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    高職橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)的教學(xué)設(shè)計(jì)

    2016-07-06 00:08:22陳忠東
    關(guān)鍵詞:高職數(shù)學(xué)橢圓教學(xué)設(shè)計(jì)

    陳忠東

    【摘要】橢圓的教學(xué)抽象性較強(qiáng),運(yùn)算較繁瑣,高職學(xué)生往往難以接受,本文采用新的思路,類比學(xué)生熟悉的圓的方程,提出橢圓方程的猜想,并對猜想的正確性進(jìn)行驗(yàn)證,引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)、類比、猜想等方法進(jìn)行探索式學(xué)習(xí),可在教學(xué)中達(dá)到理想的教學(xué)目標(biāo).

    【關(guān)鍵詞】橢圓;高職數(shù)學(xué);教學(xué)設(shè)計(jì)

    一、問題的提出

    對于橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué),大都是教師以實(shí)例圖片引起學(xué)生探究什么是橢圓的興趣,然后教師在黑板取兩個(gè)定點(diǎn),由學(xué)生動手操作,用一段細(xì)繩畫出橢圓,給學(xué)生直觀感知,再由學(xué)生討論能夠畫出橢圓滿足的幾何條件,得出橢圓的定義,再由橢圓的定義演繹推導(dǎo)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.高職學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)參差不齊,運(yùn)用這種方法進(jìn)行教學(xué),抽象性較強(qiáng),運(yùn)算較繁瑣,其結(jié)果往往是教師吃力,學(xué)生覺得枯燥難學(xué),提不起學(xué)習(xí)興趣甚至產(chǎn)生厭學(xué)的情緒.

    學(xué)生在學(xué)習(xí)橢圓之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓的定義、圓的方程,了解了解析幾何基本思想,知道一些用坐標(biāo)法研究幾何的方法;學(xué)生對橢圓也有直觀感性認(rèn)識,會把“扁的圓”叫做橢圓.本文作者在教學(xué)過程中,采用新的思路,設(shè)計(jì)了簡便易行的“從圓轉(zhuǎn)化到橢圓”的實(shí)驗(yàn),引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)、類比、猜想等方法進(jìn)行探索式學(xué)習(xí),類比學(xué)生熟悉的圓的方程,提出橢圓方程的猜想,并對猜想的正確性進(jìn)行驗(yàn)證.通過這樣的教學(xué)設(shè)計(jì),取得了一定的教學(xué)成效.下面就橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的教學(xué)設(shè)計(jì)展開介紹和討論.

    二、教學(xué)設(shè)計(jì)和過程

    1.以生活為背景,通過實(shí)驗(yàn)探究概念

    通過學(xué)生的觀察和動手探究,可以對數(shù)學(xué)概念形成直觀感受,有利于概念的獲取.下面是這個(gè)實(shí)驗(yàn)的課堂教學(xué)實(shí)錄:

    請每兩位學(xué)生準(zhǔn)備一個(gè)圓柱體的透明杯子(或瓶子),倒入半杯水,將杯子平放在課桌上,然后從杯子的正上方觀察水面的形狀.

    師:請同學(xué)們觀察一下,現(xiàn)在的水面是什么形狀?

    學(xué)生異口同聲地回答:是一個(gè)圓.

    師:讓杯子向右(或向左)傾斜一個(gè)較小的角度,再看看水面是什么形狀?

    大部分學(xué)生:是一個(gè)橢圓.

    師:把傾斜的角度加大一點(diǎn),看看水面的形狀發(fā)生了怎樣的變化?

    生:水面還是一個(gè)橢圓,不過橢圓變得更扁了.

    師:思考一下,隨著傾斜角度的加大,橢圓的形狀在左右方向上會發(fā)生怎樣的變化?前后方向呢?

    生:傾斜角度越大,橢圓在左右方向上就越長,而在前后方向上不變(圖1).

    通過上述實(shí)驗(yàn),學(xué)生直觀地認(rèn)識到,圓沿著一條直徑拉長可以得到橢圓,這樣得到的橢圓使我們看到了橢圓與圓的關(guān)系,可以引導(dǎo)學(xué)生在圓的知識的基礎(chǔ)上探索橢圓的知識.

