淺談數(shù)形結(jié)合與新課程教學(xué)

康桂月

[摘要]數(shù)與形是小學(xué)數(shù)學(xué)中兩個(gè)最基本的概念。數(shù)形結(jié)合就是通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化、相輔相成來(lái)解決數(shù)學(xué)問題的方法。它既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，又是解決問題的有效方法。教學(xué)中，教師借助直觀形象的幾何圖形、位置關(guān)系來(lái)解釋抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和數(shù)量關(guān)系，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)以形助數(shù)或以數(shù)解形，通過(guò)具體的學(xué)具擺放闡釋抽象的數(shù)學(xué)思維，使抽象的數(shù)學(xué)問題具體化，復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡(jiǎn)單化，達(dá)到優(yōu)化解題途徑的目的。

[關(guān)鍵詞]數(shù)形結(jié)合；數(shù)學(xué)思想；數(shù)學(xué)方法；優(yōu)化解題

小學(xué)階段是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的啟蒙時(shí)期，在這一階段滲透數(shù)形結(jié)合的思想，可使數(shù)學(xué)教學(xué)達(dá)到事半功倍的效果：把抽象的數(shù)學(xué)概念直觀化，幫助學(xué)生掌握概念；使計(jì)算中的算式形象化，幫助學(xué)生理解算理，掌握算法；將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，提高解決問題能力和思維能力，形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)。在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師應(yīng)利用學(xué)具很好地落實(shí)數(shù)形結(jié)合的思想，變抽象為直觀，變被動(dòng)為主動(dòng)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

一、利用數(shù)形結(jié)合促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)化

數(shù)形結(jié)合是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有效方法。小學(xué)數(shù)學(xué)教材為學(xué)生提供的學(xué)具有很多，它們都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的工具，能幫助學(xué)生高效掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)化為自己的知識(shí)和能力。常見的學(xué)具有以下幾種：實(shí)物圖、數(shù)學(xué)符號(hào)、幾何圖形圖片，小棒，口算卡片，鐘面和七巧板，釘子板，計(jì)數(shù)器或計(jì)數(shù)表等。這些學(xué)具對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，是一種具體形象的事物，有了它們的輔助，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的理解就有了著眼點(diǎn)，在利用學(xué)具分析和解決問題的過(guò)程中，提高分析和解決問題的能力，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)盡量將學(xué)具與數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，發(fā)展學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。

例如：在教學(xué)“兩位數(shù)減一位數(shù)的退位減法”時(shí)，教師可以從學(xué)生拿小棒的不同方法中總結(jié)出最佳的方法，然后推導(dǎo)出兩位數(shù)減一位數(shù)退位減法的算法。以教學(xué)“45-8=”時(shí)，先讓學(xué)生拿出45根小棒（4捆，每捆10根，加上5根散的），讓學(xué)生試著從里面拿走8根，想一想該怎么拿？學(xué)生發(fā)現(xiàn)從散的5根中拿走8根是不可能的，學(xué)生就通過(guò)動(dòng)手操作得出了三種不同的拿法：

（1）將4捆小棒全部打開為40根，與散的5根合起來(lái)是45根，從45根中直接拿走8根，剩下37根。

（2）從4捆中拿出1捆打開為10根，從10根中直接拿走8根，剩下的2根和剩下的3捆再加上散的5根合起來(lái)是37根。

（3）從4捆中拿出1捆打開為10根，再加上散的5根是15根，從15根中拿走8根剩下7根，最后剩下的與3捆合起來(lái)是37根。

這樣，利用數(shù)形結(jié)合探究建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)，以解決問題為切入點(diǎn)，讓學(xué)生經(jīng)歷了觀察、操作的過(guò)程，從中發(fā)現(xiàn)了新知。相反，如果不利用學(xué)具，而是教師將這些知識(shí)點(diǎn)作以講述和演示，是達(dá)不到很好的效果的。因此，教師在利用數(shù)形結(jié)合講解數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，要圍繞一個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行設(shè)計(jì)，并且要看通過(guò)這個(gè)操作能否得出這節(jié)課所需要的結(jié)果。

在學(xué)習(xí)“跳傘表演”這節(jié)課時(shí)，為了使學(xué)生理解題中的數(shù)量關(guān)系，可借助圖片幫助學(xué)生理解紅傘（14個(gè)）比黃傘（6個(gè)）多幾個(gè)：紅圓片代表紅傘，黃圓片代表黃傘 。我指導(dǎo)學(xué)生在第一行擺了14個(gè)紅圓片，第二行擺了6個(gè)黃圓片。求紅傘比黃傘多幾個(gè)，就是求紅圓片比黃圓片多出的那部分。因此可將上面一行的紅圓片分為兩部分：一部分和下面黃圓片同樣多的部分，另一部分是比下面黃圓片多的部分，只要從上面14個(gè)紅圓片去掉和下面黃圓片同樣多的部分，剩下的就是比下面黃圓片多的，也就是紅傘比黃傘多的個(gè)數(shù)，從而體會(huì)到抽象的數(shù)量關(guān)系，逐步學(xué)會(huì)解決相差關(guān)系問題的方法。

