高等數(shù)學(xué)中無窮級數(shù)的學(xué)習(xí)困境及對策探析

陳乾+鐘儀華+張晴霞

[摘 要] 很多學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中無窮級數(shù)章節(jié)知識時存在以下困境：概念性質(zhì)和方法定理多，易混淆、難理解；知識脫節(jié)，思維方法不當(dāng)；學(xué)習(xí)目的不明，學(xué)習(xí)積極性不高；知識繁瑣、方法欠佳；自主學(xué)習(xí)不夠，內(nèi)化學(xué)習(xí)能力不強(qiáng)。對策包括改變教學(xué)模式，讓學(xué)生感知“學(xué)有所用、學(xué)而不難”，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性；改變教學(xué)方法，提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力；引導(dǎo)學(xué)生找規(guī)律，化繁為簡，降低學(xué)習(xí)難度 ；引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行章節(jié)總結(jié)，將知識系統(tǒng)化和條理化。主要剖析了學(xué)生學(xué)習(xí)困境產(chǎn)生的原因，然后以現(xiàn)代教育理論為指導(dǎo)，從“教”與“學(xué)”方面，提出了幫助學(xué)生擺脫學(xué)習(xí)困境的策略。

[關(guān)鍵詞]無窮級數(shù)；冪級數(shù)；學(xué)習(xí)困境；對策；應(yīng)用

[中圖分類號] O13 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 2095-3437（2016）06-0137-04

高等數(shù)學(xué)是高等院校非數(shù)學(xué)專業(yè)必修的一門重要基礎(chǔ)課，而無窮級數(shù)是高等數(shù)學(xué)的一個重要組成部分，它是表示函數(shù)、研究函數(shù)的性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計算的有力工具。[1-2]無窮級數(shù)的理論豐富，應(yīng)用廣泛。它是高等數(shù)學(xué)的最后一章，也是大一學(xué)生第二學(xué)期臨近期末時的學(xué)習(xí)內(nèi)容。雖然無窮級數(shù)沒有太大的計算量，沒有太多嚴(yán)密的證明推導(dǎo)，但有很大一部分學(xué)生在學(xué)習(xí)這章時遇到了諸多困難。本文嘗試從教師的角度出發(fā)，總結(jié)學(xué)生在本章學(xué)習(xí)時遇到的疑惑和困難，探索解決這些問題的方法，以期破除學(xué)生不知為什么要學(xué)、怎樣學(xué)及怎樣用的學(xué)習(xí)困境，從而幫助學(xué)生提高無窮級數(shù)的學(xué)習(xí)質(zhì)量。

一、無窮級數(shù)的學(xué)習(xí)困境

在多年的教學(xué)實踐中，我們收集和歸納了學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中所遇到的各種問題，常見的問題有以下幾種。

（一）概念性質(zhì)和方法定理多，易混淆、難理解

無窮級數(shù)這章包括常數(shù)項級數(shù)、冪級數(shù)和傅里葉級數(shù)三部分內(nèi)容，其中，數(shù)項級數(shù)是本章的基礎(chǔ)，冪級數(shù)是重點，傅里葉級數(shù)是難點。每部分都涉及大量的概念、性質(zhì)、方法和定理。這些知識使學(xué)生理不清頭緒，茫然不知所措。比如，常數(shù)項級數(shù)的斂散性判斷是本章的一個重點和關(guān)鍵點，其中涉及很多類型級數(shù)斂散性的判定方法和定理。然而，學(xué)生往往將它們混淆，不能正確理解方法和定理，不能恰當(dāng)?shù)厥褂门卸ǚ椒ê投ɡ砼卸墧?shù)的斂散性，典型的錯誤有如下兩類。

1. 用正項級數(shù)審斂法判斷任意項級數(shù)的斂散性

（二） 知識脫節(jié)，思維方法不當(dāng)

從多元函數(shù)微積分的學(xué)習(xí)跳躍到無窮級數(shù)，學(xué)生容易出現(xiàn)知識脫節(jié)現(xiàn)象。多元函數(shù)的微積分是高等數(shù)學(xué)的重點，也是難點。部分學(xué)生學(xué)習(xí)無窮級數(shù)時，思維還停留在前面知識里；有的學(xué)生還處于微積分知識的復(fù)習(xí)總結(jié)過程中；甚至有的學(xué)生還在查漏補缺階段等。然而，新的一章開始了，學(xué)生已遺忘本章所需的預(yù)備知識——數(shù)列極限、泰勒公式、定積分的計算等，而且內(nèi)容從連續(xù)變到離散、從有限變到無限。這些都讓相當(dāng)一部分學(xué)生難以適應(yīng)，從而導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)本章知識時出現(xiàn)困難。

