五點(diǎn)定橢圓的尺規(guī)作圖方法

【摘要】已知橢圓上五點(diǎn)，確定橢圓圓心、主軸方向和長(zhǎng)軸短軸等三個(gè)步驟，尺規(guī)作圖橢圓.

一、通過(guò)五點(diǎn)尋找橢圓圓心

原理：通過(guò)已知的五點(diǎn)，作橢圓的切線(xiàn)，獲得橢圓割線(xiàn)的極點(diǎn)，將割線(xiàn)中點(diǎn)和割線(xiàn)極點(diǎn)和連接，其延伸線(xiàn)必定通過(guò)橢圓的圓心.

橢圓切線(xiàn)做法：帕斯卡定理（五點(diǎn)+切點(diǎn)二次）做切線(xiàn)，或如圖1作橢圓切線(xiàn).

如圖1，已知橢圓上P，H，G，Q，A五點(diǎn)，利用橢圓內(nèi)接四邊形PQGH確定對(duì)角線(xiàn)PQ和GH交叉點(diǎn)T，可繪制極點(diǎn)T的極線(xiàn)E F，利用橢圓內(nèi)接四邊形PQAB（H）確定對(duì)角線(xiàn)PQ和AB（H）交叉S點(diǎn)（利用帕斯卡定理，新構(gòu)造橢圓第六點(diǎn)B點(diǎn)，替換H點(diǎn)），繪制極點(diǎn)S的極線(xiàn)MN，極線(xiàn)MN和極線(xiàn)EF交于C點(diǎn)，C點(diǎn)即為PQ割線(xiàn)的極點(diǎn).

證明：依據(jù)極點(diǎn)極線(xiàn)的對(duì)偶定理，由于 S，T為PQ極線(xiàn)上的二點(diǎn)，可知S、T極點(diǎn)的極線(xiàn)MN和極線(xiàn)EF相交點(diǎn)C，就是割線(xiàn)PQ的極點(diǎn).

依靠極點(diǎn)C，利用三割線(xiàn)定理及阿波羅尼斯圓的調(diào)和分割性質(zhì)，構(gòu)造更多的橢圓臨時(shí)點(diǎn).

二、確定橢圓坐標(biāo)主軸方向

原理：通過(guò)已知的橢圓圓心和橢圓A、B、C三點(diǎn)，可構(gòu)造二條共軛直徑，然后確定橢圓坐標(biāo)主軸方向.

1.構(gòu)造橢圓的共軛直徑

如圖2，通過(guò)A點(diǎn)和橢圓圓心可構(gòu)造D點(diǎn)，連線(xiàn)AD為橢圓直徑，過(guò)C點(diǎn)作NA切線(xiàn)的平行線(xiàn)CL，割線(xiàn)CL即為直徑AD的共軛弦.

作直徑為AD的圓，垂直于AD過(guò)Q點(diǎn)作PQ，形成三角形ΔPQL.垂直于AD過(guò)圓心O點(diǎn)作KO線(xiàn)段，過(guò)K點(diǎn)作P L的平行線(xiàn)，KE和OE延伸交于E點(diǎn).依據(jù)仿射原理，可知，OE即為橢圓的共軛半徑，AD和EF為二條共軛直徑.

2.構(gòu)筑橢圓坐標(biāo)主軸方向

如圖3，共軛半徑OE旋轉(zhuǎn)90度，獲得N點(diǎn)，連接NA連線(xiàn)，獲得NA中點(diǎn)K，以K點(diǎn)為圓心作一個(gè)任意半徑的圓，與KO交于W點(diǎn)，與NA交于H，G二點(diǎn).則WG為橢圓長(zhǎng)軸方向，HW為橢圓短軸方向，完成橢圓坐標(biāo)主軸方向確定.

三、確定橢圓長(zhǎng)軸a和短軸b

原理：已知橢圓圓心和橢圓坐標(biāo)主軸方向，已知橢圓上二點(diǎn)，利用極點(diǎn)極線(xiàn)關(guān)系公式，確定橢圓長(zhǎng)軸a和短軸b位置.

如圖4，作B點(diǎn)獲得軸對(duì)稱(chēng)C點(diǎn)，連線(xiàn)AC延伸與橢圓長(zhǎng)軸交于N點(diǎn)，則N點(diǎn)與C點(diǎn)對(duì)偶關(guān)系.連線(xiàn)QN，K為QN中點(diǎn)，以K圓心半徑為KN畫(huà)圓，過(guò)O點(diǎn)作圓K的切線(xiàn)OH，以O(shè)H為半徑原點(diǎn)O為圓心作一個(gè)圓，與 x軸交于F點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)即為長(zhǎng)軸a位置.同理可以完成橢圓短軸b位置.

令：OQ=c，ON=l，則：l=a2c.

【參考文獻(xiàn)】

[1]李建華.射影幾何入門(mén)[M].北京：科學(xué)出版社，2011.6.

[2]徐文平.圓錐曲線(xiàn)內(nèi)接四邊形的四極點(diǎn)調(diào)和分割定理[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究2014.13.

[3]徐文平.圓錐曲線(xiàn)切線(xiàn)的尺規(guī)作圖簡(jiǎn)明方法 [J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究2014.7.

[4]格拉祖諾夫.（徐良佐譯）.軸測(cè)投影學(xué)[M].北京：人民教育出版社，1956.