    此時(shí)再講述課本上橢圓的定義,學(xué)生比較容易接受.

    2.類比圓的方程,猜想橢圓方程

    圓的方程是學(xué)生已經(jīng)熟悉的知識.我們可以將橢圓與圓進(jìn)行類比,根據(jù)圓的方程,猜想橢圓的方程.

    師:圓心在原點(diǎn),半徑為b2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=b2,方程兩邊同除以b2得到什么?

    生:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程變形為x2[]b2+y2[]b2=1.

    師:把這個(gè)圓橫向拉長,使其在x軸上的半徑增大為a,在y軸上的半徑不變,仍為b,這就得到一個(gè)橢圓(圖2).類比圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,猜想這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么?

    生:x2[]a2+y2[]b2=1.

    到此為止,學(xué)生通過自己動手實(shí)驗(yàn),認(rèn)識了從圓到橢圓的轉(zhuǎn)化,并且利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行類比,提出了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的猜想,激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

    提出猜想是整個(gè)教學(xué)過程中重要的一步,但教學(xué)不能僅僅停留在這一猜想上.為了培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性,需要對上述猜想的正確性進(jìn)行驗(yàn)證.

    3.根據(jù)橢圓的定義,驗(yàn)證橢圓方程的猜想

    由橢圓的定義可以驗(yàn)證上述猜想的正確性,即推導(dǎo)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

    驗(yàn)證過程如下:

    如圖3建立坐標(biāo)系,焦點(diǎn)分別為F1(-c,0)和F2(c,0),設(shè)M(x,y)為橢圓上任一點(diǎn),則|MF1|+|MF2|=2a,代入坐標(biāo),得(x+c)2+y2+(x-c)2+y2=2a,化簡,得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).注意到a>c,記b2=a2-c2(b>0),可得x2[]a2+y2[]b2=1.這就驗(yàn)證了上述猜想的正確性.

    由于高職學(xué)生經(jīng)過了實(shí)驗(yàn)、類比和猜想等思維過程,特別是有了猜想作為基礎(chǔ),對于猜想的驗(yàn)證就會感到順理成章,進(jìn)而體會數(shù)學(xué)的理性與嚴(yán)謹(jǐn),激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的熱愛.

    進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生反過來將橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行比較,學(xué)生會發(fā)現(xiàn)圓可以看成是橢圓的極端情況.

    通過從圓到橢圓的轉(zhuǎn)化,使學(xué)生利用新舊知識的聯(lián)系認(rèn)識了橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程,培養(yǎng)了學(xué)生觀察問題、分析問題和解決問題的能力,達(dá)到了高職數(shù)學(xué)課堂上的素質(zhì)教育目標(biāo),培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

    三、反 思

    高職數(shù)學(xué)課堂教學(xué)必須打破封閉、固定的落后程式,教師要給學(xué)生充分探索空間,不要把學(xué)生的思考限制在教師預(yù)設(shè)的范圍內(nèi),在教學(xué)中采用以舊引新、新舊對比的方法,引導(dǎo)學(xué)生在舊知識的基礎(chǔ)上探索新知識,可以使學(xué)生感覺新知識的出現(xiàn)水到渠成,而過去熟知的舊知識又得到鞏固與深化,使學(xué)生把握新舊知識之間的聯(lián)系,從而得到系統(tǒng)化的知識.在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的教學(xué)設(shè)計(jì)中,還要充分了解學(xué)生的基礎(chǔ)和知識面,往往學(xué)生的難點(diǎn)不一定出現(xiàn)在本節(jié)所要理解的內(nèi)容上,如推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),方程的化簡,在該環(huán)節(jié)上還要盡量推導(dǎo)細(xì)致一點(diǎn)才得以完成.

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]張奠宙,宋乃慶.數(shù)學(xué)教育概論[M].北京:高等教育出版社.2005.7.

    [2]李振雷.橢圓定義教學(xué)實(shí)踐與思考[J].數(shù)學(xué)通報(bào)2011(10).

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