（三）學(xué)習(xí)目的不明，學(xué)習(xí)積極性不高

也許是大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的教學(xué)模式不恰當(dāng)，使學(xué)生沒有明確為什么要學(xué)， 相反的，卻常使學(xué)生對所學(xué)的內(nèi)容感到枯燥乏味，感覺數(shù)學(xué)就是一系列的公式推導(dǎo)和邏輯推理，就像是在玩數(shù)字游戲，甚至有部分學(xué)生發(fā)出了這樣的疑惑：把數(shù)學(xué)問題用抽象的符號表達(dá)出來并進(jìn)行相應(yīng)的符號運算的確美，可是這種“美”究竟有沒有實際意義？無窮級數(shù)這一章在這方面體現(xiàn)得尤其明顯。學(xué)生在學(xué)習(xí)中沒有看到級數(shù)的價值所在，“學(xué)習(xí)級數(shù)到底有什么用”的疑問時常出現(xiàn)。再加上內(nèi)容繁瑣，更增加了學(xué)習(xí)的難度，直接導(dǎo)致學(xué)生對無窮級數(shù)部分知識的學(xué)習(xí)目的不明確，學(xué)習(xí)積極性不高。

（四） 知識繁瑣，方法欠佳

無窮級數(shù)包含常數(shù)項級數(shù)和函數(shù)項級數(shù)兩大部分。前部分是后部分的基礎(chǔ)，后部分是前部分的推廣。常數(shù)項級數(shù)又包括其概念和性質(zhì)，正項級數(shù)的審斂法、交錯級數(shù)和任意項級數(shù)的審斂法，它們的關(guān)系是從一般——特殊——一般；函數(shù)項級數(shù)包括冪級數(shù)及其性質(zhì)、函數(shù)展成冪級數(shù)、傅里葉級數(shù)及其性質(zhì)、函數(shù)展成傅里葉級數(shù)，它們的研究方法雷同，但它們的研究對象、性質(zhì)和函數(shù)展成函數(shù)項級數(shù)的條件和方法都有許多不同。很多學(xué)生在學(xué)習(xí)時，沒有好的學(xué)習(xí)方法，不能理清它們之間的關(guān)系，在頭腦中未形成清楚的知識結(jié)構(gòu)關(guān)系，結(jié)果發(fā)出了“無窮級數(shù)是高等數(shù)學(xué)里最難的一章”的感慨，并陷入了以下學(xué)習(xí)困境：對常數(shù)項級數(shù)的斂散性判斷，常常無從下手；對冪級數(shù)和函數(shù)，摸頭不知尾；對泰勒級數(shù)的冗長公式、函數(shù)的麥克勞林級數(shù)展開式，往往無所適從；對傅里葉級數(shù)更是“望而生畏”。

（五）自主學(xué)習(xí)不夠，內(nèi)化學(xué)習(xí)能力不強(qiáng)

根據(jù)我們的調(diào)查情況顯示，學(xué)生在很大程度上存在著學(xué)習(xí)盲目、盲從現(xiàn)象，缺乏具體的學(xué)習(xí)目標(biāo)和學(xué)習(xí)規(guī)劃。一方面，進(jìn)入大學(xué)后，部分學(xué)生還沒有實現(xiàn)從中學(xué)到大學(xué)的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變，還沒有掌握適合大學(xué)的、適合自己的學(xué)習(xí)方法和策略，特別是難以實現(xiàn)學(xué)習(xí)過程中的自我監(jiān)控、自我調(diào)節(jié)和自我評價，從而導(dǎo)致自主學(xué)習(xí)存在困難。大部分學(xué)生仍處于被動學(xué)習(xí)狀態(tài)，對自主學(xué)習(xí)缺乏明確的認(rèn)識，往往只是為了應(yīng)付考試，或習(xí)慣于跟著教師走。另一方面，臨近期末，學(xué)生既要學(xué)習(xí)新課，又要著手進(jìn)行復(fù)習(xí)，學(xué)習(xí)內(nèi)容比較多，思想上有些懈怠，總體上缺乏對內(nèi)化學(xué)習(xí)的積極思考和創(chuàng)新，從而使無窮級數(shù)的學(xué)習(xí)陷入困境。當(dāng)然，就目前高等教育的情況而言，大學(xué)生在一定程度上缺乏自主學(xué)習(xí)的大環(huán)境，學(xué)校缺乏對學(xué)生有效的自主學(xué)習(xí)的指導(dǎo)和幫助，在專業(yè)教學(xué)過程中缺乏自主學(xué)習(xí)教育的滲透，缺乏培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的導(dǎo)思、導(dǎo)疑、導(dǎo)研式教學(xué)方法。教師對大學(xué)生的考核評價方式單一，難以起到調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，促使他們內(nèi)化學(xué)習(xí)的作用。

