型

建立數(shù)學(xué)模型的目的是更好的描述自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象，讓學(xué)生能體會(huì)到數(shù)學(xué)模型的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。其實(shí)植樹問題并不只是與植樹有關(guān)，生活中還有許多現(xiàn)象和植樹問題相似：人民大會(huì)堂上的柱子；做操時(shí)每隊(duì)的人數(shù)；公路上的路燈、彩旗等等，它們中都藏著總數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系問題，統(tǒng)稱為“植樹問題”。

教師引導(dǎo)學(xué)生開展進(jìn)一步拓展訓(xùn)練。請(qǐng)看基本練習(xí)：為了迎接國(guó)慶節(jié)，學(xué)校計(jì)劃在200米長(zhǎng)的小路一邊插上彩旗，每隔4米插一面，（兩端都要插）一共需要幾面彩旗？學(xué)生可直接套用規(guī)律。拓展練習(xí)：5路公共汽車從起點(diǎn)開出，行駛路線全長(zhǎng)12千米，正好有13個(gè)車站。相鄰兩站的距離是多少千米？需要利用原規(guī)律進(jìn)行一定推算。拔高延伸：跨欄起點(diǎn)至第一欄的距離為13.72米，中間共有10個(gè)欄，欄間距離為9.14米，最后一欄至終點(diǎn)的距離是14.02米，你們知道從起點(diǎn)跑到終點(diǎn)是多少米嗎？這是原有模型的一個(gè)變式，考查學(xué)生的言語(yǔ)理解能力和模型轉(zhuǎn)換技巧。

這一環(huán)節(jié)主要是讓學(xué)生用數(shù)學(xué)模型來(lái)解決生活中的實(shí)際問題，努力體現(xiàn)一種“人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)“的價(jià)值取向。在學(xué)生從具體生活中抽象出數(shù)學(xué)現(xiàn)象后，又再一次讓學(xué)生運(yùn)用規(guī)律解決形式各異的生活問題，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)的具體運(yùn)用，體驗(yàn)到運(yùn)用數(shù)學(xué)模型處理問題的優(yōu)越性，從而深刻地感受到數(shù)學(xué)的價(jià)值與魅力。

（作者單位：李浩，武漢市蔡甸區(qū)教學(xué)研究室；程勁松，武漢市蔡甸區(qū)瑠環(huán)小學(xué)）