在上“游戲公平”一課時(shí)，上課伊始便提出問題：朋友送給自己一張汪峰演唱會(huì)的門票，兒子是汪峰的“鐵桿粉絲”，爺倆都不想錯(cuò)過(guò)這次觀看的機(jī)會(huì)。于是兒子提議用拋一元硬幣的方法決定誰(shuí)去看演唱會(huì)：正面（即寫有漢字一面）朝上爸爸去，反面（即有圖案的一面）朝上兒子去。由此讓學(xué)生討論用拋硬幣的方法決定誰(shuí)去看演唱會(huì)可不可行，接著給學(xué)生一元硬幣讓他們拋一拋試一試。如此，學(xué)生既直觀感受到硬幣有可能正面朝上，也有可能反面朝上；學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣也大增，思辨更激烈。這就是轉(zhuǎn)變教師的教育觀念和教學(xué)方式，使教師從單純的知識(shí)傳授者變?yōu)閷W(xué)生學(xué)習(xí)的促進(jìn)者、組織者和指導(dǎo)者，也同時(shí)營(yíng)造了課堂教學(xué)的民主氛圍，培養(yǎng)了學(xué)生的好奇心和創(chuàng)造力。

二、利用數(shù)形結(jié)合有效構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型從廣義上說(shuō)，泛指一切數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理論體系、數(shù)學(xué)公式數(shù)學(xué)方程以及由此構(gòu)成的算法系統(tǒng)；狹義上說(shuō)，只有那些反映特定問題或特定事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)，才稱得上是數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型也是數(shù)形結(jié)合的形式之一，它能激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高思維的多維性和變通性，有利于提高數(shù)學(xué)教學(xué)效果。

小學(xué)數(shù)學(xué)中抽象的概念很多，這對(duì)具體形象思維較強(qiáng)、抽象思維能力較弱的小學(xué)生來(lái)說(shuō)，讓他們認(rèn)識(shí)、理解這些抽象的概念是很難的。為此，教師必須想一種策略，將數(shù)學(xué)概念具體化和形象化，而把數(shù)學(xué)具體化、形象化的最好方法是用一個(gè)能較全面體現(xiàn)數(shù)學(xué)特征的橋梁——數(shù)學(xué)模型化。我們?cè)谛W(xué)階段所接觸到的解決問題的策略，如畫圖、畫表、列舉、替換、轉(zhuǎn)化、假設(shè)、倒推等一系列策略以及教師為之創(chuàng)設(shè)的教學(xué)情境，都屬于此范疇。將數(shù)學(xué)模型與教材內(nèi)容相結(jié)合并適當(dāng)進(jìn)行整合，可以拓寬數(shù)學(xué)知識(shí)面，訓(xùn)練學(xué)生思維的靈活性，提高學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的能力。

小學(xué)生實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)太少，缺乏一些必要的數(shù)的概念形成實(shí)踐基礎(chǔ)。因此小學(xué)生在認(rèn)識(shí)數(shù)的概念時(shí)只有通過(guò)對(duì)學(xué)具的具體操作轉(zhuǎn)化才能充分地認(rèn)識(shí)理解到數(shù)的意義、數(shù)的順序和大小、十進(jìn)制計(jì)數(shù)法，以及數(shù)的一些運(yùn)算性質(zhì)、定律等。否則，對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)也就只能是些死記硬背的死知識(shí)。為此，教師要多從建模的角度解讀教材，充分挖掘數(shù)學(xué)教材中所蘊(yùn)含的建模思想，精心設(shè)計(jì)教學(xué)情境，將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，建立模型，從而解決問題。

如在教 0.2×0.3=0.06時(shí)，數(shù)形結(jié)合幫助學(xué)生理解小數(shù)乘法的含義：

結(jié)合圖形，學(xué)生懂得了0.2的十分之三是0.06也就是百分之六。

教“認(rèn)識(shí)三角形”一課時(shí)，為學(xué)生提供了各種各樣的材料——鉛絲、紙片、小棒等，讓學(xué)生自己動(dòng)手創(chuàng)作一個(gè)三角形。學(xué)生通過(guò)擺一擺、折一折、圍一圍的操作活動(dòng)，深刻體會(huì)到三角形有三條邊、三個(gè)角和三個(gè)頂點(diǎn)。還有的教師指導(dǎo)學(xué)生通過(guò)動(dòng)手拼擺幾何模型，運(yùn)用已掌握的長(zhǎng)方形面積公式推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式，進(jìn)而推導(dǎo)出三角形的面積公式。這些知識(shí)的獲得，都得益于數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建。

三、利用數(shù)形結(jié)合幫助學(xué)生解決問題

大部分的數(shù)學(xué)題中的已知信息是文字形式，導(dǎo)致部分學(xué)生在解題時(shí)出現(xiàn)困難，這時(shí)，便可借助“形”解決問題，即自畫圖理解題意、數(shù)量關(guān)系。

例如：小方參加演講，900個(gè)字稿件演講需用5分，要演講12分，大約需要準(zhǔn)備多少個(gè)字的稿件？

學(xué)生看圖就明白：若求12分鐘大約能講幾個(gè)字，必須先求出一分鐘講幾個(gè)字。

華羅庚對(duì)數(shù)與形之間的密切聯(lián)系有過(guò)一段精彩的描述：“數(shù)與形本相依，焉能分作兩邊飛，數(shù)缺形少直覺， 形少數(shù)難入微， 數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休。切莫忘，幾何代數(shù)流一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離。”數(shù)形結(jié)合符合人類認(rèn)識(shí)自然、認(rèn)識(shí)世界的客觀規(guī)律。利用它來(lái)幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)，能促進(jìn)學(xué)生形象思維和抽象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展，建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系，將抽象的數(shù)量關(guān)系具體化，把無(wú)形的解題思路形象化，使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，為今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

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（責(zé)任編輯 付淑霞）endprint