二、對策

根據(jù)上文分析的學(xué)生在學(xué)習(xí)無窮級數(shù)時遇到的疑惑和困境，我們結(jié)合大一學(xué)生的思維特點，提出以下教學(xué)策略，以期培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。

（一）改變教學(xué)模式，讓學(xué)生感知“學(xué)有所用、學(xué)而不難”，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性

無窮級數(shù)是數(shù)學(xué)中的一個非常重要的內(nèi)容，它的應(yīng)用除了體現(xiàn)在近似計算方面外，在方法或性質(zhì)等其他方面的應(yīng)用也非常廣泛。例如，可以借助冪級數(shù)的展開形式，解決一些較為復(fù)雜的問題；巧妙地利用函數(shù)冪級數(shù)展開式及冪級數(shù)的性質(zhì)，能夠把一個復(fù)雜的函數(shù)以及一些不容易把握的函數(shù)表達(dá)成形式最簡單、性質(zhì)最好的級數(shù)形式，用它解題往往思路清晰、條理清楚。[3]在教學(xué)中，教師可按“引入、引例、概念、方法或性質(zhì)等及其應(yīng)用示例、啟發(fā)討論與拓展、內(nèi)容小結(jié)等”進(jìn)行教學(xué)的設(shè)計和組織。通過引入、啟發(fā)、討論與拓展，讓學(xué)生明白所學(xué)知識在數(shù)學(xué)、學(xué)生所學(xué)專業(yè)等的應(yīng)用，調(diào)動他們學(xué)習(xí)的積極性；通過引例抽象出概念、方法或性質(zhì)，讓學(xué)生理解、掌握知識；通過例題講解，降低學(xué)習(xí)的難度，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的信心，讓學(xué)生愿意學(xué)習(xí)。在具體操作上，教師可以依據(jù)所講內(nèi)容的知識點，適當(dāng)舉例介紹級數(shù)的應(yīng)用，讓學(xué)生看到它的價值所在。下面從三個方面舉例說明級數(shù)的應(yīng)用。

1. 在數(shù)學(xué)上的應(yīng)用

冪級數(shù)在數(shù)學(xué)上的應(yīng)用非常廣泛。例如，利用冪級數(shù)可以求函數(shù)的近似值，求函數(shù)的極限，求某些定積分，解微分方程等。關(guān)于這些應(yīng)用，大部分高等數(shù)學(xué)教材都有所涉及。下面我們選取常見的、大一學(xué)生在學(xué)習(xí)中遇到的、能充分體現(xiàn)冪級數(shù)作用的例子，說明冪級數(shù)的價值。

（1）求函數(shù)的極限

1）利用函數(shù)的冪級數(shù)展開式求極限

對于某些較復(fù)雜的函數(shù)求極限問題，可以利用函數(shù)的冪級數(shù)展開式，使問題得以解決。這種方法很有效，是考研數(shù)學(xué)題中常見的一種求極限方法。

（2）利用冪級數(shù)求解微分方程

有關(guān)自然科學(xué)和工程技術(shù)中大量問題的研究，最后往往都被歸結(jié)為微分方程的求解問題。借助冪級數(shù)的形式，也可以求解部分微分方程。下面以二階線性微分方程為例加以說明。

能用初等函數(shù)的有限形式求解的微分方程只限于某些特殊的類型。因此，這種解的“有限形式”向“無限形式”的轉(zhuǎn)變，可以擴(kuò)大微分方程的求解范圍。[4]

