變式教學(xué)法的教學(xué)案例實踐與思考

章林芳

【摘要】變式教學(xué)是指運用不同的知識和方法，對有關(guān)數(shù)學(xué)概念、定理、習(xí)題等進行不同角度、不同層次、不同背景的變化，以暴露問題的本質(zhì)特征，揭示不同知識點間的內(nèi)在聯(lián)系的一種教學(xué)設(shè)計方法。在數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)中，通過變式教學(xué)，對一些典型習(xí)題進行變換、串聯(lián)、延拓，是提高課堂教學(xué)質(zhì)量，培養(yǎng)學(xué)生解題能力的有效途徑。變式教學(xué)法給中學(xué)數(shù)學(xué)課堂帶來勃勃的生機和活力，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)的興趣、提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力、培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)及提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，它也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實踐能力的重要途徑，同時也是對教師教學(xué)能力的挑戰(zhàn)。

【關(guān)鍵詞】變式教學(xué) 實踐 思考

一、前言

變式教學(xué)是指運用不同的知識和方法，對有關(guān)數(shù)學(xué)概念、定理、習(xí)題等進行不同角度、不同層次、不同背景的變化，有意識的引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”中探求規(guī)律。變式教學(xué)，不僅能加深基礎(chǔ)知識的理解和掌握，而且在開發(fā)學(xué)生智力、發(fā)展學(xué)生思維，培養(yǎng)和提高學(xué)生能力等方面，能發(fā)揮其獨特的功效。在數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)中，重視變式教學(xué)，搞好變式教學(xué)，適當(dāng)實施變式教學(xué)，一定能對我們的數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)起到事半功倍的作用，因此，變式教學(xué)勢必會成為數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)的一把金鑰匙。

二、“高三復(fù)習(xí)課：含參不等式恒成立問題”教學(xué)設(shè)計

1.引入：含參不等式是近年來的高考活躍考點，考題靈活多變，此題能否順利解決關(guān)乎整場考試的成敗。今天來復(fù)習(xí)“含參不等式恒成立問題”。

【設(shè)計意圖】激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣及求知欲望。

2.展示問題，先練后評，共同析疑：

2.1【引例1】一次函數(shù) 恒成立，求 的取值范圍。

分析：一次函數(shù) 在 上，要么是增函數(shù)，要么是減函數(shù)。所以有以下結(jié)論：一次函數(shù) 在區(qū)間 上恒成立，等價于 ；在區(qū)間 上小于0恒成立，等價于 。

因此，此例只要滿足 ，故而 。

【設(shè)計意圖】體驗利用一次函數(shù)性質(zhì)處理恒成立問題，為下面的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

【評注】本題是簡單題，一次函數(shù)的知識點非常基礎(chǔ)，同學(xué)們能很快得出答案。運用這個知識點結(jié)合主元變換的方法，可以化繁為簡。

2.2【變式1】已知不等式 對于一切 都成立，求 的取值范圍。

分析：上述不等式學(xué)生很容易陷入到以 （ ）為自變量的二次函數(shù)問題中去。這樣的話要對對稱軸進行討論，非常繁瑣。將一次函數(shù)恒成立問題結(jié)論與變換主元的方法相結(jié)合，可以把參數(shù)最高次數(shù)為一次的不等式的恒成立問題化歸為為一次函數(shù)問題。

對于此例，將條件所給不等式左邊部分看作一個以 為自變量，以 為參數(shù)的一次函數(shù)，那么問題就迎刃而解。

解：令

則有

不等式 對于一切 都成立，即 對一切 恒成立，則有：

解得： 。故所求 的取值范圍是 。

【設(shè)計意圖】：讓學(xué)生進一步體會利用一次函數(shù)性質(zhì)解決恒成立問題的關(guān)鍵，提高分析和解題能力。

以下兩個變式題都可用這種方法解決：

練習(xí)①：若不等式 對于 恒成立，求 的取值范圍。

（答案： ）

練習(xí)②：對于滿足 的所有實數(shù) ，求使不等式： 恒成立的 的取值范圍。（答案： 或 ）

【評注】對于不等式： 來說，式子的左邊貌似非常復(fù)雜，但是，如果仔細(xì)觀察式子結(jié)構(gòu)，把式子的左邊化成我們所熟悉的一次函數(shù)，那么問題就容易多了。但是此類問題前提是參數(shù)次數(shù)是一次的，且參數(shù)的范圍已知。但是實際情況中，參數(shù)范圍經(jīng)常是不確定的。

2.3【引例2】二次函數(shù) 在R上恒成立，求 的取值范圍。

分析：對于二次函數(shù) 有如下結(jié)論：

對 恒成立 ， 對恒成立 ，因此，此例只要滿足 即

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生進一步掌握含參數(shù)恒成立問題的處理方法，并了解題型變化規(guī)律。當(dāng)已知參數(shù) 的取值范圍，則求變量 的取值范圍；當(dāng)已知 的范圍，則求參數(shù) 的范圍。讓學(xué)生學(xué)會自編自變自理。這兩種情況即有聯(lián)系又有區(qū)別。

2.4【變式2】已知不等式 對任意的 恒成立，求實數(shù) 的取值范圍。

解析：對此分式不等式，由于分母 對 恒成立，所以可將它轉(zhuǎn)化為整式不等式。

解：將不等式 轉(zhuǎn)化為 整理得： 。

（1）當(dāng) 時，上述不等式顯然恒成立。

（2）當(dāng) 時，必有 ，解得： 。

綜上所述得 的取值范圍： 。

總而言之，求解含參數(shù)不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍的問題的方法有許多，如函數(shù)法，數(shù)形結(jié)合法、分離參數(shù)法、判別式法、分類討論法等。這些方法各有優(yōu)缺點，而高考時間有限，充分理解各種方法的優(yōu)缺點并熟練應(yīng)用才是決勝高考的關(guān)鍵。

【參考文獻】

[1] 中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法詞典 沈呈民 人民教育出版社

[2]《解一類絕對值不等式恒成立問題的通法》 張久鵬 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊 2010年第3期