2. 在學(xué)生所學(xué)工程專業(yè)上的應(yīng)用

大學(xué)數(shù)學(xué)是工科各專業(yè)重要的基礎(chǔ)課，工科各專業(yè)的學(xué)習(xí)離不開大學(xué)數(shù)學(xué)。無窮級數(shù)作為一個數(shù)學(xué)工具，在工程技術(shù)中的應(yīng)用非常廣泛，在機(jī)電工程、橋梁工程、地質(zhì)工程、水利水電工程、石油工程等方面尤其突出，特別是它以求解微分方程的形式被大量應(yīng)用于上述各專業(yè)中。例如，利用三角級數(shù)等的推廣——分形級數(shù)來討論海洋工程與環(huán)境問題的分形級數(shù)解；利用無窮級數(shù)計算高陡邊坡橋梁基樁內(nèi)力；傾斜荷載作用下單層均質(zhì)土中基樁內(nèi)力及位移的冪級數(shù)解；冪級數(shù)法用于感應(yīng)透熱設(shè)備的渦流場計算及電溉設(shè)計；利用Fourier級數(shù)多尺度方法進(jìn)行科學(xué)與工程計算，等等。

3. 在音樂上的應(yīng)用

從畢達(dá)哥拉斯時代起，音樂在本質(zhì)上就被認(rèn)為是數(shù)學(xué)的，其最高成就屬于法國數(shù)學(xué)家傅里葉。傅里葉證明了所有的聲音，無論是噪音還是儀器發(fā)出的聲音，無論是復(fù)雜的聲音還是簡單的聲音，都可以用數(shù)學(xué)方式進(jìn)行全面的描述。他得到了如下一個定理：任何周期性的聲音都可以表示為形如簡單的正弦函數(shù)表達(dá)式之和。這是傅里葉級數(shù)的一種特殊情況。

傅里葉的工作還有其哲學(xué)意義。通過傅里葉定理，人們清楚地意識到，藝術(shù)中最抽象的領(lǐng)域——音樂，能夠轉(zhuǎn)換成最抽象的科學(xué)——數(shù)學(xué)，最富有感情的藝術(shù)和最富有理性的學(xué)問有著密切的聯(lián)系。我們非常喜歡音樂，音樂與數(shù)學(xué)還有如此緊密的聯(lián)系。這難道不正是數(shù)學(xué)的魅力所在嗎？

（二）改變教學(xué)方法，提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力

目前，大多數(shù)大學(xué)教師采用“注入式”“滿堂灌”的教學(xué)模式，學(xué)生被動接受知識的現(xiàn)象依然大量存在，重知識傳授，輕能力培養(yǎng)的狀況仍未改變。這顯然不利于培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。建構(gòu)主義理論認(rèn)為，教師要由知識的傳授者、灌輸者轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生主動建構(gòu)意義的幫助者、促進(jìn)者，應(yīng)當(dāng)在教學(xué)中采取全新的教學(xué)模式、教學(xué)方法和教學(xué)設(shè)計思想，徹底摒棄以教師為中心、強(qiáng)調(diào)知識傳授、把學(xué)生當(dāng)作知識灌輸對象的傳統(tǒng)教學(xué)模式。[5]在這一理論指導(dǎo)下，教師應(yīng)當(dāng)在教學(xué)過程中積極滲透自主學(xué)習(xí)的意義，把教學(xué)重心放在學(xué)生的“學(xué)”上，真正實現(xiàn)對學(xué)生的引導(dǎo)提升、幫助啟迪，與學(xué)生進(jìn)行合作研究、探索交流。因此，在當(dāng)今知識和信息爆炸的背景下，教師應(yīng)采用啟發(fā)式、講練式、討論式的教學(xué)方法，積極推行探究式、研討式和因材施教的教學(xué)方法，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、內(nèi)化學(xué)習(xí)及進(jìn)行創(chuàng)新研究的能力；對學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)和主動學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生獲取新知識的能力。

（三） 引導(dǎo)學(xué)生找規(guī)律，化繁為簡，降低學(xué)習(xí)難度

1. 抓住本質(zhì)，化繁為簡

數(shù)學(xué)是一門高度抽象的學(xué)科。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，定理、定義、性質(zhì)等繁多內(nèi)容往往讓我們無所適從，但只要我們抓住了本質(zhì)，就把書讀薄了，就能理解、掌握知識，達(dá)到融會貫通、游刃有余的目的！

2. 歸納比較，找出異同

歸納、對比是學(xué)習(xí)知識、獲取知識的一種重要方法，也是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的一種常用方法。通過歸納，可以把書讀薄，化繁為簡，掌握本質(zhì)；通過對比，可以發(fā)現(xiàn)知識的共性與特性，從而抓住特點，掌握知識。比如，在常數(shù)項級數(shù)的斂散性判定中，學(xué)生容易混淆正項級數(shù)的三種審斂法：比較審斂法、比值審斂法和根值審斂法。它們的共同點是判斷的級數(shù)只能是正項級數(shù)，而且判定定理都是充分不必要條件。它們的區(qū)別在于各種方法適用的正項級數(shù)的一般項的形式特點不同。

3. 抓住重點，提高效率

大學(xué)里需要學(xué)習(xí)的知識內(nèi)容很多，學(xué)生不可能對每個知識點平均分配時間，沒必要“事事”掌握，也不可能“事事”弄明白。如果我們抓住重點，學(xué)習(xí)就可以達(dá)到事半功倍的效果。在此基礎(chǔ)上，再去了解、理解其他知識，就容易很多。比如，學(xué)生普遍對“函數(shù)的冪級數(shù)展開式”這一部分內(nèi)容感到比較棘手。實際上，我們只需要重點掌握ex，sinx， 的冪級數(shù)展開式。利用這些已知的展開式，根據(jù)冪級數(shù)和函數(shù)的四則運算性質(zhì)和分析性質(zhì)，再結(jié)合代數(shù)變形等相關(guān)技巧，就可以將常見的ax，cosx，ln（1+x），（1+x）α，arctanx等函數(shù)間接展開成冪級數(shù)，而對于直接展開法，我們只需要理解就行了。

（四）引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行章節(jié)總結(jié)，將知識系統(tǒng)化和條理化

數(shù)項級數(shù)的斂散性判斷方法有很多， 學(xué)生使用時往往容易混淆，不能根據(jù)級數(shù)的類型、特點采用相應(yīng)的斂散性判定方法；冪級數(shù)的收斂性與數(shù)項級數(shù)的斂散性有關(guān)，其和函數(shù)有很好的四則運算性質(zhì)和分析性質(zhì)，它們是函數(shù)展成冪級數(shù)方法的理論基礎(chǔ)，學(xué)生不能靈活使用冪級數(shù)的和函數(shù)及函數(shù)展成冪級數(shù)的方法，通常不知怎么選用相應(yīng)方法；傅里葉級數(shù)的收斂性及函數(shù)展成傅里葉級數(shù)由于涉及三角函數(shù)系的正交性、定積分的計算以及函數(shù)類型眾多，與函數(shù)展成冪級數(shù)似乎有類同之處，學(xué)生如果不認(rèn)真對內(nèi)容進(jìn)行分析、總結(jié)，找出其異同點，就會感到雜亂無章、難以理解。因此，學(xué)生只有在學(xué)懂的基礎(chǔ)上，歸納本章的知識要點，從各知識點的定義、性質(zhì)、判定定理等進(jìn)行總結(jié)，特別對數(shù)項級數(shù)斂散性的判斷方法、冪級數(shù)和傅里葉級數(shù)的收斂性的判定、冪級數(shù)的和函數(shù)的求法、函數(shù)展成冪級數(shù)及傅里葉級數(shù)的方法等進(jìn)行分析，理清各種方法的條件、結(jié)論及它們的關(guān)系，對比分析它們的異同點，將知識系統(tǒng)化和條理化，在頭腦中形成清楚的知識結(jié)構(gòu)關(guān)系圖。

三、結(jié)束語

本文從具有豐富高等數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗的教師角度出發(fā)，首先詳細(xì)分析了大一新生在一學(xué)年快結(jié)束時，在學(xué)習(xí)無窮級數(shù)部分知識遇到的種種疑惑和困境，剖析了其產(chǎn)生的原因；然后以現(xiàn)代教育理論和觀念為指導(dǎo)，從“教”與“學(xué)”方面，提出了幫助學(xué)生破除學(xué)習(xí)困境的策略。本文的分析和提出的策略，可為無窮級數(shù)的“教”與“學(xué)”提供有益的指導(dǎo)和幫助，也可為其他知識的“教”與“學(xué)”提供借鑒和參考。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 郭大立，謝祥俊，涂道興等.高等數(shù)學(xué)：下冊[M].北京：高等教育出版社，2009：130.

[2] 西北工業(yè)大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)中的典型問題與解法[M].上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，2001：586.

[3] 朱明星.冪級數(shù)的應(yīng)用[J].中國科技信息，2011（10）.

[4] 丁同仁，李承治.常微分方程教程[M].北京：高等教育出版，2003：224-228.

[5] 余泓，郭進(jìn)峰.基于建構(gòu)理論的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)[J].青海師專學(xué)報（教育科學(xué)），2008（5）.

[責(zé)任編輯：鐘偉芳]